Теоретическая механика

Page 1

1
ЛЕКЦИИ по курсу
“ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА”
Статика............................................................................................................................... 1
§
1. Основные понятия и аксиомы статики............................................................... 2
1. Основные понятия механики............................................................................. 2
2. Сила и ее характеристики .................................................................................. 8
3. Момент силы относительно точки.................................................................. 14
4. Вычисление радиус-вектора точки приложения силы.................................. 20
5. Момент силы относительно оси...................................................................... 25
6. Равновесие материальных тел ......................................................................... 30
7. Системы сил ...................................................................................................... 32
8. Аксиомы статики: общие аксиомы о силах................................................... 36
9. Аксиомы статики: аксиомы о связях............................................................... 42
10. Ненагруженные поводки................................................................................ 50
§
2. Приведение систем сил к простейшему виду.................................................. 54
1. Элементарные операции................................................................................... 54
2. Приведение системы сил к двум силам.......................................................... 56
3. Пара сил ............................................................................................................. 60
4. Условия равновесия АТТ................................................................................. 64
5. Критерий эквивалентности систем сил........................................................... 70
6. Силовой винт..................................................................................................... 73
7. Различные случаи приведения системы сил .................................................. 78
8. Центр параллельных сил.................................................................................. 82
§
3. Силы трения в статике....................................................................................... 96
1. Равновесие тел при учете сил трения.............................................................. 96
2. Решение задач статики при наличии трения скольжения........................... 102
3. Задача о тормозной колодке .......................................................................... 110
Предметный и именной указатель...................................................................... 114
Статика
Теоретическая механика – наука об общих законах движения и
равновесия тел.
В теоретической механике изучают не сами реальные тела, а их модели.
Основные модели:
1°. Материальная точка – тело малых размеров, обладающее
массой.
2°. Абсолютно твердое тело (АТТ) – материальное тело, у
которого расстояния между любыми двумя точками остаются постоян-
ными, каким бы воздействиям это тело не подвергалось.

---

Page 2

2
M
1
M
2
M
1
M
2
= const .
Основоположники классической механики: Галилей, Ньютон,
Эйлер, Лагранж .
Рекомендуемая литература
1.
Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретиче-
ской механики. СПб.: Лань, 1998. 736 с.
2.
Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика. М.: ФИЗ-
МАТЛИТ, 2002. 384 с.
§
1. Основные понятия и аксиомы статики
Начнем с определения статики.
Статика – раздел теоретической механики, в котором изучается
равновесие материальных тел под действием приложенных сил.
Уже в самом этом определении мы встречаемся с нетривиальными понятия-
ми силы и равновесия. Поэтому начнем с анализа основных, наиболее фундамен-
тальных понятий механики.
1. Основные понятия механики
Начнем с первого из встретившихся нам понятий.
Равновесие тела – состояние, в котором все его точки находятся
в покое относительно выбранной системы отсчета.
Понятие равновесия тела обладает весьма высокой степенью общности, но
все-таки не является фундаментальным. Мы только что видели, что оно сводится
к понятиям покоя и системы отсчета.
Займемся этими понятиями. Они тоже не являются фундаментальными
(т.е. первичными) понятиями механики. Фундаментальные понятия механики
мы сейчас перечислим.
Фундаментальные (неопределяемые) понятия механики: прост-
ранство, время, тело, масса, сила.

---

Page 3

3
Эти понятия не могут быть выражены через какие-то другие. Смысл их
выражается через аксиомы, характеризующие их свойства и отношения друг к
другу. Аксиомы, как Вы знаете, являются исходными положениями теории; их
истинность постулируется, а не доказывается средствами логического вывода.
Для того, чтобы дать определение системы отсчета, введем предварительно
такое определение.
Геометрическая твердая среда – совокупность точек, расстоя-
ния между которыми остаются неизменными; заполняет все простран-
ство.
Это, разумеется, чисто умозрительная конструкция. Однако и многие дру-
гие понятия в науке, если вдуматься, таковы. Они представляют собой идеали-
зацию реальных объектов и явлений, иногда заходящую весьма далеко. Важно
только, чтобы такая идеализация была плодотворной.
Если все же требуется наглядно представить себе геометрическую твердую
среду, то можно вообразить, скажем, прозрачный блок льда. Представим – мыс-
ленно – что этот блок становится все больше и больше, пока не заполнит все
пространство. При этом мы предполагаем, что он абсолютно проницаем для дру-
гих тел, которые движутся внутри него как в пустоте.
Можно прийти к понятию геометрической твердой среды и иначе. Заметим,
что ее определение очень похоже на определение абсолютно твердого тела; толь-
ко добавляется требование, чтобы она заполняла собой все пространство. Отсюда
вытекает такая интерпретация понятия геометрической твердой среды.
Пример. Рассмотрим выпуклое АТТ, и пусть
O
– внутренняя
точка тела. Рассмотрим всевозможные отрезки, соединяющие точку
O
с границей тела. Тогда объединение всех отрезков совпадает с множе-
ством точек тела.
Объединение трактуется как в математике: точка принадлежит объединению
отрезков, если она принадлежит хотя бы одному из них.
При этом каждая точка тела (кроме, разумеется, самой точки
O
) принад-
лежит ровно одному отрезку.
Если тело движется, то и отрезки движутся вместе с ним.
Выпуклость тела большой роли в нашем примере не играет. Она предпола-
гается, чтобы сделать формулировки более краткими (ведь если тело не является
выпуклым, то может случиться так, что не всякая точка наших отрезков будет
принадлежать телу).
Продолжим теперь каждый отрезок до бесконечности: получим
луч. Объединение всех лучей даст геометрическую твердую среду,
жестко связанную с данным АТТ.

---

Page 4

4
O
На самом деле эта конструкция является универсальной. В принципе вся-
кую геометрическую твердую среду можно считать жестко связанной с некоторым
абсолютно твердым телом (реальным или воображаемым).
Наглядно можно представить себе, что данное твердое тело намертво вмер-
зло в эту среду и движется вместе с ней.
Можно сказать и так:
Геометрическая твердая среда – это абсолютно твердое тело (ре-
альное или воображаемое), от размеров и формы которого мы абстра-
гируемся.
Теперь – о системах отсчета.
Система отсчета (СО) – произвольная геометрическая твердая
среда, по отношению к которой рассматривается движение точек и
тел.
С учетом того, что мы знаем уже о геометрических твердых средах, можно
считать, что всякая система отсчета связана с каким-либо твердым телом (реаль-
ным или воображаемым); такое тело обычно называют отсчетным телом.
Во многих задачах достаточно ограничиться введением только одной систе-
мы отсчета. Тогда под словами “точка движется” подразумевают, что ее положе-
ние относительно данной системы отсчета изменяется с течением времени. Если
же ее положение относительно данной системы отсчета не меняется, то говорят
просто: “точка покоится”.
Само отсчетное тело и связанная с ним система отсчета предполагаются в
этих рассуждениях неподвижными. Разумеется, отсчетное тело может совершать
движение относительно какой-нибудь другой системы отсчета, но об этом сейчас
речь не идет.
Чтобы упростить нашу терминологию, примем следующее соглашение.
Соглашение. Зафиксируем некоторую СО, которую будем назы-
вать условно неподвижной (у.н.СО). Будем говорить, что точка
движется (или находится в покое), если она с течением времени из-
меняет (не изменяет) свое положение относительно у.н.СО.
Разумеется, тело мы называем покоящимся, если находятся в покое все его
точки.

---

Page 5

5
Словом “условно” как раз и выражают тот факт, что данная система отсчета
полагается неподвижной именно в данной конкретной задаче, т.е. в рамках дан-
ного соглашения.
В большинстве задач механики считают, что у.н.СО связана с
Землей.
Речь идет о задачах, с которыми мы обычно сталкиваемся в повседневной
жизни. Но не всегда такой выбор условно неподвижной системы отсчета разу-
мен. Например, при изучении движения планет или межпланетных зондов ус-
ловно неподвижную систему отсчета связывают с неподвижными звездами.
Следует особо подчеркнуть, что бессмысленно говорить о движении, если
не указано, по отношению к какой системе отсчета оно рассматривается. Вот
пример: пусть человек стоит на железнодорожной платформе. Мы можем систе-
му отсчета связать с платформой, а можем – с проходящим мимо нее поездом.
Относительно первой системы отсчета человек покоится, относительно второй –
движется.
Неподвижная система координат – система декартовых коорди-
нат, связанная с у.н.СО.
Можно было бы сказать “условно неподвижная”; однако это не обязатель-
но, поскольку мы уже сделали эту оговорку относительно самой системы отсчета.
x
O
y
z
r
---
M
M
Здесь изображена некоторая точка
M
, положение которой задается радиус-
вектором
r
--
относительно начала неподвижной системы координат. Если точка
движется, то ее радиус-вектор меняется; если она находится в покое, то он оста-
ется постоянным.
Штриховкой в механике помечают неподвижные объекты; значит, на ри-
сунке показано, что оси системы координат неподвижны.

---

Page 6

6
Назначение системы координат – в том, что с ее помощью можно перейти
от векторной записи формул к скалярной. Например, положение нашей точки
M
можно охарактеризовать тремя ее координатами
x
M
,
y
M
,
z
M
(которые, разумеет-
ся, будут одновременно являться проекциями ее радиус-вектора на оси
x
,
y
,
z
).
Теперь с понятием равновесия мы вполне разобрались. Вернемся к тому
перечню фундаментальных понятий, который мы уже приводили. Напомню этот
перечень: пространство, время, тело, масса, сила.
Сейчас мы ограничимся лишь краткой характеристикой этих понятий. Во-
обще же, мы не раз на протяжении всего курса будем обращаться к тем или иным
свойствам основных понятий механики.
Пространство в классической механике – трeхмерно и евклидо-
во.
Последнее означает, что пространство удовлетворяет всем аксиомам евкли-
довой геометрии. Из этого вытекают два следующих положения, имеющие осо-
бенно большое значение для механики.
Следствие. Пространство обладает свойствами:
1) однородности (все точки его равноправны);
2) изотропности (все направления в нем равноправны).
Эти хорошо известные свойства евклидова пространства находят многооб-
разные применения в механике.
Например, если бы мы переместили все тела механической системы в ка-
кую-либо другую область пространства, то ход механических процессов остался
бы тем же самым. Надо оговорить при этом, что если на течение данных процес-
сов влияют какие-либо внешние факторы, то и они должны быть воспроизведены
в новой ситуации.
Заметим, впрочем, что с понятием пространства мы – как правило – на-
прямую работать не будем: все рассмотрения будут вестись в выбранной системе
отсчета. Однако перечисленные только что характерные свойства пространства
можно считать также и характерными свойствами системы отсчета.
В динамике, правда, мы увидим, что в полной мере эти свойства справедли-
вы только для так называемых инерциальных систем отсчета.
Теперь – о времени. В математическом плане это – тоже евклидово про-
странство, только одномерное. А в качестве его основных свойств мы отметим та-
кие:
Время в классической механике:
1) абсолютно (имеет одинаковый смысл во всех СО);
2) однородно (все моменты времени равноправны);
3) анизотропно (моменты времени упорядочены).
Из этого списка свойств видно, что не только размерностью время отлича-
ется от пространства. Например, для всякого конкретного события можно одно-
значно сказать, когда оно произошло; но говорить о том, что некоторая точка по-

---

Page 7

7
коится (т.е. в разные моменты времени занимает одно и то же положение), бес-
смысленно, если не указана определeнная система отсчета.
Анизотропность же времени означает, что в нем имеется привилегированное
направление: от прошлого к будущему. Есть немало механических явлений (на-
пример, движение тела в сопротивляющейся среде), протекание которых носит
существенно необратимый характер.
Таким образом, понятия “до” и “после” по отношению к моментам времени
имеют вполне определeнный характер.
Впрочем, в статике время если и упоминается, то только в связи с опреде-
лением состояния покоя.
Вот о телах мы будем говорить постоянно. Заметим, что в механике рас-
сматриваются не просто тела (которые изучают в геометрии), а материальные те-
ла. Запишем, что понимается под понятием “материальное тело”.
Материальное тело – множество
B
точек, которые непрерыв-
ным образом заполняют некоторую ограниченную область в простран-
стве и на котором задана скалярная функция
γ
– плотность.
Данная функция обычно предполагается непрерывной (или, по крайней
мере, кусочно непрерывной).
Через плотность определяется масса. Делается это так.
Выделим в теле
B
элементарный материальный объем – множе-
ство точек, занимающих достаточно малый объем
dV
в пространстве.
Тогда произведение
dm
=
γ
dV
есть масса элементарного материаль-
ного объема.
Оговорка “достаточно малый” применительно к объему
dV
в пространстве
делается для того, чтобы можно было пренебрегать различием в значениях плот-
ности
γ
для разных точек элементарного материального объема.
Фактически – что и отражено в обозначениях – мы работаем с дифферен-
циалами массы и объема. В этом случае, как это и принято в математическим
анализе, можно пренебрегать бесконечно малыми величинами более высокого по-
рядка малости.
Обратите внимание: элементарный материальный объем и объем
dV
в про-
странстве – это разные вещи. Элементарный материальный объем образован
точками тела, а объем
dV
– точками условно неподвижной системы отсчета. Ес-
ли тело движется, то в разные моменты времени элементарному материальному
объему соответствуют разные объемы в пространстве.
Аксиома массы:
1) для материальной точки
m
= const и
m
>
0
;
2) для элементарного материального объема
dm
≡
γ
dV
= const
и
dm
>
0
.

