Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Изобразим графически линию регрессии и доверительную полосу вместе с полями рассеяний:

 

 

1.6. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года с помощью уравнения регрессии :

 тыс. у.е. - точечный прогноз.

Интервальный прогноз среднего значения цены автомобиля найдем по формуле:

.

 или  , - интервальный прогноз среднего значения цены автомобиля.

Точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей мощностью двигателя 165 л.с. помощью уравнения регрессии :

 тыс. у.е. - точечный прогноз.

Интервальный прогноз среднего значения цены автомобиля найдем по формуле:

. 

 или  , - интервальный прогноз среднего значения цены автомобиля.

 

 

2. Множественная зависимость

2.1.

Найдем оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели с помощью метода наименьших квадратов.

, где  .

По значениям, найденным в таблицах п.п.1.1-1.2. составим

; .

Найдем .

.

.

Следовательно, уравнение множественной линейной регрессии имеет вид: .

 

2.2.

Проверим статическую значимость параметров множественной регрессии с надежностью 0,9.

Данная проверка осуществляется с помощью статистик  имеющих (при определенных предположениях на модель)  t-распределение  Стьюдента с  (n – m – 1)  степенями свободы, , zj – элемент матрицы .

Необходимые вычисления поместим в таблице:

 

i
1	2,7	2,74	0,04	-	-	0,002
2	4,2	4,0	-0,2	0,04	0,06	0,0004
3	7,3	7,45	0,15	-0,2	0,12	0,02
4	0,7	1,05	0,35	0,15	0,04	0,12
5	2,9	3,25	0,35	0,35	0	0,12
6	3,9	4,35	0,45	0,35	0,01	0,2
7	3,9	3,55	-0,35	0,45	0,64	0,12
8	1,9	1,92	0,02	-0,35	0,14	0,0004
9	7,2	7,55	0,35	0,02	0,11	0,12
10	2,7	2,56	-0,14	0,35	0,24	0,02
11	7,1	7,1	0	-0,14	0,02	0
12	3,8	3,55	-0,25	0	0,06	0,02
13	4,8	4,5	-0,3	-0,25	0,003	0,09
14	2,3	2,25	-0,05	-0,3	0,06	0,03
15	3,6	3,5	-0,1	-0,05	0,003	0,01
16	0,5	0,26	-0,34	-0,1	0,06	0,12
	59,5				1,57	0,97

 

Тогда ,

.

Рассчитаем, для каждого коэффициента  - статистику:

 

Так как   n = 16,   m = 2  и надежность  g = 0,9, то  уровень   значимости

a = 1 – g = 0,1,   и  квантиль распределения Стьюдента 

=  = .

Ввиду выполнения неравенств , , то все коэффициенты выборочного уравнения регрессии статистически значимы с надежностью  0,9. Следовательно, обе объясняющие переменные  X1 и X2, а также свободный член имеют существенное влияние на результирующую переменную  Y.

Качество уравнения множественной регрессии оценивает F-тест. Проверим гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии. Найдем коэффициент детерминации .

Рассчитаем коэффициент детерминации для регрессионной модели

Поскольку ,  то

Для проверки гипотезы  Н0  используется следующая  F-статистика: . Критерий адекватности (значимости) уравнения множественной регрессии  уровня  значимости  a  (или надежности  g  = 1 – a)  имеет вид:  F ³ F1 – a(n1, n2), где     F1 – a(n1, n2) – квантиль порядка (1 – a)   F-распределения Фишера с n1 = m  и  n2 = n – m – 1  степенями свободы.

Имеем:

F1 – a(n1; n2) = F1 – 0,1(2; 13) = F0,9(2; 13)  =3,01.

Очевидно, неравенство F=323,621 ³ F1 – a(n1, n2)=3,01, выполнено. Следовательно, построенное уравнение регрессии значимо, т.е. исследуемая зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в регрессионную модель объясняющими переменными   X1   и   X2.

