Шпаргалка по "Теория Автоматического Управления"

и она будет устойчивой. Таким образом, оптимальный закон управления имеет вид

 , где К= 1.

 

 

25.Основное соотношение  принципа максимума.

Принцип максимума Л.С. Понтрягина представляет собой метод расчета оптимального управления. Он был сформулирован независимо и почти в то же время, что и метод динамического программирования. Впоследствии оказалось, что уравнения одного метода можно получить из другого и наоборот. Запишем основные соотношения принципа максимума на основе уравнений метода динамического программирования.

Рассмотрим основное соотношение (12.24) 

Поскольку минимум функции равен максимуму этой же функции с противоположным знаком, запишем его в виде (12.27)

 Преобразуем  уравнение (12.27), предварительно введя  ряд обозначений.

1. Введем расширенный вектор состояния ,дополнив его компонентой :

  (12.28)

2. Введем соответствующий расширенный вектор правых частей :

 (12.29)

3. Вектор сопряженных координат :

 (12.30)

Определим скалярное произведение вектора сопряженных координат и расширенного вектора правых частей, которое называется гамильтонианом  (12.31).

Если вместо вектора сопряженных координат и расширенного вектора правых частей подставить их значения согласно (12.30) и (12.29) в выражение (12.31), то последнее можно представить следующим образом:

или окончательно (12.32)

 

С учетом (12.32) уравнение (12.27) можно записать в виде (12.33) ,

которое и представляет собой основное соотношение принципа максимума.

При этом сопряженные координаты определяются системой дифференциальных уравнений  (12.34)

Формулировка принципа максимума. Оптимальным является управление из области допустимых значений, которое обеспечивает максимум гамильтониана (12.33). В случае, когда ресурс управления объекта не ограничен, для нахождения максимума гамильтониана можно воспользоваться необходимым условием экстремума   (12.35)

При ограниченном ресурсе (например,  ) вычисленное с помощью (12.35) оптимальное управляющее воздействие может находиться вне области допустимых значений, поэтому для отыскания максимума гамильтониана необходимо использовать максимальное значение управления .  
26.Процедура определения оптимального управления.

На основе соотношений принципа максимума Л.С. Понтрягина можно предложить следующую процедуру расчета регулятора

1. Описание объекта  следует привести к стандартному  для теории оптимального управления  виду:           

Записывается критерий оптимальности (12.4) в форме J0= .

2. Формируется расширенный вектор состояния z и правых частей ; в общем виде записывается вектор сопряженных координат .
3. В форме скалярного произведения векторов () и () записывается гамильтониан

 

4. Из условия  максимума гамильтониана определяется  оптимальное управление как функция  сопряженных координат 

5. Формируется  система дифференциальных уравнений  для нахождения сопряженных координат  .

6. Вычисляется  оптимальное управление в виде  функции времени (программное управление) 

7. По возможности  осуществляется переход к оптимальному  управлению в виде обратной  связи 

Рассмотрим вычисление оптимального управления с помощью описанной процедуры на примере.

Пример 12.3

Определить оптимальное управление для объекта, поведение которого описывают уравнения

 

Требуется обеспечить переход из начальной точки в конечную

 

за заданное время Т = 1 с при минимуме затрат энергии, т. е.

Поскольку известно описание объекта в переменных состояния, переходим к формированию расширенного вектора состояния и правых частей, а также запишем вектор сопряженных координат

 

 

 

Сформируем теперь гамильтониан  

и определим его максимум по :       2

Из этого уравнения определим оптимальное управление в виде функции сопряженных координат 

Для сопряженных координат запишем систему дифференциальных уравнений

       из которой определим 

В результате оптимальное управление принимает вид

Коэффициенты определим, решая краевую задачу. С этой целью запишем уравнения замкнутой системы 

Определим решение для переменных состояния в виде

 

Учтем теперь заданные начальные и конечные условия и T=1 с.

Решая полученную систему уравнений, определим неизвестные коэффициенты: ,   . В результате оптимальный программный закон управления имеет вид

.

27. Задача оптимального  быстродействия. Гамильтониан быстродействия.

Задача оптимального быстродействия имеет некоторые особенности, которые упрощают ее решение на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина .Гамильтониан быстродействия. Рассмотрим общий класс объектов управления (12.1)  с ограниченным управлением () и критерием оптимальности в виде (12.6) [J0 =] , т.е. критерием быстродействия

  Согласно процедуре  синтеза на основе принципа  максимума запишем расширенный  вектор правых частей и вектор  сопряженных координат

а затем сформируем гамильтониан в виде (12.36)

В соответствии с (12.33) [] максимум гамильтониана равен нулю. Поскольку первое слагаемое в данном выражении не зависит от управления, можно вместо (12.35)[  ] рассматривать усеченный гамильтониан, который называется гамильтонианом быстродействия

  (12.37)

В этом случае уравнение принципа максимума принимает вид  (12.38)

Таким образом, при решении задачи оптимального быстродействия нет необходимости переходить к расширенному вектору состояния и расширенному вектору правых частей. Можно сформировать гамильтониан быстродействия и определить управление, обеспечивающее его максимум в соответствии с (12.38). Разрывное управление. Для объектов с аддитивным управлением вида (12.2)

  ,ограниченным ресурсом управления и требованием в виде критерия быстродействия управляющее воздействие имеет разрывной характер.

Сформируем гамильтониан быстродействия (12.37)

    (12.39), где - i-й элемент вектора , а  -  i-я строка матрицы , i=1,2,…,n.

Управление, обеспечивающее максимум гамильтониана (12.39) с учетом ограничений, имеет вид

 (12.40)

Следовательно, для объектов класса (12.2) оптимальное управление всегда носит релейный характер.

Теорема о числе переключений. Данная теорема связывает число переключений оптимального управления со свойствами объекта. Она справедлива для линейных объектов (12.3)

 , , с ограничением типа и критерием быстродействия. При этом оптимальное управление имеет вид (12.40). Поскольку объект  управления линейный, для него можно определить корни характеристического уравнения  (12.41) в виде совокупности .

Рассмотрим формулировку теоремы.

Теорема. Если корни характеристического уравнения (12.41) вещественные, то число переключений управляющего воздействия не превышает (п - 1), где п - порядок объекта.

С л е д с т в и е . Число интервалов постоянства управляющего воздействия не превышает п.

Варианты изменения оптимального управления в линейной системе третьего порядка с вещественными корнями приведены на рис.12.8.

 

 

 

В случае, когда среди совокупности корней характеристического уравнения (12.41) есть комплексно-сопряженные, число переключений теоретически не ограничено. В реальных системах невысокого порядка число переключений, как правило, невелико.