---

Page 8

8
Это – важный для механики факт, ведь в общем случае деформируемого
материального тела и плотность, и объем
dV
могут меняться с течением времени.
Видно также, что плотность
γ
почти всюду положительна.
А теперь можно дать определение массы материального тела.
Масса материального тела
B
– положительная величина
m
=
⌡

⌠
V
γ dV
.
Интеграл здесь фактически – тройной, но в математике все чаще исполь-
зуют один символ интеграла, а записанная под ним область интегрирования как
раз и определяет, в каком смысле понимается этот интеграл.
Если для системы материальных точек масса ее равна сумме масс точек, то
для материального тела масса выражается как интеграл от плотности.
Из этого не следует, что масса тела – это понятие производное, а не основ-
ное. Просто мы сейчас вынуждены обходиться достаточно элементарными мате-
матическими средствами (впрочем, так же поступал и сам Ньютон).
В более обстоятельных современных курсах механики именно масса, а не
плотность, вводится как первичное понятие. В них масса трактуется как мера
множества, и данная трактовка является единообразной – и для систем матери-
альных точек, и для материальных тел. Но для понимания всего этого нужно
владеть основами теории меры Лебега и, соответственно, более общим понятием
интеграла – а Вы в курсе высшей математики это не изучали.
Впрочем, в статике нас масса будет интересовать лишь постольку, посколь-
ку некоторые силы, действующие на тела, зависят от массы этих тел (например,
таковы силы тяжести). Отметим также, что определения даны для любых мате-
риальных тел; но нас будут интересовать лишь абсолютно твердые тела.
Остается пятое из фундаментальных понятий механики – понятие силы.
Но ему мы посвятим отдельный пункт.
2. Сила и ее характеристики
В механике понятие силы используется для описания механического взаи-
модействия.
Механическое взаимодействие – один из видов взаимодействия
материи, способный вызвать изменение механического движения ма-
териальных тел.
Сила характеризует количественную сторону механического взаимодейст-
вия. Таким образом, когда говорят, что на тело действуют силы, то это значит,
что на него воздействуют другие тела (или физические поля).

---

Page 9

9
Не всегда, впрочем, сила действительно приводит к изменению движению
тела; такое изменение может блокироваться действием других сил.
С учетом сказанного запишем:
Сила (ньютонова) – мера механического воздействия на некото-
рое материальное тело со стороны другого материального тела (или
физического поля); она характеризует интенсивность и направление
этого воздействия.
Это, разумеется, не определение, а лишь пояснение к понятию силы. По-
скольку понятие силы – фундаментальное, то его точный смысл раскрывается в
аксиомах механики.
Пока же мы отметим вот что. Оговорка “ньютонова” сделана потому, что в
динамике мы встретимся с другими величинами, также именуемыми силами, ко-
торые, однако, не являются мерами механического взаимодействия.
В этом же семестре речь будет идти именно о ньютоновых силах, и мы для
краткости будем называть их просто силами.
Далее, под словом “мера” в механике и в физике понимается физическая
величина, которая служит для количественного описания какого-либо свойства
или отношения. В данном случае речь идет об описании именно механического
взаимодействия (а бывают ещe, как Вы знаете, и другие взаимодействия – тепло-
вые, химические и прочие).
В физике элементарных частиц выделяют четыре фундаментальных взаи-
модействия: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Эти четыре
взаимодействия лежат в основе всех наблюдаемых явлений – относящихся как к
механике, так и к другим разделам естествознания.
Однако в макромире фундаментальные взаимодействия проявляются, как
правило, опосредованно, и нам приходится иметь дело со значительно более ши-
роким перечнем взаимодействий (уже не обязательно фундаментальных).
Если говорить о механических взаимодействиях, то речь может идти о си-
лах различного происхождения.
Примеры сил: силы тяжести, силы упругости, архимедовы силы,
силы сопротивления среды и др.
В большинстве задач механики, впрочем, физическая природа тех или иных
сил обычно интереса не представляет.
Ещe мы, поясняя понятие силы, говорили об интенсивности и направлении
воздействия. Это означает, что сила является векторной величиной. Именно, это
– вектор, приложенный к определeнной точке материального тела.
Поэтому можно говорить о таких характеристиках силы.
Сила характеризуется:
1) величиной (модулем);
2) направлением;
3) точкой приложения.

---

Page 10

10
Модуль и направление однозначно определяют вектор силы.
Вектор силы:
F
----
=
F e
---
F
, где
F
≡
F
----
– модуль силы,
e
---
F
– еди-
ничный вектор направления силы.
Обратите внимание: над буквами, обозначающими векторы, пишут черту.
Это обязательно надо делать. В механике очень часто в формулах одновремен-
но фигурируют и векторы, и их модули (как в формуле, которую мы только что
записали). Если черту не писать, формула теряет смысл.
К сожалению, на экзамене нередко приходится встречаться с полным пре-
небрежением к этому правилу. В лучшем случае экзаменатор в этой ситуации по-
ступит так: вздохнет и попросит студента быстренько проставить обозначения
векторов в тексте ответа на поставленный вопрос. Если студент не сумеет пра-
вильно проставить обозначения – это первый шаг на пути к получению “двойки”.
Поэтому, пожалуйста, не игнорируйте в своих конспектах черту, если она
написана на доске.
При помощи записанной формулы найти значение вектора силы, если даны
его модуль и направление, совсем нетрудно. Обратная операция также не вызы-
вает трудностей:
F
----
=
(
F
----
,
F
----
)
,
e
---
F
= –––––
F
----
F
----
.
Круглые скобки с запятой в середине обозначают скалярное произведение
векторов (запятая при этом разделяет сомножители). Обратите внимание: во
многих книгах скалярное произведение обозначается иначе – точкой между век-
торами, причем точку обычно можно опустить.
Но мы будем придерживаться именно таких обозначений (они тоже доста-
точно распространены). Помимо всего прочего, они позволяют избежать путани-
цы (ведь скалярное произведение векторов нужно отличать от обычного произве-
дения двух скаляров).
Напомню формулы для вычисления скалярного произведения.
Скалярное произведение:
(
a
---
,
b
---
)
=
a
---
•
b
---
•
cos (
a
---
,
∞
b
---
)
;
(
a
---
,
b
---
)
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
.
Здесь
x
,
y
,
z
– оси какой-либо декартовой системы координат.
Первой из этих формул пользоваться для вычисления модуля силы бессмы-
сленно, поскольку модуля силы мы как раз и не знаем. А если известны проек-
ции вектора силы на оси
x
,
y
,
z
, то вторая формула Вам вполне может приго-
диться.
Если посмотреть на то, что мы к настоящему моменту времени записали в
этом пункте, то все это Вам уже хорошо известно из курсов физики и линейной
алгебры (возможно, за исключением некоторых обозначений). Это и естественно:

---

Page 11

11
начинать изложение нового материала лучше с краткого повторения уже прой-
денного.
Разумеется, Вам известно из курса физики, что сила (и ее модуль) – это
размерные величины. Напомню, в каких единицах измеряется сила.
Единица для
F
в СИ: ньютон (Н =
с
2
кг
•
м
).
Объясняется последнее выражение для единицы силы очень просто: сила,
равная одному ньютону, обеспечивает материальной точке с массой в один кило-
грамм (в соответствии со II законом Ньютона) ускорение, равное одному метру
на секунду в квадрате.
Но II закон Ньютона относится уже к динамике, а мы сейчас занимаемся
статикой. Итак, что еще мы можем сказать о векторе силы?
Стандартная операция в векторной алгебре – это вычисление проекции век-
тора на какую-либо ось. Для вектора силы имеем:
Проекция силы
F
----
на ось
l
с единичным вектором
e
---
:
F
l
=
(
e
---
,
F
----
)
.
Вектор
e
--
здесь, разумеется, вовсе не обязан совпадать с вектором
e
--
F
, о ко-
тором мы говорили ранее. Именно, мы представляли вектор силы в виде произ-
ведения его модуля на единичный вектор направления силы.
Но вектор силы можно задать также его проекциями на оси декартовой сис-
темы координат.
x
i
--
j
--
k
---
z
A
F
----
y
Имеем:
F
----
=
F
x
i
--
+
F
y
j
--
+
F
z
k
---
,
где
i
--
,
j
--
,
k
---
– единичные векторы осей
x
,
y
,
z
, а
F
x
,
F
y
,
F
z
– проек-
ции силы
F
----
на эти оси.
На практике эти проекции часто оказывается удобным вычислять через ска-
лярные произведения. Именно:

---

Page 12

12
F
x
=
(
i
--
,
F
----
)
=
i
--
≠Æ
1
•
F
----
•
cos
α
≡
F
cos
α
,
F
y
=
(
j
--
,
F
----
)
=
F
cos β ,
F
z
=
(
k
---
,
F
----
)
=
F
cos
γ
;
здесь
α
, β,
γ
– углы вектора
F
----
с осями координат.
Эти формулы, разумеется, применяют, когда известны вектор силы и ее на-
правление. Если же даны именно проекции вектора силы на декартовы оси, то
можно найти модуль силы и все три угла.
Если даны
F
x
,
F
y
,
F
z
, то:
F
=
F
x
2
+
F
y
2
+
F
z
2
,
α
= arccos –––
F
x
F
, и т.д.
Пока мы говорили только о векторе силы. Но понятие силы не сводится к
понятию ее вектора. Важна еще и точка приложения силы: ведь если тот же по
величине и направлению вектор силы приложить в другой точке тела, то его
движение может измениться.
В геометрии принята следующая терминология.
Свободный вектор (или просто вектор) – вектор, характери-
зуемый только модулем и направлением.
Связанный вектор – вектор, характеризуемый еще и точкой
приложения.
Иногда используют такие обозначения.
Через
u
---
.
A
обозначается связанный вектор, получаемый, если
свободный вектор
u
---
приложить в точке
A
.
Обратите внимание: здесь точка пишется не в середине строки (как при
умножении чисел), а на ее нижней линии.
Таким образом, можно сделать следующий вывод.
Итак, сила – связанный вектор (полное обозначение:
F
----
.
A
).
Там, где нам потребуется подчеркнуть наличие у силы определeнной точки
приложения, мы будем пользоваться именно этим полным обозначением. Там,
где точка приложения силы будет заранее оговорена, мы будем применять сокра-
щeнное обозначение, обозначая силу просто
F
----
(т.е. так же, как и вектор силы).
О точке приложения силы нужно сказать следующее:
Если сила действует на материальную точку, то точкой прило-
жения служит сама эта точка.
Если сила действует на материальное тело, то точкой приложе-
ния служит точка тела (она может меняться с течением времени).

---

Page 13

13
В общем случае точка приложения силы не может лежать вне тела. Если
тело – абсолютно твердое, то данное ограничение можно снять; но об этом мы
будем говорить позже.
Возникает вопрос: а как можно на практике задать точку приложения си-
лы? Любую точку можно задать, например, ее радиус-вектором, проведeнным из
некоторого полюса.
Полюс – произвольно выделенная точка (положение которой
обычно предполагается известным).
Раз здесь говорится “обычно”, то текст в скобках Вы вполне можете игно-
рировать. Часто бывает так: взяли некоторую точку и объявили ее полюсом (и
будет она с этого времени считаться таковым).
Но для задания положения точки приложения силы нам как раз нужно
знать положение полюса. Можно – но не обязательно – принять за полюс нача-
ло системы координат.
Радиус-вектор точки
A
относительно полюса
B
– вектор, про-
ведeнный из
B
в
A
:
r
---
BA
=
BA
.
Употребляют оба обозначения, но первое предпочтительнее: вектор обозна-
чается одной буквой, а буква “
r
” напоминает, что речь идет именно о радиус-
векторе.
Порядок следования индексов здесь существенен. Впрочем, когда полюсом
служит начало системы координат, первый индекс обычно опускают.
x
O
y
z
r
---
A
≡
r
---
OA
r
---
B
≡
r
---
OB
B
r
---
BA
A
Из рисунка очевидно соотношение:
r
---
A
=
r
---
B
+
r
---
BA
.

---

Page 14

14
Оно нам пригодится, когда мы будем сталкиваться с необходимостью сме-
нить полюс.
Сами радиус-векторы можно задавать по-разному – например, через их
проекции на декартовы оси координат. В случае, когда полюсом служит начало
координат, эти проекции совпадают с координатами точки.
r
A
x
=
x
A
,
r
A
y
=
y
A
,
r
A
z
=
z
A
;
r
BA
x
=
x
A
–
x
B
, и т.д.
Последние равенства следуют из записанного нами векторного соотношения.
Таким образом, приходим к выводу:
Силу
F
----
.
A
можно задать двумя векторами (
F
----
и
r
---
A
) или шестью
скалярами (
F
x
,
F
y
,
F
z
,
x
A
,
y
A
,
z
A
).
Это – удобно, и так поступают часто. Но задать силу можно также иным
способом, который мы рассмотрим в следующем пункте.
3. Момент силы относительно точки
Хотя сила однозначно характеризуется своими вектором и точкой приложе-
ния, важную роль в механике играет ещe одна ее характеристика.
Момент силы относительно полюса
B
– вектор, приложенный в
точке
B
и равный векторному произведению радиус-вектора точки
приложения силы на вектор силы.
Радиус-вектор здесь, естественно, вычисляется именно относительно полю-
са
B
.
Таким образом:
M
------
B
(
F
----
.
A
) =
[
r
---
BA
,
F
----
]
.
Обратите внимание, что векторное произведение мы здесь будем обозна-
чать квадратными скобками с запятой в середине. Часто используется иное обо-
значение операции векторного умножения – при помощи косого креста между
сомножителями.
Заметьте ещe, что порядок написания сомножителей существенен: ведь Вы
знаете, что при перемене мест сомножителей векторное произведение меняет знак.
В определении было указано, что момент силы приложен в полюсе. Зна-
чит, это – связанный вектор.
Мы не будем указывать его точку приложения справа от символа, обозна-
чающего момент, поскольку она уже указана в виде индекса.
Рассмотрим некоторые свойства момента силы.