2.3.

Найдем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.

По условию .

Точечный прогноз:

.

Прогнозируемое среднее значение  yp  результирующей переменной Y  с надежностью (доверительной вероятностью)  g   накрывается интервалом с границами

, Se – выборочное стандартное отклонение остатков.

Имеем ; квантиль распределения Стьюдента ; дисперсия остатков рассчитана ранее и равна , так что .

Находим значение выражения:

,

Тогда границы доверительного интервала для среднего значения цены поступивших автомобилей равны:

– нижняя граница (тыс. у.е.);

– верхняя граница (тыс. руб.).

 

3. Экономическая интерпретация

3.

Так как и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основания утверждать, что между переменными между У и существует достаточно тесная отрицательная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии: .

Коэффициент формально определяет цену нового автомобиля.

Коэффициент определяет, что при увеличении возраста на 1 год следует ожидать уменьшения цены автомобиля на 1,40 тыс. у.е.

Значимое значение говорит о том, что между переменными между У и существует тесная положительная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии: .

Коэффициент показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. следует ожидать увеличения цены автомобиля на 0,10 тыс. у.е.

В результате зависимости цены от возраста и мощности двигателя автомобиля, получено уравнение множественной регрессии .

Коэффициент показывает, что при увеличении возраста на 1 год при неизменной мощности двигателя, следует ожидать уменьшения цены автомобиля на 1,11 тыс. у.е.

Коэффициент показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. при неизменном возрасте, следует ожидать увеличения цены автомобиля на 0,03 тыс. у.е.

 

 

Задача 2.

Таблица 2

Месяц,  t	Объем продаж (тыс.у.е.)  zt
1	441
2	448
3	518
4	572
5	601
6	637
7	591
8	653
9	719
10	691
11	730
12	744

В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.

1. Представить  графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать её математически.

2. Методом  наименьших квадратов найти оценку  уравнения  линейного тренда

.

3. Для линии  тренда построить доверительную  полосу надежности 0,975. Нарисовать  ее на графике вместе с линией  тренда и исходным временным  рядом.

4. С помощью  уравнения тренда найти точечный  и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t =15.

Решение.

1.

Представим графически ежемесячные объемы продаж магазина (на основе таблицы).

На основе визуального анализа построенного графика выдвигаем гипотезу о существовании линейного тренда вида:

.

2.

Найдем оценку уравнения линейного тренда с помощью метода наименьших квадратов.

Сформируем таблицу промежуточных расчетов.

 

 

 

 

 

t
1	441	441	1
2	448	896	4
3	518	1554	9
4	572	2288	16
5	601	3005	25
6	637	3822	36
7	591	4137	49
8	653	5224	64
9	719	6471	81
10	691	6910	100
11	730	8030	121
12	744	8928	144
Σ=78	Σ=7345	Σ=51706	Σ=650

По итогам таблицы находим:

,

Следовательно, уравнение тренда будет иметь вид: .

 

3.

Для расчета доверительных интервалов составим таблицу:

t
1	441	459,64	72,08	30,25	26,44	410,09	494,43
2	448	487,36	335,99	20,25	23,09	415,65	508,32
3	518	515,07	0,69	12,25	20,01	509,87	562,34
4	572	542,79	195,72	6,25	17,34	520,15	582,56
5	601	570,51	200,22	2,25	15,31	545,39	619,00
6	637	598,22	497,74	0,25	14,18	589,76	653,12
7	591	625,94	553,66	0,25	14,18	563,14	646,87
8	653	653,66	0,4	2,25	15,31	615,32	675,10
9	719	681,38	316,48	6,25	17,34	648,65	752,01
10	691	709,09	49,7	12,25	20,01	684,26	718,90
11	730	736,81	0,79	20,25	23,09	718,35	752,66
12	744	764,53	137,59	30,25	26,44	729,09	770,99
Σ	7345		2361,06	143