---

Page 15

15
Свойства момента силы
Утверждения, которые сейчас будут сформулированы, немедленно вытека-
ют из известных Вам свойств векторного умножения.
1°.
M
------
B
(
F
----
)
⊥ F
----
,
M
------
B
(
F
----
)
⊥ r
---
BA
.
Действительно, векторное произведение ортогонально каждому из сомножи-
телей.
2°.
M
------
B
(
F
----
)
=
r
---
BA
•
F
----
•
sin (
r
---
BA
,
∞
F
----
)
.
По аналогичной формуле вычисляется модуль векторного произведения лю-
бых двух векторов.
Сделаем рисунок, на котором эти свойства момента силы будут проиллюст-
рированы.
x
i
--
j
--
k
---
y
z
B
M
------
B
(
F
----
)
S
r
---
BA
A
F
----
Обратите внимание на треугольник, образованный векторами
r
--
BA
и
F
----
(на
рисунке он заштрихован, а его площадь обозначена через
S
). Рассматривая его,
можно дать первым двум свойствам момента силы иную, весьма наглядную фор-
мулировку.
Модуль вектора
M
------
B
(
F
----
)
равен удвоенной площади треугольни-
ка, образованного векторами
r
---
BA
и
F
----
, а сам этот вектор ортогонален
плоскости данного треугольника.
Действительно, модуль векторного произведения равен площади параллело-
грамма, построенного на сомножителях; а площадь данного треугольника равна
половине площади этого параллелограмма.
Далее, если вектор ортогонален двум непараллельным векторам, лежащим в
одной плоскости, то он ортогонален самой этой плоскости.
Таким образом, в соответствии с этими свойствами мы знаем, чему равен
модуль вектора
M
-----
B
(
F
----
)
, а также знаем, что он ортогонален плоскости треуголь-

---

Page 16

16
ника. Позволяют ли эти сведения однозначно изобразить данный вектор на чер-
теже? Нет: надо ещe знать, в какую именно сторону от плоскости треугольника
она направлен. Векторная алгебра дает ответ и на этот вопрос.
3°. Вектор
M
------
B
(
F
----
)
направлен в ту сторону, откуда кратчайший
поворот от
r
---
BA
к
F
----
виден происходящим против хода часовой стрел-
ки.
То есть:
r
---
BA
,
F
----
,
M
------
B
(
F
----
)
образуют правую тройку векторов.
Строго говоря, все наши рассуждения относятся к случаю, когда треуголь-
ник не вырождается в отрезок или точку. Но в случае такого вырождения век-
торное произведение обращается в ноль.
Это – очень важное утверждение, и его полезно записать, аккуратно сфор-
мулировав. Поясним рассматриваемую ситуацию рисунком.
B
A
F
----
l
Прямая
l
, на которой лежит сила, носит особое название.
Линия действия силы – прямая, проходящая в направлении си-
лы через точку ее приложения.
А теперь сформулируем очередное свойство момента силы.
4°.
M
------
B
(
F
----
.
A
) =
0
⇔ полюс
B
лежит на линии действия си-
лы.
При решении задач нередко возникает вопрос о наиболее целесообразном
выборе полюса. Обычно его выбирают так, чтобы обратить в ноль один или не-
сколько моментов неизвестных сил (чем больше, тем лучше).
С учетом свойства 4
°
ясно, как это сделать: полюс должен лежать на линии
действия неизвестной силы.
Вспомним ещe одно свойство векторного произведения.
Линейность векторного произведения:
[
a
---
,
b
---
+
c
---
]
=
[
a
---
,
b
---
]
+
[
a
---
,
c
---
]
;
[
a
---
,
kb
---
]
=
k
[
a
---
,
b
---
]
.
Отсюда вытекает такое свойство момента силы:

---

Page 17

17
5°.
M
------
B
(
F
----
+
G
----
) =
M
------
B
(
F
----
) +
M
------
B
(
G
----
)
, если силы
F
----
и
G
----
прило-
жены в одной точке;
M
------
B
(
kF
----
) =
k M
------
B
(
F
----
)
.
Первое равенство позволяет вычислять момент суммы двух сил. Заметим,
что если силы (или любые связанные векторы) приложены к разным точкам, то
их складывать нельзя (без ограничений можно складывать только свободные
векторы).
Второе равенство утверждает: если силу увеличить в
k
раз, то и ее момент
увеличится в
k
раз (предполагается, что точка приложения силы не меняется).
Вывод: переход от силы к ее моменту – линейная операция.
Рассмотренные нами пять свойств момента силы весьма часто используются
при решении задач статики. А реальное значение понятия момента силы полно-
стью раскрывается уже в динамике.
Забегая вперeд, отметим:
Момент силы характеризует вращательный эффект силы.
Действительно, если закрепить какое-либо тело в полюсе и приложить к
нему силу, линия действия которой не проходит через полюс, то сила будет стре-
миться повернуть тело вокруг полюса. При этом направление оси поворота опре-
деляется направлением момента силы, а количественный эффект действия силы
будет тем сильнее, чем больше момент по модулю.
Вычислять модуль момента можно по формуле, которая нам известна как
свойство 2
°
момента силы (т.е. как произведение модуля радиус-вектора точки
приложения на модуль вектора силы и на синус угла между этими векторами).
Данное произведение мы интерпретировали как удвоенную площадь некоторого
треугольника.
Однако этой формуле можно, используя понятие линии действия силы,
придать и несколько иной вид.
Опустим перпендикуляр из полюса
B
на линию действия силы.
Длина
h
этого перпендикуляра называется плечом силы относительно
полюса
B
.

---

Page 18

18
B
h
C
r
---
BA
A
S
F
----
l
BC
=
l
.
А теперь рассуждаем так.
По свойству 2°,
M
------
B
(
F
----
)
=
2S
=
2
•
2
1
Fh
=
Fh
.
Здесь мы воспользовались тем, что площадь треугольника можно вычислить
как половину произведения основания на высоту. В нашем случае длина основа-
ния численно равна модулю силы, а высота равна плечу силы.
Из этой формулы сразу видно, в каких единицах измеряется момент силы.
Единица для момента силы в СИ: ньютон-метр (Н
•
м).
Действительно, в записанной формуле первый сомножитель измеряется в
ньютонах, а второй – в метрах.
Таким образом, плечо силы – важная характеристика силы. Определение
плеча силы мы уже записали, но часто удобнее пользоваться несколько иной –
эквивалентной – его формой.
Плечо силы – кратчайшее расстояние от полюса до линии дей-
ствия силы.
В самом деле, это расстояние как раз и равняется длине перпендикуляра,
опущенного из полюса на линию действия силы.
Понятие плеча силы, между прочим, появилось в механике намного раньше
понятия момента силы. Возникло понятие плеча в связи с задачей о равновесии
рычага.

---

Page 19

19
Рычаг:
F
----
õúúúúúùúúúúúû
h
1
B
õúúúúúúúúúúúúùúúúúúúúúúúúúû
h
2
G
----
Решение этой задачи Вам знакомо ещe из школы, а умели ее решать древне-
греческие учeные (вероятно, уже Архит Тарентский). В качестве сил здесь обыч-
но выступают веса двух грузов.
Условия равновесия прямого невесомого рычага (механика Древ-
ней Греции):
G
F
=
h
1
h
2
.
Иными словами, при равновесии отношение весов обратно отношению плеч.
Примерно так выражались и древнегреческие механики, но они ограничивались
лишь словесными формулировками.
Иная форма (механика средневековья):
Fh
1
=
Gh
2
.
Здесь мы воспользовались тем, что произведение крайних членов пропор-
ции равно произведению ее средних членов. В этой формуле мы без труда узна-
ем равенство моментов двух сил (точнее, их модулей).
Указанное свойство пропорции древние греки знали, но говорить о равенст-
ве произведений сил на соответствующие плечи они не могли: в те времена не
было принято перемножать величины разной размерности.
Подобная формулировка условий равновесия рычага появляется лишь в
средние века; тогда же постепенно и возникает понятие момента силы (сначала в
скалярной, а потом и в векторной форме).
Кстати, несколько слов о происхождении термина “момент силы”.
“Момент” – от латинского слова momentum в значении “влия-
ние”.
А вообще это слово латинского языка имеет удивительно много значений.
В “Латинско-русском словаре” И.Х.Дворецкого (1986 г.) указано 13 различных
значений!
Среди них есть значение “мгновение” (мы говорим сейчас: “момент време-
ни”), значение “обстоятельство” (мы говорим: “отметим важный момент в таком-
то деле”)... Когда мы пользуемся термином “момент силы”, то речь идет именно
о влиянии силы на вращение тела, т.е. об ее вращательном эффекте.

---

Page 20

20
Что касается задачи о равновесии рычага, то для древних греков “плечо” –
это именно плечо рычага, т.е. длина участка рычага от его конца до точки опоры.
Общее понятие плеча силы появилось позднее, и историкам механики известно,
когда это произошло.
Общее понятие “плеча силы” ввeл Ибн Корра в задаче о лома-
ном рычаге.
Ломаный рычаг:
F
----
õúúúúúùúúúúúû
h
1
B
≠¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨Æ
h
2
G
----
Ибн Корра утверждает, что действие груза будет таким же, как если бы
рычаг имел форму, показанную штриховой линией. В его рассуждениях фактиче-
ски вводится строгое определение плеча как кратчайшего расстояния от полюса
до линии действия силы.
Ибн Корра, Сабит (836 – 901)
1
– сирийский математик и меха-
ник.
Обсудим теперь такой вопрос. Пусть момент силы и ее вектор известны, а
точка приложения – нет. Можно ли найти радиус-вектор точки приложения си-
лы?
4. Вычисление радиус-вектора точки приложения силы
Прежде чем ответить на поставленный вопрос, решим предварительно одну
задачу из векторной алгебры.
1
Полное имя: Абу-л-Хасан Сабит Ибн Корра ас-Саби ал-Харрани. Он родился в сирийском городе Харран,
а жил и работал в Багдаде, во времена халифа Харуна ар-Рашида. Ибн Корра прекрасно знал труды древне-
греческих учeных, многие из которых дошли до нас только в переводах Ибн Корры на арабский язык. В
нескольких трактатах по математике и м
еханике он изложил собственные научные результаты.

---

Page 21

21
Задача. Разложить в трeхмерном пространстве вектор
a
---
на две
составляющие – параллельную и ортогональную заданному единич-
ному вектору
e
---
.
e
---
a
---
орт
a
---
a
---
пар
Графическое решение данной задачи показано на рисунке; но наша цель
сейчас – получить явные формулы для обеих составляющих вектора
a
--
.
Решение. Запишем равенство
a
---
=
a
---
пар
+
a
---
орт
в виде
(∗)
a
---
=
b
---
+
c
---
,
где
b
---
≡
a
---
пар
∥ e
---
,
c
---
≡
a
---
орт
⊥ e
---
.
С параллельной составляющей – все просто.
Проекция вектора
a
---
на направление вектора
e
---
равна
(
e
---
,
a
---
)
, так
что
b
---
=
(
e
---
,
a
---
)
e
---
.
Чтобы найти ортогональную составляющую, воспользуемся специально вы-
бранной декартовой системой координат, а потом представим результат в форме,
которая от выбора системы координат уже не зависит.
Отметим сначала одно – известное Вам – свойство единичных векторов де-
картовой системы координат.
Для единичных векторов
i
--
,
j
--
,
k
---
декартовой системы
xyz
спра-
ведливы соотношения:
[
i
--
,
j
--
]
=
k
---
,
[
j
--
,
k
---
]
=
i
--
,
[
k
---
,
i
--
]
=
j
--
.
Все эти три формулы получаются друг из друга циклической заменой век-
торов. Если же в векторных произведениях поменять сомножители местами, то в
правых частях появится знак “минус”.
Теперь, учитывая, что вектор
c
--
ортогонален вектору
e
--
, рассуждаем следую-
щим образом.
Пусть разложение (∗) получено. Выберем систему координат
так, чтобы:
i
--
=
e
---
,
j
--
=
c
c
---
,
k
---
=
[
i
--
,
j
--
]

---

Page 22

22
(если
c
---
=
0
, примем за
j
--
произвольный единичный вектор, ортого-
нальный
e
---
).
Вычислим векторное произведение векторов
e
--
и
a
--
.
[
e
---
,
a
---
≠Æ
b
---
+
c
---
]
=
[
e
---
,
b
---
]
≠¨¨Æ
0
+
[
e
---
,
c
---
]
=
[
i
--
,
c j
--
]
=
c
[
i
--
,
j
--
]
=
c k
---
.
Теперь вновь умножим полученный результат на вектор
e
--
.
[
e
---
,
[
e
---
,
a
---
]
]
=
[
i
--
,
c k
---
]
=
c
[
i
--
,
k
---
]
= –
c j
--
= –
c
---
.
Итак, мы фактически получили выражение для вектора
c
--
. Чтобы изба-
виться от знака “минус”, поменяем сомножители в произведении
[
e
--
,
a
--
]
местами.
Ответ:
(∗∗)
a
---
=
(
e
---
,
a
---
)
e
---
+
[
e
---
,
[
a
---
,
e
---
]
]
.
Это – полезная формула, которая нам пригодится ещe не раз. Запомина-
ется она достаточно легко (надо только следить за тем, как расставлены скобки).
Теперь вернемся к исходной механической задаче: как найти радиус-вектор
точки приложения силы, если известны вектор силы и ее момент?
Пусть заданы полюс
B
и векторы
F
----
и
M
------
B
(
F
----
) ≡
[
r
---
BA
,
F
----
]
;
M
------
B
(
F
----
)
⊥ F
----
.
Ясно, что если оба заданных вектора не ортогональны друг другу, то по-
ставленная задача решения не имеет. Буквой
A
мы здесь обозначили искомую
точку приложения силы; вектор
r
--
BA
нам и требуется сейчас найти.
Одно ограничение на вектор силы мы наложим сразу же.
Считаем, что
F
----
≠
0
(иначе точка
A
может быть любой).
Разумеется, если вектор силы равен нулю, то и момент силы должен также
равняться нулю. Тогда условия задачи выполняются при любом выборе точки
приложения силы.
Если сила не равна нулю, то введем в рассмотрение единичный вектор на-
правления силы.
Обозначим
e
---
=
F
F
----
.
Для простоты обозначений индекса “F” при букве
e
--
мы сейчас не пишем.
Теперь рассуждаем так.
Разложим искомый вектор
r
---
BA
на параллельную и ортогональ-
ную составляющие:
r
---
BA
=
r
---
CA
+
r
---
BC
.

---

Page 23

23
B
r
---
BC
C
r
---
CA
A
r
---
BA
e
---
F
----
l
Здесь точка
C
– основание перпендикуляра, опущенного из полюса на ли-
нию действия силы.
Заметим, что
M
------
B
(
F
----
) =
[
r
---
BA
,
F
----
]
=
0
[
r
---
CA
,
F
----
]
+
[
r
---
BC
,
F
----
]
.
Результаты этих выкладок можно сформулировать так.
Замечание. Момент силы не зависит от того, где именно на ли-
нии действия силы находится точка приложения.
Разумеется, от расположения самой линии действия в пространстве момент
силы зависит.
Впрочем, этим результатом мы сможем воспользоваться в будущем, а пока
мы радиус-векторов точек
C
и
A
не знаем.
Чтобы найти их, применим уже известную нам формулу.
В силу (**) на с.22 :
r
---
BA
=
(
e
---
,
r
---
BA
)
e
---
+
[
e
---
,
[
r
---
BA
,
e
---
]
]
=
=
F
2
(
F
----
,
r
---
BA
)
F
----
+
F
2
[
F
----
,
[
r
---
BA
,
F
----
]
]
.
В векторном произведении
[
r
--
BA
,
F
----
]
мы без труда узнаем момент силы
F
----
относительно полюса
B
, который задан.
Но в записанной формуле фигурирует ещe скалярное произведение вектора
силы на радиус-вектор точки ее приложения. Данное произведение также может
рассматриваться как одна из характеристик силы и носит специальное название.
Вириал силы относительно полюса
B
– скалярное произведение
радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:
V
B
(
F
----
.
A
) =
(
r
---
BA
,
F
----
)
.

---

Page 24

24
Формально данное определение напоминает определение момента силы от-
носительно полюса, только вместо векторного произведения используется скаляр-
ное. Результатом при этом, разумеется, служит уже не вектор, а скаляр.
Понятие вириала силы ввeл Клаузиус в 1870 г.
Клаузиус
'
, Рудольф Юлиус Эммануэль (1822 – 1888) – немец-
кий физик.
Это – один из крупнейших физиков XIX века. Основные его работы отно-
сятся к термодинамике, одним из создателей которой он стал. Именно Клаузиус
сформулировал второе начало термодинамики и ввeл понятие энтропии.
Заметим, что
V
B
(
F
----
) =
(
r
---
BA
,
F
----
)
=
(
r
---
CA
,
F
----
)
+
0
(
r
---
BC
,
F
----
)
.
Иначе говоря, вириал силы определяется только параллельной составляю-
щей радиус-вектора точки приложения, т.е. положением этой точки на линии дей-
ствия силы.
Делаем теперь следующий вывод.
Вывод: если известны вектор силы (
F
----
≠
0
), ее момент и вириал
относительного заданного полюса
B
, то радиус-вектор точки
A
при-
ложения силы определяется однозначно:
r
---
BA
=
(
F
----
,
F
----
)
V
B
(
F
----
)
F
----
+
(
F
----
,
F
----
)
[
F
----
,
M
------
B
(
F
----
)
]
.
Квадрат модуля силы мы здесь заменили скалярным квадратом вектора си-
лы. На практике такая форма записи используется несколько чаще.
При запоминании данной формулы следует обратить внимание на порядок
следования сомножителей векторного произведения.
Напомню ещe, что первое слагаемое здесь служит параллельной состав-
ляющей радиус-вектора точки
A
, а второе – ортогональной составляющей (по
отношению к направлению вектора
F
----
).
Заметим теперь, что в исходной постановке сформулированная нами задача
однозначного решения не имеет. Если известны только вектор силы и ее момент,
то мы не можем найти точку приложения силы: требуется для этого знать ещe и
значение вириала силы.
Однако и без знания вириала мы можем определить не так уж мало. Дей-
ствительно:
Формула
r
---
BC
=
(
F
----
,
F
----
)
[
F
----
,
M
------
B
(
F
----
)
]

---

Page 25

25
определяет положение ближайшей к полюсу
B
точки на линии дейст-
вия силы; при этом
r
---
BC
=
h
.
Отсюда:
x
C
=
x
B
+
r
BC
x
,
y
C
=
y
B
+
r
BC
y
,
z
C
=
z
B
+
r
BC
z
.
Нетрудно найти и всю линию действия. В самом деле:
Так как вектор
F
----
служит направляющим вектором линии дейст-
вия, получаем ее канонические уравнения:
F
x
x
−
x
C
=
F
y
y
−
y
C
=
F
z
z
−
z
C
.
В аналитической геометрии это – один из наиболее популярных способов
задания прямой; здесь
x
,
y
,
z
– текущие координаты точки, лежащей на прямой.
Другой способ – задавать прямую ее параметрическими уравнениями. Для
линии действия мы сейчас без труда можем записать и их.
Параметрические уравнения линии действия:
x
=
x
C
+
F
x
t
,
y
=
y
C
+
F
y
t
,
z
=
z
C
+
F
z
t
(
t
– параметр).
Этот скалярный параметр изменяется от –∞ до +∞; его конкретное значе-
ние определяет положение текущей точки. Вообще-то, в нашем случае параметр
t
оказывается размерным; но никаких практических неудобств это не доставляет.
В векторной форме:
r
---
=
r
---
C
≠Æ
r
---
B
+
r
---
BC
+
t F
----
.
Но для точки
A
t
A
F
----
=
r
---
CA
≡
(
F
----
,
F
----
)
V
B
(
F
----
)
F
----
;
отсюда
t
A
=
(
F
----
,
F
----
)
V
B
(
F
----
)
.
Мы сейчас выяснили, как связаны параметр точки приложения силы и ви-
риал силы. Они оказались пропорциональными.
5. Момент силы относительно оси
В этом пункте будет введено ещe одно – достаточно важное – понятие ста-
тики.

---

Page 26

26
Начнем мы, однако, с вычисления проекций момента силы на оси декарто-
вой системы координат. При этом будем считать – для простоты – что полюсом
служит начало системы координат.
Пусть
i
--
,
j
--
,
k
---
– единичные векторы декартовой системы коор-
динат
Oxyz
, а
F
----
.
A
– сила.
Мы будем сейчас предполагать, что и проекции вектора силы, и координа-
ты точки приложения силы известны.
Имеем:
F
----
=
F
x
i
--
+
F
y
j
--
+
F
z
k
---
,
r
---
A
≡
r
---
OA
=
x i
--
+
y j
--
+
z k
---
.
Эти формулы мы уже записывали ранее; для простоты записи индекс “
A
”
при координатах точки
A
сейчас опущен.
Теперь вычисляем момент силы относительно полюса
O
как векторное про-
изведение.
M
------
O
(
F
----
) ≡
[
r
---
,
F
----
]
=
i
--
x
F
x
j
--
y
F
y
k
---
z
F
z
=
= (
yF
z
−
zF
y
)
i
--
+ (
zF
x
−
xF
z
)
j
--
+ (
xF
y
−
yF
x
)
k
---
.
Коэффициентами при
i
--
,
j
--
,
k
---
служат проекции момента силы на оси систе-
мы координат
Oxyz
. Поэтому получаем искомые формулы:
M
O
x
(
F
----
) =
y F
z
−
z F
y
,
M
O
y
(
F
----
) =
z F
x
−
x F
z
,
M
O
z
(
F
----
) =
x F
y
−
y F
x
.
Как можно запомнить полученные формулы?
Если проекции вектора
F
----
обозначать не
F
x
,
F
y
,
F
z
, а
X
,
Y
,
Z
,
то последняя формула принимает вид:
(∗)
M
O
z
(
F
----
) =
xY
−
yX
.
Эта формула легко запоминается, если читать буквы, записанные в правой
части, по-русски. В вузовском фольклоре она известна как “формула ХУ минус
УХ”. Остальные формулы специально запоминать нет нужды: они получаются
друг из друга циклической перестановкой букв
x
,
y
,
z
.

---

Page 27

27
x
y
z
С подобного рода циклической перестановкой мы часто сталкиваемся, когда
речь заходит о координатной записи векторных произведений. Вспомните: в пре-
дыдущем пункте мы уже подвергали циклической перестановке векторы
i
--
,
j
--
,
k
---
,
когда говорили об их попарных векторных произведениях.
Формула (∗) принадлежит Пуансо (1803 г.).
Пуансо
'
, Луи (1777 – 1859) – французский механик, в трудах
которого оформилась геометрическая статика.
Геометрическая статика – это как раз та статика, которую Вы изучаете в
данном семестре. Вы уже видели, что некоторые законы статики были сформу-
лированы очень давно; но систематическое построение статики на основе четко
сформулированных аксиом было сделано именно Пуансо в его трактате “Элемен-
ты статики”, изданном в 1803 году. С его результатами мы встретимся ещe не
раз.
Существует ещe и аналитическая статика – раздел аналитической механи-
ки. Она возникла позднее, но относительно законченные формы приобрела не-
сколько ранее, чем статика геометрическая.
Итак, статику в вузах сейчас излагают, в основном следуя Пуансо. Что из-
менилось с его времeн? Последовательно применяется векторная символика, а в
эпоху Пуансо само слово “вектор” было ещe неизвестно.
Впрочем, Пуансо и его современники прекрасно обходились без него, поль-
зуясь терминами “направленный отрезок” и “геометрическое количество”. Вот
только выкладки у них из-за отсутствия удобного математического формализма
нередко оказывались более громоздкими, чем в современных учебниках.
Предупреждаем: не коверкайте фамилию Пуансо, добавляя “н” на конце
(получите “пуансон” – рабочую деталь штампа). Помните: фамилия Пуансо
оканчивается на букву... “т”:
Poinsot
.
Но вернемся к формуле (∗). Заметим следующий факт.
В правую часть формулы (∗) не входит координата
z
. Поэтому
ее значение не изменяется при сдвиге начала координат вдоль оси
Oz
.
В самом деле, при таком сдвиге изменится только координата
z
, а коорди-
наты
x
и
y
не изменятся.

---

Page 28

28
Вывод: проекция момента силы на ось не изменяется при сдвиге
полюса вдоль этой оси.
Здесь мы говорим уже не об оси
Oz
, а о произвольной оси: ясно, что про-
извольно выбранную ось в пространстве можно принять за ось
Oz
некоторой де-
картовой системы координат.
Это оправдывает введение следующего определения.
Момент силы относительно оси – скалярная величина, равная
проекции на эту ось момента силы относительно точки, лежащей на
данной оси.
Мы только что видели, что от конкретного выбора упомянутой точки ниче-
го не меняется. Поэтому и в обозначении момента силы относительно оси можно
эту точку не указывать.
B



M
z
(
F
----
)
z
M
------
B
(
F
----
)
r
---
BA
A
F
----
M
z
(
F
----
) =
M
B
z
(
F
----
)
Аналитический способ вычисления момента силы относительно оси мы уже
рассмотрели. Рассмотрим другой – геометрический – способ такого вычисления.
Формулирую соответствующий рецепт.
Геометрический способ вычисления
M
z
(
F
----
)
:
1) спроектировать вектор
F
----
и точку
A
на плоскость, ортого-
нальную оси;
2) умножить модуль проекции силы на плечо этой проекции;
3) приписать произведению знак “+”, если с конца оси крат-
чайший поворот от
r
---
BA
до
F
----
виден происходящим против хода часо-
вой стрелки, а иначе – знак “−”.
Обоснуем данный рецепт.

---

Page 29

29
B
r
---
2
r
---
1
r
---
BA
A
F
----
2
h
B
1
z
r
---
1
A
1
F
----
1
F
----
M
------
B
(
F
----
.
A
) =
[
r
---
BA
,
F
----
]
=
[
r
---
1
+
r
---
2
,
F
----
1
+
F
----
2
]
=
=
[
r
---
1
,
F
----
1
]
≠¨¨¨Æ
∥z
+
[
r
---
1
,
F
----
2
]
≠¨¨¨Æ
⊥ F
----
2
, т.е.
⊥z
+
[
r
---
2
,
F
----
1
]
≠¨¨¨Æ
⊥ r
---
2
, т.е.
⊥z
+
0
[
r
---
2
,
F
----
2
]
.
Таким образом, при вычислении проекции момента силы на ось
z
надо учи-
тывать только первое слагаемое. А оно равно моменту силы
F
----
1
относительно точ-
ки
B
1
.
M
B
z
(
F
----
.
A
) =
M
B
1
z
(
F
----
1
.
A
1
) = ±
M
------
B
1
(
F
----
1
.
A
1
)
= ±
F
1
h
.
Нужная формула обоснована. В изображeнной на рисунке ситуации, кста-
ти, надо брать именно знак “+”, так как кратчайший поворот от
r
--
BA
до
F
----
, т.е. от
r
--
1
до
F
----
1
, видим происходящим против хода часовой стрелки.
Замечание. Если
F
----
и
B
лежат в плоскости, ортогональной оси
z
, то последняя формула упрощается:
M
B
z
(
F
----
) = ±
Fh
.
Здесь составляющие векторов с индексами 2 вообще отсутствуют. Поэтому
F
– это модуль самой силы, а не ее проекции; точно так же
h
– это плечо самой
силы.

---

Page 30

30
B
h
A
F
Здесь над буквой
F
черта отсутствует. Так тоже можно писать: буква обо-
значает модуль вектора силы, но не сам этот вектор (направление же вектора си-
лы показано стрелкой).
Поскольку вектор однозначно определeн, когда известны его модуль и на-
правление, то такой способ обозначения векторов на рисунках вполне корректен.
Формула, заключeнная в рамку, лежит в основе решения задач статики по
теме “Плоская система сил”.
Заметим ещe, что для ситуации, представленной на рисунке, в формуле
нужно выбрать знак “–”: сила стремится повернуть тело вокруг точки
B
по ходу
часовой стрелки.
То, о чем мы с Вами говорили до сих пор, относилось, собственно говоря,
не к статике, а лишь к ее формальному аппарату. Мы обсуждали силы и их ха-
рактеристики, практически игнорируя тот факт, что силы приложены к матери-
альным телам.
Вспомним теперь, что в определении статики фигурируют также понятия
равновесия и материального тела.
6. Равновесие материальных тел
Начнем с понятий материального тела и его массы.
Первое утверждение – таково.
Всякое материальное тело в статике рассматривается как мно-
жество точек.
В геометрии поступают аналогично: геометрические тела (имеющие форму
куба, шара, цилиндра и так далее) тоже рассматриваются как множества некото-
рых точек. Только в геометрии считают, что эти точки лежат в пространстве; а в
механике ситуация более сложная.
Аксиома сплошности: в каждый момент времени точкам тела
взаимно однозначно сопоставлены точки пространства, которые не-
прерывным образом заполняют в нем некоторую ограниченную об-
ласть.

---

Page 31

31
Используют такую терминологию:
Положение точки тела – та точка области, занимаемой телом,
которая сопоставлена данной точке тела.
Таким образом, в механике проводят различие между точками самого тела
и их текущими положениями.
Аксиома движения: с течением времени положения точек мате-
риального тела (а значит, и область, занимаемая телом) могут изме-
няться, но только непрерывным образом.
Это означает, что материальное тело не может скачком изменить свое место
в пространстве. Такое скачкообразное изменение рассматривают фантасты и на-
зывают телепортацией; в классической механике это невозможно.
Фактически изменение положения точек тела – это непрерывный процесс.
Как мы говорили ранее, этот процесс и представляет собой механическое движе-
ние.
Насколько реальны наши предположения о материальных телах? Мы зна-
ем, что тела состоят из атомов, атомы – из ядер и электронов. Электроны вооб-
ще не имеют пространственной протяжeнности, а сумма объемов ядер ничтожно
мала по сравнению с объемом тела. Так что реальные тела вовсе не являются
сплошными и в основном “состоят из пустоты”.
Но на макроскопическом уровне дискретность (прерывистость) строения
вещества практически не ощущается, а область применимости классической меха-
ники, как мы знаем, как раз и ограничивается явлениями макромира.
Значит, понятие материального тела в классической механике – это лишь
модель реального тела. Но теория, основанная на такой модели, весьма успешно
работает на практике, и это – главное.
Следующее требование, налагаемое на материальные тела, таково:
Аксиома массы: всякому материальному телу сопоставлена по-
стоянная положительная величина – масса тела:
m
= const ,
m
>
0
.
Постоянство массы тела означает, что она не меняется с течением времени.
В рамках классической механики это справедливо всегда.
Данная аксиома не говорит о том, что такое масса, хотя и устанавливает
важные ее свойства. Реальный смысл понятия массы раскрывается в других ак-
сиомах механики.
Например, из II закона Ньютона следует, что масса – это мера инертности
тела. Об этом мы будем говорить, когда займемся динамикой.
Заметим ещe, что масса сопоставлена телу в целом. Можно говорить также
о массе отдельных частей тела, но не о массе отдельных его точек: ведь этих то-
чек – бесконечно много (целый континуум). Если бы каждая из них имела ко-
нечную массу, масса всего тела была бы бесконечно велика.

---

Page 32

32
При последовательном аксиоматическом построении механики вводят ещe
несколько аксиом, которые ещe более уточняют понятие материального тела.
Например, мы не говорили о том, входят ли в состав области, занимаемой
телом, ее граничные точки; а такой вопрос можно поставить, и есть веские осно-
вания потребовать, чтобы эти точки всегда входили в состав области. Но нам
сейчас будет достаточно трeх перечисленных аксиом.
Эти аксиомы не запрещают материальным телам деформироваться, т.е. ме-
нять свою форму. Но в теоретической механике, как мы уже отмечали, рассмат-
риваются лишь недеформируемые тела, т.е. тела абсолютно твердые.
В большинстве задач на одно твердое тело действует не одна сила, а не-
сколько. В связи с этим возникает понятие системы сил.
7. Системы сил
Системой сил
{
F
----
1
.
A
1
, …,
F
----
n
.
A
n
}
называется совокупность
сил, приложенных к точкам одного и того же АТТ.
Как Вы видите, системы сил обозначают так, как принято обозначать мно-
жество. Однако не всякое множество сил можно рассматривать как систему сил.
Если силы приложены к различным телам (или к одному материальному телу, но
не являющемуся абсолютно твердым), то термин “система сил” к такому множе-
ству не применяют.
Краткое обозначение:
{
F
----
1
, …,
F
----
n
}
.
Рассматривая различные системы сил, в статике выделяют их подклассы,
которые характеризуются теми или иными специальными свойствами. Познако-
мимся с соответствующей терминологией.
Система сил – сходящаяся, если линии действия всех сил пере-
секаются в одной точке.
Силы образуют систему параллельных сил, если линии их дей-
ствия параллельны.
Система сил – плоская, если линии действия всех сил лежат в
одной плоскости.
Во всех этих определениях значение имеют только условия, налагаемые на
линии действия сил. Никаких условий на модули сил системы не налагается.
Как мы уже говорили, силы, действующие на материальные тела, приводят
к изменению состояния покоя или движения этих тел. Но нередко бывает так,
что две различные системы сил оказывают на тела, к которым они приложены,
одно и то же воздействие.
В таких ситуациях принято говорить о том, что такие две системы сил яв-
ляются эквивалентными. Обсудим это более подробно.

---

Page 33

33
Прежде всего, рассмотрим общее понятие эквивалентности каких-либо двух
объектов.
Эквивалентность – это равенство по отношению к некоторым
выделенным признакам.
Полагают, что два объекта эквивалентны, если данные признаки у них сов-
падают. При этом объекты могут различаться какими-либо иными признаками;
но такое различие предполагают – в рамках данного конкретного рассмотрения –
несущественным.
Три обязательных требования к эквивалентности:
1)
A
A
(рефлексивность);
2)
A
B
⇒
B
A
(симметричность);
3)
A
B
,
B
C
⇒
A
C
(транзитивность).
Знак “ ” здесь используется для обозначения отношения эквивалентности.
Но вернемся к системам сил.
Две системы сил
{
F
----
1
, …,
F
----
n
}
и
{
P
----
1
, …,
P
----
m
}
называются эк-
вивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая
состояния покоя или движения АТТ.
В соответствии с уже введeнными обозначениями, это можно записать так:
{
F
----
1
, …,
F
----
n
}
{
P
----
1
, …,
P
----
m
}
.
По смыслу приведeнного определения ясно, что отношение эквивалентности
систем сил удовлетворяет всем трем требованиям к эквивалентности.
В действительности мы сейчас знаем об эквивалентности систем сил совсем
немногое. Из данного определения вовсе не следует ответ на следующий принци-
пиальный вопрос: а как именно можно установить, эквивалентны две конкретные
системы сил или нет?
Для ответа на этот вопрос следовало бы перейти к динамике абсолютно
твердого тела. Действительно, в динамике устанавливаются уравнения движения
твердого тела; если решить эти уравнения при заданных силах, то можно будет
узнать, как именно будет двигаться тело, если к нему приложить ту или иную
систему сил.
В этом случае ответ будет прост: если движения совпадут, то системы сил
эквивалентны; если движения будут отличаться – неэквивалентны.
Но задача решения уравнений движения может оказаться весьма сложной.
Поэтому обычно идут по другому пути: выявляют признаки, по которым можно
судить об эквивалентности двух систем сил, не решая уравнений движения.
Именно такой подход и оказывается наиболее эффективным.
Мы увидим, что вопрос об эквивалентности двух систем сил может быть
решeн уже в рамках статики. Именно, некоторые аксиомы статики как раз и ус-
танавливают факт эквивалентности некоторых простейших систем сил; позже,

---

Page 34

34
опираясь на эти аксиомы, мы получим общий критерий эквивалентности систем
сил.
Однако один частный случай мы можем рассмотреть уже сейчас. Запишем
определение.
Если система сил
{
F
----
1
, …,
F
----
n
}
, будучи приложенной к покоя-
щемуся АТТ, не изменяет состояния покоя, то она называется уравно-
вешенной:
{
F
----
1
, …,
F
----
n
}
∅
.
Справа записана система сил, число сил в которой равно нулю (т.е. пустое
множество). Очевидно, что если к покоящемуся телу вообще не прикладывать
никаких сил, то его состояние покоя не изменится.
Таким образом, уравновешенная система сил эквивалентна пустому множе-
ству.
В механике чаще используется, правда, несколько иной способ записи.
Пишут:
{
F
----
1
, …,
F
----
n
}
0
.
Нуль здесь записан чисто формально – по традиции. Символ нуля в этой
условной записи заменяет символ пустого множества.
Такая запись связана с тем, что символика статики разрабатывалась в те
времена, когда ещe не было ни теории множеств, ни соответствующих обозначе-
ний.
Используют часто и другие названия для уравновешенной системы сил.
Синонимы: система сил, эквивалентная нулю; нуль-система.
Введем теперь в рассмотрение основные характеристики системы сил.
Главный вектор системы сил – свободный вектор, равный сумме
векторов всех сил системы:
R
----
=
∑
k
F
----
k
.
Подчеркнем, что мы здесь складываем не сами силы, а лишь их векторы.
Силы складывать можно, лишь если они приложены к одной точке.
Из определения следует, что главный вектор системы сил сам силой не яв-
ляется, хотя его размерность и совпадает с размерностью силы. Всякая сила обя-
зательно имеет точку приложения, а вектор
R
----
есть вектор свободный, и для него
точка приложения не определена.
Следующее определение:
Главный момент системы сил относительно полюса
B
– вектор,
приложенный в точке
B
и равный сумме моментов векторов всех сил
системы относительно данного полюса:
L
----
B
=
∑
k
M
------
B
(
F
----
k
)
.

---

Page 35

35
В отличие от главного вектора, главный момент системы сил является свя-
занным вектором.
Теорема (об изменении главного момента при смене полюса).
Главный момент системы сил относительно нового полюса
O
получа-
ется, если к главному моменту системы сил относительно старого по-
люса
B
прибавить слагаемое
M
------
O
(
R
----
.
B
)
.
Что это за слагаемое? Вектор
R
----
– это главный вектор системы сил, т.е.
свободный вектор. Здесь указано, что данный вектор приложен в старом полюсе
B
; превратился ли он после этого в силу?
Превратился, только эта сила – не ньютонова, поскольку она не является
мерой воздействия на данное тело со стороны какого-либо другого тела или фи-
зического поля. Такая “сила” введена нами чисто формально.
Поэтому:
Здесь
M
------
O
(
R
----
.
B
) – вычисленный относительно нового полюса
O
момент воображаемой силы, вектор которой равен главному вектору
системы сил и которая приложена в старом полюсе
B
.
Итак, теорема утверждает, что
(∗)
L
----
O
=
L
----
B
+
[
r
---
OB
,
R
----
]
.
Приступаем к доказательству теоремы. Здесь и далее начало и конец дока-
зательства будем обозначать значком .

Обозначим
r
---
k
=
r
---
OA
k
,
r
---
k
' =
r
---
BA
k
.
Напомним, что через
A
1
, …,
A
n
обозначены точки приложения сил
системы.
Очевидно:
r
---
k
=
r
---
OB
+
r
---
k
'
.
Тогда:
L
----
O
=
∑
k
M
------
O
(
F
----
k
) =
∑
k
[
r
---
k
,
F
----
k
]
=
=
∑
k
[
r
---
OB
,
F
----
k
]
+
∑
k
[
r
---
k
'
,
F
----
k
]
=
=
[
r
---
OB
,
∑
k
F
----
k
]
+
∑
k
M
------
B
(
F
----
k
) =
=
[
r
---
OB
,
R
----
]
+
L
----
B
.

Формула (∗) иногда называется формулой Пуансо.

---

Page 36

36
Именно он впервые сформулировал и доказал данную теорему.
Следствие. Если главный вектор системы сил равен нулю, то ее
главный момент не меняется при смене полюса (т.е. представляет со-
бой свободный вектор).
Как мы видели раньше, иногда при решении задач статики бывает полезным
также понятие вириала силы. В связи с этим вводят ещe и такое определение.
Главный вириал системы сил относительно полюса
B
– сумма
вириалов всех сил системы относительно данного полюса:
U
B
=
∑
k
V
B
(
F
----
k
)
.
При смене полюса вириал также изменяется.
Аналог формулы (∗):
U
O
=
U
B
+
V
B
(
R
----
.
B
) ≡
U
B
+
(
r
---
OB
,
R
----
)
.
Доказывается данная формула точно так же, как и формула Пуансо, только
вместо векторных произведений используются скалярные.
Перейдем теперь к аксиомам статики – основным положениям, которые
принимаются в ней в качестве исходных. Опираясь на эти аксиомы, мы уже чис-
то логическим путем сможем получить все важнейшие результаты статики, непо-
средственно используемые при решении практических задач.
Начнем с аксиом первой группы.
8. Аксиомы статики: общие аксиомы о силах
Рассматриваемые в этом и следующем пунктах аксиомы относятся именно к
статике и выражают собой те условия, при соблюдении которых тело не изменяет
своего состояния (в частности, состояния покоя).
Поскольку покой есть весьма частный случай движения, то можно было бы
обойтись без этих аксиом. Именно, все утверждения, которые мы сформулируем
в этом пункте, можно получить как логические следствия из аксиом динамики.
Так иногда и поступают авторы учебников. Но мы с Вами из общих аксиом
механики знаем пока что только аксиомы сплошности, движения и массы; для
формулировки остальных требуется предварительно ввести ряд кинематических
понятий.
Выход – один: излагать статику как самостоятельный раздел науки со
своими собственными аксиомами. Это – тоже весьма распространeнный способ
изложения материала, и вполне состоятельный с логической точки зрения.
Аксиомы для удобства будем нумеровать римскими цифрами.
I. Аксиома параллелограмма сил

---

Page 37

37
Состояние тела не изменится, если две силы, приложенные в од-
ной точке, заменить их геометрической суммой.
A
F
----
1
F
----
2
F
----
{
F
----
1
.
A
,
F
----
2
.
A
}
{
F
----
.
A
}
,
где
F
----
=
F
----
1
+
F
----
2
.
Название аксиомы объясняется тем, что векторы сил складываются по за-
кону параллелограмма. Фактически аксиома утверждает эквивалентность двух
систем сил.
Из симметричности отношения эквивалентности вытекает и обратное утвер-
ждение: сила
F
----
всегда может быть разложена на две составляющие. Поэтому
данную аксиому иногда называют также принципом сложения и разложения сил
по закону параллелограмма.
Хотя данная аксиома сформулирована как аксиома статики, речь в ней идет
о произвольном состоянии материального тела (не только о состоянии покоя).
Значит, принцип сложения и разложения сил применим не только к покоящимся,
но и к движущимся материальным телам.
Задумаемся: а разве этот принцип не следует просто из того, что силы
представляют собой векторы? Если бы этой аксиомы не было, то нам все равно
ничто бы не помешало сложить векторы
F
----
1
и
F
----
2
по закону параллелограмма.
Но аксиома утверждает большее. Она говорит, что эффект одновременно-
го действия на тело двух сил – такой же, как и у одной силы, равной их сумме.
А данное утверждение уже не самоочевидно и обобщает собой данные многочис-
ленных наблюдений и экспериментов.
Мы сформулировали первую аксиому – аксиому параллелограмма сил.
Она утверждает, что две силы, приложенные в одной точке твердого тела,
можно заменить их векторной суммой.
Сформулировано было изложенное правило сложения сил задолго до воз-
никновения векторного исчисления.
Правило сложения сил по закону параллелограмма открыл Сте-
вин (1605 г.).
Стевин, Симон (1548 – 1620) – нидерландский математик, меха-
ник и инженер.

---

Page 38

38
Помимо принципа сложения и разложения сил, Стевин нашeл критерий
равновесия трeх сходящихся сил, представил новое доказательство условий рав-
новесия тела на наклонной плоскости, выдвинул принцип невозможности вечного
движения, разработал теорию действия верeвочных машин.
В гидростатике (статика жидкости) Стевин открыл независимость давления
воды на дно сосуда от формы стенок и обосновал закон сообщающихся сосудов.
Все эти достижения позволяют считать Стевина одним из основоположников ста-
тики и гидростатики.
В математике он одним из первых в Европе ввeл десятичные дроби и отри-
цательные корни уравнений, предложил формулу для расчета сложных процен-
тов. Был также автором трактатов по бухгалтерскому делу и фортификации.
Переходим к другим аксиомам статики. Одно общее замечание по поводу
этих аксиом:
Остальные аксиомы статики предложил Пуансо (1803 г.).
Мы уже говорили о том, что вполне оформилась геометрическая статика в
трактате этого французского учeного “Элементы статики”. Именно в нем Пуансо
и представил ту систему аксиом, которая стала логическим фундаментом статики.
II. Аксиома о нуль-системе
Состояние АТТ не изменится, если к действующей на него сис-
теме сил добавить (или отбросить) нуль-систему.
Напомню, что нуль-системой (или уравновешенной системой сил) называ-
ется такая система сил, которая, будучи приложенной к покоящемуся абсолютно
твердому телу, не изменяет состояния покоя.
В аксиоме речь идет, впрочем, уже не о состоянии покоя, а о произвольном
движении тела.
Чтобы сформулировать следующую аксиому, введем предварительно следу-
ющее определение.
Тело, на движение которого не наложены никакие наперeд за-
данные ограничения, называется свободным.
Например, если на гладкую горизонтальную поверхность положили тяжe-
лый предмет, то поверхность мешает этому предмету провалиться вниз. Это –
наперeд заданное ограничение, и оно должно выполняться при любом возможном
движении тела.
Напротив, свободное тело может в принципе совершать из данного началь-
ного положения любые перемещения в пространстве – все зависит от действую-
щих на это тело сил и от начальных скоростей точек тела.
А теперь – третья аксиома статики:
III. Аксиома о двух силах
Свободное АТТ под действием двух сил находится в равновесии
тогда и только тогда, когда эти силы:

---

Page 39

39
1) равны по модулю;
2) противоположны по направлению;
3) лежат на одной прямой.
F
----
1
A
B
F
----
2
Формально эти условия можно записать так:
(∗)



1
–
2)
F
----
1
= −
F
----
2
3)
F
----
1
∥ AB
.
Таким образом, аксиома утверждает следующее.
Смысл аксиомы:
{
F
----
1
,
F
----
2
}
0
⇔ (∗) .
Действительно, система сил, которая, будучи приложенной к покоящемуся
абсолютно твердому телу, не изменяет состояния покоя, как раз и называется
уравновешенной системой сил, т.е. нуль-системой.
Подчеркнем: аксиома применима только к свободному абсолютно твердому
телу. Вспомните задачу о равновесии рычага (о которой мы говорили, рассмат-
ривая понятие плеча силы). В этой задаче силы не лежали на одной прямой, а
модули их не были равны; однако рычаг находился в равновесии.
Причина – в том, что рычаг не является свободным телом. На его движе-
ние наложено наперeд заданное ограничение, в соответствии с которым точка его
опоры закреплена.
Аксиома III устанавливает необходимые и достаточные условия, при вы-
полнении которых система из двух сил оказывается нуль-системой. А как быть в
случае, когда система состоит из одной силы?
Аксиома о двух силах позволяет дать ответ и на этот вопрос. Поскольку ее
формулировка не предполагает, что точки приложения сил обязаны быть различ-
ными, то можно провести такое рассуждение.
Замечание. Систему сил
{
F
----
.
A
}
можно по аксиоме I заменить
системой
{
F
----
1
.
A
,
F
----
2
.
A
}
, где
F
----
1
+
F
----
2
=
F
----
. Но
F
----
1
∥ AA
, так что
{
F
----
}
0
⇔
F
----
1
= –
F
----
2
⇔
F
----
1
+
F
----
2
=
0
⇔
F
----
=
0
.

---

Page 40

40
Итак, система из одной силы эквивалентна нулю тогда и только тогда, ко-
гда вектор этой силы равен нулю. По аксиоме II, такую силу можно добавлять и
отбрасывать, не меняя состояния тела.
Этот результат, разумеется, является тривиальным. Но из аксиом II и III
вытекает другое – не столь тривиальное – следствие, которое мы сейчас рассмот-
рим.
Следствие (о переносе силы вдоль линии действия). Силу, при-
ложенную к АТТ, можно переносить вдоль ее линии действия в лю-
бую точку, не меняя состояния тела.

Пусть к телу приложена сила
F
----
.
A
, а точка
B
лежит на ее
линии действия.
Приложим к телу также силы
F
----
1
.
B
и
F
----
2
.
B
:
F
----
1
=
F
----
,
F
----
2
= –
F
----
.
A
F
----
F
----
2
B
F
----
1
{
F
----
1
,
F
----
2
}
0
– по аксиоме III.
Можно было бы сослаться и на сформулированное выше замечание,
поскольку мы фактически добавили одну силу, вектор которой равен ну-
лю.
{
F
----
}
{
F
----
,
F
----
1
,
F
----
2
}
– по аксиоме II.
Итак, к силе
F
----
добавлены силы
F
----
1
и
F
----
2
; состояние тела при этом не
изменилось.
Но
{
F
----
,
F
----
2
}
0
– по аксиоме III, так что эти две силы
по аксиоме II можно отбросить.
Итак:
{
F
----
}
{
F
----
,
F
----
1
,
F
----
2
}
{
F
----
1
}
, т.е.
{
F
----
.
A
}
{
F
----
.
B
}
.

Вывод: силу, приложенную к АТТ, можно рассматривать как
скользящий вектор.

---

Page 41

41
Что это такое? Если связанный вектор характеризуется модулем, направ-
лением и точкой приложения, то скользящий вектор – по определению – харак-
теризуется модулем, направлением и линией действия. Точка приложения может
выбираться на линии действия произвольно.
Подчеркнем, что аксиомы II и III (и следствие о переносе силы)
применимы лишь к абсолютно твердым телам.
Сила же, приложенная к деформируемому материальному телу, всегда рас-
сматривается как связанный вектор; переносить ее вдоль линии действия нельзя.
Теперь вспомним, что силы являются мерами механических воздействий на
материальные тела со стороны других тел (или физических полей). Рассмотрим
сейчас только тот случай, когда сила характеризует взаимодействие данного тела
с другим материальным телом.
IV. Аксиома о действии и противодействии
Если на тело 1 с силой
F
----
12
воздействует тело 2, то на тело 2 со
стороны тела 1 действует сила
F
----
21
, причем эти силы:
1) равны по модулю;
2) противоположны по направлению;
3) лежат на одной прямой.
1
A
F
----
12
F
----
21
B
2
Формальная запись:



1
–
2)
F
----
12
= −
F
----
21
3)
F
----
12
∥ AB
.
Записанные условия очень похожи на те, с которыми мы встречались в
формулировке аксиомы о двух силах (аксиома III). Однако есть важное отличие.
Неверно, что
{
F
----
12
,
F
----
21
}
0
, ибо эти силы приложены к раз-
ным телам.
Действительно, само определение системы сил предполагает, что входящие
в нее силы приложены к одному и тому же абсолютно твердому телу.
Обычно первую из указанных сил называют действием, а вторую – проти-
водействием. Эти названия условны и зависят от того, какое из двух тел мы счи-
таем телом 1, а какое – телом 2.
Аксиома о действии и противодействии вовсе не утверждает того, что меха-
ническое взаимодействие двух тел всегда характеризуется двумя силами. В дей-

---

Page 42

42
ствительности взаимодействие может описываться двумя системами сил, дейст-
вующих на каждое из этих тел, и ни одна из этих систем не обязана сводиться к
одной силе.
Аксиома рассматривает только частный случай взаимодействия, и поэтому
ее формулировка начинается со слова “если”. В более общем случае каждой из
сил, приложенных к телу 1, может быть сопоставлена некоторая сила, приложен-
ная к телу 2 и играющая роль противодействия.
Не следует смешивать аксиому о действии и противодействии с III законом
Ньютона, о котором речь идет в динамике (и который Вам известен из курса фи-
зики). Третий закон Ньютона относится к взаимодействию материальных точек,
а данная аксиома – к взаимодействию материальных тел.
Впрочем, в динамике основное утверждение аксиомы о действии и противо-
действии может быть выведено из III закона Ньютона (с привлечением некоторых
других аксиом динамики).
Переходим теперь ко второй группе аксиом статики.
9. Аксиомы статики: аксиомы о связях
Начнем со следующего определения.
Связь – наперeд заданное ограничение на движение тел.
Обычно связи возникают при контакте абсолютно твердых тел и
обусловлены способом их соединения.
Примеры связей Вам уже знакомы из практических занятий. Так, на груз,
лежащий на гладкой поверхности стола, наложена связь: плоскость стола не дает
грузу перемещаться вниз. На рычаг наложена связь (вращательный шарнир), не
позволяющая одной из точек рычага (той, в которой этот шарнир установлен)
перемещаться в пространстве.
Из этих примеров видно, что фактически наличие ограничений на движение
тел связано с механическими воздействиями, которые данные тела испытывают со
стороны других тел. Понятие связи используют в тех случаях, когда эффект та-
ких воздействий может быть описан чисто кинематическим способом (в виде на-
перeд заданных ограничений на положения или скорости некоторых точек тела).
Мерой механического взаимодействия тел является сила. В случае, когда
речь идет о связях, используют такую терминологию.
Реакции связей – силы, действующие на тела со стороны свя-
зей.
Поскольку связи характеризуют эффект некоторых механических воздейст-
вий между материальными телами, то реакции связей относятся к числу ньютоно-
вых сил, представляя собой их частный случай.
В действительности ньютоновы силы можно разделить на два класса.

---

Page 43

43
Ньютоновы силы
реакции связей
активные силы.
Смысл последнего термина определeн сейчас вполне однозначно. Именно:
Активные силы – ньютоновы силы, не являющиеся реакциями
связей.
Это могут быть силы тяжести, силы сопротивления среды и так далее. В
конкретных задачах они обычно бывают заданы; реакции же связей никогда за-
ранее не известны, и их можно найти, только решая соответствующие задачи ста-
тики (или динамики, если тела движутся).
Итак, сейчас речь пойдет о материальных телах (или системах тел), на ко-
торые, возможно, наложены некоторые связи.
V. Аксиома освобождаемости от связей
Состояние тела (или системы тел) не изменится, если отбросить
какие-либо из наложенных связей, заменив действие связей их реак-
циями.
По каким правилам производится такая замена – зависит от конкретного
вида отбрасываемой связи.
Пример 1 (точечный контакт гладких поверхностей). Пусть АТТ
касается в точке
K
гладкой неподвижной поверхности.
Поверхность рассматриваемого твердого тела также считается гладкой.
Предполагается, что данное тело находится под действием некоторой системы
приложенных к нему активных сил. Условие непроникания точки
K
внутрь не-
подвижной поверхности представляет собой связь, наложенную на данное тело.
F
----
1
K
F
----
2
Рассматриваемая сейчас ситуация – не самый общий пример на точечный
контакт двух гладких поверхностей. Именно: одно из контактирующих тел пред-
полагается неподвижным. Впрочем, факт неподвижности этого тела для даль-
нейших рассуждений не принципиален.
Рецепт введения реакции связи в данном примере таков:
При отбрасывании данной связи ее действие заменяется реакцией
связи
N
----
.
K
, направленной по внешней нормали к поверхности.
Почему это так, мы обоснуем чуть позже.

---

Page 44

44
F
----
1
N
----
K
F
----
2
Использование буквы
N
в обозначении реакции связи здесь призвано под-
черкнуть, что реакция направлена по нормали к поверхности.
Вернемся к аксиоме освобождаемости от связей. В ней говорится об отбра-
сывании некоторых связей. Но можно отбросить все связи; в этом случае прихо-
дим к такому выводу.
Замечание. Из аксиомы V следует, что любое несвободное тело
можно рассматривать как свободное, добавив к активным силам реак-
ции связей.
Напомню, что на движение свободного тела не наложены никакие наперeд
заданные ограничения. Теперь мы можем это условие выразить короче: свобод-
ное тело – это тело, на которое не наложены связи.
При решении задач статики подобный прием – освобождение тела от всех
наложенных связей – является обычным.
С правилами, по которым связи заменяются их реакциями, Вы ознакоми-
тесь на практических занятиях. Однако некоторые общие закономерности такой
замены мы рассмотрим сейчас.
Как можно в аналитической форме выразить те ограничения, которые нала-
гаются связью на движение тела? Для этого в механике вводят понятие возмож-
ного перемещения.
Возможное перемещение точки тела – бесконечно малое пере-
мещение этой точки, допускаемое связью в данный момент времени.
Такое перемещение рассматривается как воображаемое. В реальности тело,
находясь под действием конкретной сил, может, например, оставаться в покое; но
мы сейчас говорим о тех движениях, которые оно в принципе способно совер-
шать, не нарушая связей.
Вспомним пример 1, в котором твердое тело касалась в точке
K
гладкой
неподвижной поверхности.
В примере 1: скольжению тела по поверхности отвечает возмож-
ное перемещение точки
K
, направленное по касательной к поверхно-
сти.

---

Page 45

45
δ
r
---
K
K
δ
r
---
K
δ
r
---
K
Здесь через
δr
--
K
обозначен вектор возможного перемещения. Фактически
это – дифференциал радиус-вектора точки
K
. Причину того, что он обозначается
буквой “
δ
”, а не “
d
”, мы выясним в процессе изучения аналитической механики
(на самом деле это связано с оговоркой “в данный момент времени”, которую мы
сейчас не обсуждаем).
На рисунке мы видим сразу несколько векторов возможных перемещений.
На их величину в этой задаче никаких ограничений не налагается; любой из них
допускается связью.
Из этого примера хорошо видно, почему мы говорим именно о бесконечно
малых перемещениях. Именно они направлены по касательной к поверхности;
при конечных же перемещениях точка
K
должна следовать вдоль поверхности,
сообразуясь с ее кривизной.
Напомню ещe, что в данном примере речь фактически идет о гладком то-
чечном контакте двух тел, одно из которых предполагается неподвижным.
Замечание. Далее обсуждается случай, когда одно из двух кон-
тактирующих тел неподвижно (иначе следовало бы говорить об отно-
сительных возможных перемещениях).
Сделанная оговорка позволит нам упростить дальнейшие формулировки,
обойдясь без слова “относительные”.
Следует отметить, что возможные перемещения можно разделить на два
класса.
Возможное перемещение δ
r
---
называется:
– неосвобождающим, если бесконечно малое перемещение − δ
r
---
также является возможным;
– освобождающим, если бесконечно малое перемещение − δ
r
---
возможным не является.
На предыдущем рисунке мы изобразили для примера 1 именно неосвобож-
дающие возможные перемещения, отвечающие скольжению тела по поверхности.
Но тело может просто покинуть данную поверхность.
Освобождающие перемещения в примере 1 (отвечают сходу тела
с поверхности):

---

Page 46

46
δ
r
---
K
K
δ
r
---
K
δ
r
---
K
А вот перемещения точки
K
внутрь поверхности связью запрещены.
В соответствии с подразделением возможных перемещений на два класса
связи можно также разделить на два класса.
Связь – двусторонняя (или удерживающая), если все возмож-
ные перемещения неосвобождающие.
Связь – односторонняя (или неудерживающая), если среди
возможных перемещений есть освобождающие.
Таким образом:
Связь в примере 1 – односторонняя.
Пример двусторонней связи будет приведeн чуть позже. А сейчас сформу-
лируем общее правило, позволяющее судить о направлении реакций связи.
Общее правило: для связей без трения реакция связи ортого-
нальна неосвобождающим возможным перемещениям, а ее проекция
на направление освобождающего возможного перемещения неотрица-
тельна.
Теперь наш рецепт, по которому в примере 1 связь заменяется ее реакцией,
становится обоснованным. Именно:
В силу первого условия в примере 1 реакция связи направлена
по нормали к поверхности, а в силу второго – по внешней нормали.
Из данного примера видно, что изложенному общему правилу можно при-
дать ещe и такую форму (не строгую, но удобную для применения):
Реакция связи направлена в сторону, противоположную той,
куда связь не дает перемещаться телу.
Таким образом, реакция возникает в том и только в том случае, когда воз-
можное перемещение в соответствующем направлении запрещено связью.
Рассмотрим ещe один пример, в котором мы встретимся уже с двусторонней
связью.
Пример 2 (сферический шарнир). Рассмотрим тело, соединeн-
ное с основанием сферическим шарниром.

---

Page 47

47
A
F
----
1
F
----
2
Под основанием в статике понимают неподвижное тело, не входящее в со-
став рассматриваемой механической системы.
А что такое “сферический шарнир”?
Сферический шарнир – вид соединения, при котором два сочле-
нeнных тела имеют общую точку, а других ограничений на относи-
тельное движение тел не накладывается.
В частности, одно из тел может свободно поворачиваться вокруг произ-
вольной оси, связанной с другим телом и проходящей через общую точку.
В нашем примере одно из тел – неподвижное, и слово “относительное” в
определении можно опустить. Общая точка обоих тел и обозначена буквой
A
.
Здесь контакт двух тел – точечный, и связь допускает вращения, так что
реакция связи должна сводиться к одной силе, приложенной в точке
A
.
Условие на возможное перемещение: δ
r
---
A
=
0
.
В самом деле, точка
A
подвижного тела никуда из своего текущего положе-
ния сместиться не может.
Записанное условие позволяет без труда выяснить, к какому из двух клас-
сов относится данный вид связи.
Связь в примере 2 – двусторонняя.
Действительно, возможное перемещение здесь единственное (равное нулю).
От приписывания этому возможному перемещению знака “минус” ничего не меня-
ется, так что перемещение – неосвобождающее.
А как может быть направлена реакция связи? Она должна быть ортого-
нальна вектору
δr
--
A
; но любой вектор ортогонален нулевому вектору.
Вывод: реакция связи
R
----
.
A
может иметь любое направление в
пространстве.
Какое именно, можно установить, лишь решая задачу о равновесии нашего
подвижного тела.
Изобразим это тело освобождeнным от связей.
Освобождeнное от связей тело:

---

Page 48

48
R
----
A
F
----
1
F
----
2
Это – итог наших предыдущих рассмотрений. При решении практических
задач, правда, обычно поступают иначе.
Разложим силу
R
----
на три составляющие, параллельные осям
x
,
y
,
z
:
R
----
=
X
----
A
+
Y
----
A
+
Z
----
A
.
Это – стандартный прием, которым пользуются в случаях, когда неизвест-
но направление искомой силы. Удобство его – в том, что направления сил
X
----
A
,
Y
----
A
,
Z
----
A
теперь определены; неизвестны только величины этих сил.
В данной ситуации рисунок с освобождeнным от связей телом будет выгля-
деть иначе.
Получаем:
X
A
Y
A
Z
A
F
1
F
2
Здесь использовано соглашение, о котором мы уже говорили. Изображены
на рисунке не сами силы, а их величины; направления же сил показаны стрелка-
ми.
“Величина” силы – это не обязательно ее модуль. Именно:
X
A
,
Y
A
,
Z
A
– проекции сил
X
----
A
,
Y
----
A
,
Z
----
A
на направления, обозна-
ченные стрелками:
X
A
= ±
X
----
A
, и т.д.
Если после решения задачи о равновесии данного тела найденное для
X
A
значение окажется отрицательным, то это означает, что в действительности сила
X
----
A
направлена в диаметрально противоположную сторону.

---

Page 49

49
Во избежание недоразумений надо заметить, что на практических занятиях
Вы встречались с вращательными шарнирами. Обозначается вращательный шар-
нир так же, как и сферический; но это – другой вид сочленения.
Именно, при данном сочленении два тела имеют общую ось. Вращательный
шарнир допускает относительное вращение тел только вокруг этой оси – а не во-
круг произвольной оси, как в случае сферического шарнира.
В задачах по теме “Плоская система сил” вращательный шарнир при осво-
бождении от связи заменяется двумя взаимно ортогональными реакциями.
Вернемся теперь к обсуждению аксиом статики. Рассмотрим последнюю из
этих аксиом.
VI. Аксиома о наложении новых связей
Состояние покоя материального тела (или системы тел) не на-
рушится, если наложить новые связи.
Здесь речь идет уже не о произвольном состоянии тела, а именно о состоя-
нии покоя. Наложение новых связей на движущееся тело может изменить харак-
тер движения.
Замечание. Предполагается, что текущие положения точек тела
удовлетворяют вновь налагаемым связям.
Обычно это предположение не оговаривают явно, а подразумевают. Но без
него аксиома VI уже не будет справедливой.
Например, пусть на железнодорожной платформе установлена скамейка, а
на этой скамейке стоит чемодан. Если мы наложим на этот чемодан связь в виде
привязанной к нему верeвки, а другой конец верeвки прикрепим к дверной ручке
проходящего мимо поезда, то через несколько секунд (как только нить натянется)
чемодан покоиться уже не будет...
При решении задач статики часто используется следствие из аксиомы о на-
ложении новых связей, представляющее собой ее частный случай.
Частный случай (принцип отвердевания). Состояние покоя ма-
териального тела (или системы тел) не нарушится, если путем нало-
жения новых связей превратить его в абсолютно твердое тело.
Иными словами, новые связи должны быть такими, чтобы изменение рас-
стояний между любыми точками тела стало невозможным.
Принципом отвердевания удобно пользоваться в такой ситуации. Если де-
формируемое тело (или система твердых тел) находится в равновесии, то оно ос-
танется в равновесии, если его рассматривать как единый “монолит”.
Условия равновесия полученного абсолютно твердого тела будут необходи-
мыми условиями равновесия исходного тела, но не достаточными. Однако из
этих условий, возможно, удастся найти часть неизвестных величин (а если пове-
зет – именно те, которые и представляют интерес в решаемой задаче).
Такой прием решения задач статики будет более подробно разобран на пра-
ктических занятиях.

---

Page 50

50
А сейчас мы рассмотрим ещe один важный вид связей.
10. Ненагруженные поводки
Вновь начинаем с определения.
Поводок – АТТ, имеющее ровно два соединения с другими те-
лами. Поводок называется ненагруженным, если на него не действу-
ют активные силы.
Пример. Рассмотрим два тела, каждое из которых соединено с
ненагруженным поводком, причем соединения допускают вращения.
1
A
поводок
B
2
Обычно в конкретных задачах ненагруженные поводки представлены в ви-
де тонких стержней (прямолинейных или изогнутых), и тогда предпочитают го-
ворить о ненагруженных стержнях. Впрочем, это не обязательно, и в общем слу-
чае форма поводка может быть произвольной.
Мы оговорили, что соединения допускают вращения, и в нашем случае это
именно так: нарисованы два сферических шарнира. Значит, вводимые при осво-
бождении поводка от связей реакции сводятся к двум силам, приложенным в
точках
A
и
B
.
Освободим систему от связей. По аксиоме о двух силах, прило-
женные к поводку реакции
R
----
A
.
A
и
R
----
B
.
B
удовлетворяют условиям:
R
----
A
= −
R
----
B
,
R
----
A
∥ AB
.
R
----
A
A
B
R
----
B
По аксиоме о действии и противодействии, на другие тела дейст-
вуют силы
R
----
(
1
)
.
A
и
R
----
(
2
)
.
B
, причем
R
----
(
1
)
= −
R
----
A
,
R
----
(
2
)
= −
R
----
B
.

---

Page 51

51
1
A
R
----
(
1
)
R
----
(
2
)
B
2
Подчеркнем, что мы оговорили, что соединения допускают вращения. В за-
дачах на пространственные системы сил речь идет о произвольных относитель-
ных вращениях вокруг любых осей, проходящих через точку
A
или через точку
B
. Сферические шарниры допускают такие вращения.
В задачах на плоские системы сил речь идет только о вращениях вокруг
осей, ортогональных плоскости сил. В этом случае можно считать, что шарниры
в точках
A
и
B
– вращательные.
Таким образом, направления всех четырeх сил однозначно определены.
Использованные на наших рисунках обозначения вполне корректны. Од-
нако при решении конкретных задач, как уже говорилось, лучше обозначать на
рисунках не сами силы, а их величины (т.е. проекции на направления, обозна-
ченные стрелками).
А величины всех четырeх сил у нас сейчас одинаковы: они – такие же, как
у силы
R
----
A
. Чтобы учесть это, лучше и обозначать их одинаково.
В иных обозначениях:
R
A
A
B
R
A
1
A
R
A
R
A
B
2
В действительности используемые обозначения можно ещe больше упро-
стить. Ведь мы только что раз и навсегда решили задачу о равновесии ненагру-
женного поводка: действующие на него реакции должны быть направлены именно
так, как на верхнем рисунке.
При решении задач о равновесии систем тел, включающих ненагруженные
поводки, мы теперь всегда можем пользоваться полученным результатом. Итак:
При освобождении системы тел от связей ненагруженные повод-
ки следует рассматривать не как самостоятельные тела, а лишь как
вид сочленения.

---

Page 52

52
Иными словами, ненагруженный поводок рассматривается как промежуточ-
ный элемент, с помощью которого осуществляется соединение между другими те-
лами системы.
Поэтому будет совершенно излишним рисовать отдельно ненагруженный
поводок с действующими на него силами и выписывать для него уравнения рав-
новесия. Он просто отбрасывается, как и любое другое соединение, а его дейст-
вие на соединяемые тела заменяется реакциями.
Обратите внимание: поводок отбрасывается вместе с соединениями на его
концах. В нашем примере было бы грубой ошибкой, если бы для тела 1 в точке
A
были бы нарисованы ещe и реакции шарнира.
Скажем несколько слов ещe о возможных перемещениях в данном примере.
Так как поводок является абсолютно твердым, то
AB
= const.
Считая тело 1 неподвижным, получаем: δ
r
---
A
=
0
, δ
r
---
B
⊥ AB
.
A
B
δ
r
---
B
δ
r
---
B
δ
r
---
B
Действительно, при закреплении точки
A
точка
B
может перемещаться
лишь по поверхности сферы, радиус которой равен расстоянию
AB
. Все нари-
сованные здесь возможные перемещения направлены по касательной к этой сфере.
Все возможные перемещения – неосвобождающие ⇒ связь
–
двусторонняя.
Таким образом, в действительности реакция в точке
B
может быть направ-
лена и к точке
A
, и от нее.
Возможные случаи (при
R
A
>
0
):
R
A
A
B
R
A
(растяжение)
A
R
A
R
A
B
(сжатие)
В первом случае реакции связей стремятся растянуть поводок вдоль прямой
AB
, а во втором – сжать (соответственно, во втором случае изменятся на проти-
воположные и направления сил, действующих на тела 1 и 2). Разумеется, сам
поводок, будучи абсолютно твердым, не будет ни растягиваться, ни сжиматься.

---

Page 53

53
Впрочем, при решении конкретных задач не следует рассматривать оба слу-
чая по отдельности: достаточно ограничиться первым случаем, как мы и делали
раньше. Если значение
R
A
в процессе решения задачи получится отрицательным,
то это и будет означать, что в действительности поводок сжат.
Рассмотрим коротко ещe один вид сочленения, во многом сходный с соеди-
нением тел через ненагруженные поводки.
Рассмотрим два тела, соединeнных гибкой нерастяжимой нитью,
которая предполагается натянутой.
B
A
Роль нити реально могут играть также верeвка, шнур, канат, трос, цепь.
Предположение о том, что нить является гибкой и нерастяжимой, обычно не ого-
варивают явно, а подразумевают.
Применим к участку нити, на который не действуют активные
силы, принцип отвердевания; тогда он превратится в ненагруженный
поводок.
А какие реакции действуют на ненагруженный поводок, мы уже знаем.
Итак:
T
A
B
A
T
A
B
T
A
Реакция нити обозначается буквой
T
(от латинского слова
tensio
‘напря-
жение, натяжение’) и называется натяжением нити. Сила, действующая на не-
подвижное тело, здесь не показана.

---

Page 54

54
Мы видим, что реакция нити всегда направлена вдоль нее; точно так же
направлена и реакция прямолинейного ненагруженного поводка.
Однако одно отличие нити от ненагруженного поводка все же имеется.
Связь через нить – односторонняя:
T
A
·
0
.
Действительно, при попытке сжать нить она перестает быть натянутой и
просто провисает. При этом она больше не будет ограничивать движение соеди-
няемых тел, и ее реакция будет равна нулю.
Итак, мы познакомились с аксиомами статики и простейшими примерами
связей. Перейдем теперь к очередной теме.
§
2. Приведение систем сил к простейшему виду
Речь пойдет о конструктивных способах замены системы сил, приложенных
к абсолютно твердому телу, на эквивалентную ей систему, но более простую.
Какие способы преобразования систем сил, сохраняющие эквивалентность,
мы уже знаем? Те, которые упоминаются в аксиомах статики. Такие преобразо-
вания называются элементарными операциями над системами сил.
1. Элементарные операции
Элементарная операция I типа – замена (по аксиоме I) двух
сил, входящих в систему и приложенных к одной точке, их суммой
(или разложение одной из сил на две составляющие).
Такая операция разрешена аксиомой параллелограмма сил (аксиома I в на-
шем изложении).
Рассмотрим, например, разложение силы на составляющие. Имеем:
{
F
----
1
.
A
1
,
F
----
2
.
A
2
, …
}
{
F
----
'
.
A
1
,
F
----
''
.
A
1
,
F
----
2
.
A
2
, …
}
,
если
F
----
'
+
F
----
''
=
F
----
1
.
Вопрос: как изменятся основные характеристики системы сил при переходе
от старой системы к новой?
R
----
=
F
----
1
≠Æ
F
----
'
+
F
----
''
+
F
----
2
+ … =
F
----
'
+
F
----
''
+
F
----
2
+ …
Сумма, стоящая справа, есть главный вектор новой системы сил. Мы ви-
дим, что он равен главному вектору старой системы сил.
Переходим к главному моменту системы сил. Вспомним при этом одно из
свойств момента силы.
Для сил, приложенных в одной точке,
M
------
B
(
F
----
'
) +
M
------
B
(
F
----
''
) =
M
------
B
(
F
----
1
)
;
поэтому

---

Page 55

55
L
----
B
=
M
------
B
(
F
----
1
) +
M
------
B
(
F
----
2
) + … =
=
M
------
B
(
F
----
'
) +
M
------
B
(
F
----
''
) +
M
------
B
(
F
----
2
) + …
Сумма, стоящая справа, есть главный момент новой системы сил.
Рассмотрим ещe и главный вириал системы сил.
U
B
=
V
B
(
F
----
1
)
≠¨¨Æ
V
B
(
F
----
'
) +
V
B
(
F
----
''
)
+
V
B
(
F
----
2
) + … =
=
V
B
(
F
----
'
) +
V
B
(
F
----
''
) +
V
B
(
F
----
2
) + …
Здесь мы воспользовались одним из свойств вириала силы, по которому
вириал суммы двух сил, приложенных в одной точке, равен сумме их вириалов.
Такое свойство мы раньше не доказывали; сделаем это сейчас.
В самом деле, для сил, приложенных в одной точке:
V
B
(
F
----
'
) +
V
B
(
F
----
''
) =
(
r
---
BA
1
,
F
----
'
)
+
(
r
---
BA
1
,
F
----
''
)
=
=
(
r
---
BA
1
,
F
----
'
+
F
----
''
≠¨¨Æ
F
----
1
)
=
V
B
(
F
----
1
)
.
Вывод: операции I типа не изменяют главный вектор, главный
момент и главный вириал системы сил.
Запишем теперь другое определение.
Элементарная операция II типа – добавление или отбрасывание
(по аксиомам II, III) двух сил с общей линией действия, равных по
модулю и противоположных по направлению (или перенос одной из
сил системы вдоль линии ее действия).
Мы видели, что аксиома о нуль-системе и аксиома о двух силах допускают
такую операцию. Сразу после формулировки данных аксиом было доказано и
следствие, по которому допускается перенос силы вдоль ее линии действия.
Рассмотрим, например, отбрасывание двух сил, образующих нуль-систему.
{
F
----
1
.
A
1
,
F
----
2
.
A
2
,
F
----
3
.
A
3
, …
}
{
F
----
3
.
A
3
, …
}
,
если
F
----
1
= –
F
----
2
,
F
----
1
∥ r
---
A
1
A
2
.
Как ведут себя при этом основные характеристики системы сил?
R
----
=
F
----
1
≠Æ
–
F
----
2
+
F
----
2
+
F
----
3
+ … =
F
----
3
+ … ;
L
----
B
=
M
------
B
(
F
----
1
) +
M
------
B
(
F
----
2
) +
M
------
B
(
F
----
3
) + … =

---

Page 56

56
=
[
r
---
BA
1
,
F
----
1
]
+
[
r
---
BA
2
≠¨Æ
r
---
BA
1
+
r
---
A
1
A
2
,
F
----
2
]
+
M
------
B
(
F
----
3
) + … =
=
[
r
---
BA
1
,
F
----
1
+
F
----
2
≠¨¨Æ
0
, ибо
F
----
1
= –
F
----
2
]
+
[
r
---
A
1
A
2
,
F
----
2
]
≠¨¨¨¨Æ
0
, ибо
F
----
2
∥ r
---
A
1
A
2
+
M
------
B
(
F
----
3
) + … =
=
M
------
B
(
F
----
3
) + …
Вывод: операции II типа не изменяют главный вектор и главный
момент системы сил; главный вириал может измениться.
Последнее утверждение вполне очевидно, если рассматривать такую опера-
цию, как перенос силы вдоль линии ее действия. Ведь вириал, как мы знаем, как
раз и характеризует положение точки приложения силы на линии действия.
Таким образом, в теории эквивалентных преобразований системы сил ос-
новную роль играют именно главный вектор и главный момент системы сил, ко-
торые сохраняются при элементарных операциях.
Понятие же главного вириала применяют в тех задачах, в которых инфор-
мация о точках приложения сил является существенной.
Рассмотрим теперь один из способов замены системы сил на эквивалентную
ей, но более простую систему.
2. Приведение системы сил к двум силам
Теорема. Любую систему сил при помощи элементарных опера-
ций можно привести к двум силам, одна из которых приложена в на-
перeд заданной точке.

1°. Если заданная точка
O
не является точкой приложения
одной из сил системы, добавим к системе силу
F
----
.
O
,
F
----
=
0
.
Уже отмечалось, что силу, вектор которой равен нулю, можно добав-
лять и отбрасывать, не меняя состояния тела. Такое добавление пред-
ставляет собой элементарную операцию II типа.
Силы, входящие в систему, можно нумеровать в любом порядке. Нам
будет удобно считать силу, приложенную к точке
O
, первой из сил сис-
темы.
Итак:
Имеем систему
{
F
----
1
.
O
,
F
----
2
.
A
2
, … ,
F
----
n
.
A
n
}
.
Теперь рассуждаем так.

---

Page 57

57
2°. Если
n
=
2
, теорема уже доказана.
Если
n
=
1
, достаточно добавить где-либо нулевую силу.
Случай
n
= 0 мы исключили уже в пункте 1
°
.
Далее считаем, что
n
·
3
.
3°. Введем обозначения:
F
----
n
−
1
.
A
n
−
1
=
P
----
.
A
,
F
----
n
.
A
n
=
Q
----
.
B
.
Таким образом, мы сейчас интересуемся только первой и двумя по-
следними из сил системы. Чтобы не обременять себя индексами, мы уп-
ростили обозначения и самих сил, и точек их приложения.
Проведем плоскости через:
–
P
----
и
O
;
–
Q
----
и
O
.
На линии
l
пересечения плоскостей возьмем точку
C
, от-
личную от
O
.
Фактически мы провели плоскость через начало и конец вектора
P
----
и
через точку
O
, т.е. через три точки. Если все три точки различны, то
плоскость определена однозначно; если нет – возьмем какую-либо (про-
извольную) из проходящих через три точки плоскостей.
Все сказанное относится и ко второй плоскости. Две эти плоскости
заведомо пересекаются, так как имеют общую точку
O
. Если же они
совпадают, то за линию
l
можно взять любую из прямых, лежащих в
данной плоскости и проходящих через точку
O
.
P
----
A
F
----
1
l
O
C
B
Q
----
4°. Проведем прямые
AO
,
BO
,
AC
,
BC
и разложим:
P
----
=
P
----
'
+
P
----
''
,
Q
----
=
Q
----
'
+
Q
----
''
.

---

Page 58

58
P
----
P
----
'
A
P
----
''
F
----
1
l
O
C
B
Q
----
'
Q
----
Q
----
''
Таким образом, мы применили элементарную операцию I типа и пред-
ставили каждую из сил
P
----
и
Q
----
в виде суммы двух составляющих.
5°. Перенесем
P
----
'
и
Q
----
'
вдоль линий действия в
O
и сложим
с
F
----
1
:
F
----
'
=
F
----
1
+
P
----
'
+
Q
----
'
.
Перенесем
P
----
''
и
Q
----
''
в
C
:
F
----
''
=
P
----
''
+
Q
----
''
.
F
----
'
F
----
1
P
----
'
Q
----
'
l
O
P
----
''
C
Q
----
''
F
----
''

---

Page 59

59
Здесь мы использовали сначала элементарные операции II типа (пе-
ренос силы вдоль линии действия), а потом – операции I типа (сложе-
ние сил по правилу параллелограмма).
В результате система из трeх сил
F
----
1
,
P
----
и
Q
----
преобразована в систему
из двух сил
F
----
'
и
F
----
''
.
Что же мы сейчас имеем?
6°. Исходная система заменена эквивалентной системой из
n
–
1
силы:
{
F
----
'
.
O
,
F
----
2
.
A
2
, … ,
F
----
n
−
2
.
A
n
−
2
,
F
----
''
.
C
}
.
Иными словами, число сил уменьшилось на единицу.
Если
n
=
3
, теорема доказана.
Если
n
>
3
, заменяем
n
на
n
–
1
и возвращаемся к п.6°.
Ясно, что для любого исходного значения
n
мы за конечное число
шагов сведем систему к двум силам, на чем алгоритм и завершится.
В итоге получим:
{
F
----
1
, … ,
F
----
n
}
{
F
----
.
O
,
G
----
.
D
}
.
Если бы исходное число сил равнялось трем, то роль силы
F
----
играла
бы сила
F
----
'
, роль силы
G
----
– сила
F
----
''
и роль точки
D
– точка
C
. Вообще
же на каждом шаге алгоритма силы меняются; но всегда точкой прило-
жения первой из сил будет точка
O
.

Доказанная теорема имеет большое значение. Теперь мы, в частности, уме-
ем решать любую задачу о равновесии твердого тела под действием заданной сис-
темы сил.
В самом деле, достаточно преобразовать эту систему к двум силам, а затем
применить аксиому о двух силах: если две эти силы равны по модулю, противо-
положны по направлению и лежат на одной прямой, то равновесие будет иметь
место, а иначе – нет.
Ещe одно замечание, относящееся к данной теореме:
Теорема принадлежит Эйлеру (1765 г.).
Леонард Эйлер (1707 – 1783) – швейцарский математик и меха-
ник.
“Швейцарский” здесь означает только происхождение. 20-летним молодым
учeным он приехал в Петербург, и всю оставшуюся жизнь (с некоторым перерывом)
работал в России и Германии.
Вне всякого сомнения, это – учeный номер один и в математике, и в меха-
нике. Он явился основоположником многих разделов этих наук; список научных
трудов Эйлера содержит около 850 названий.

---

Page 60

60
В механике Эйлер заложил основы динамики абсолютно твердого тела.
Фундаментальным был и вклад Эйлера в статику и кинематику; о его результа-
тах мы будем говорить ещe не раз.
Изложенное здесь доказательство теоремы о приведении к двум силам дает
конструктивный алгоритм такого преобразования. Однако в общем случае данная
процедура оказывается громоздкой, так что задача преобразования системы сил к
простейшему виду нуждается в дальнейшем исследовании.
3. Пара сил
Речь в этом пункте пойдет о системе из двух сил. Однако не всякая систе-
ма из двух сил образует пару.
Пара сил – система двух сил, равных по модулю и противопо-
ложно направленных.
A
F
----
B
B
F
----
A
Из определения вытекает, что линии действия сил, образующих пару, обя-
зательно параллельны. Через две параллельные прямые всегда можно провести
плоскость.
Плоскость пары сил – плоскость, проходящая через линии их
действия.
Естественно задать сразу же такой вопрос: может ли пара сил быть эквива-
лентна нулю?
По аксиоме о двух силах, пара сил эквивалентна нулю ⇔ ее
силы лежат на одной прямой.
В такой ситуации, разумеется, плоскость пары сил определяется неодно-
значно. В частном случае, когда векторы сил пары равны нулю, также можно
считать, что силы лежат на одной прямой.

---

Page 61

61
Если же линии действия сил пары не совпадают, то пара сил нулю не экви-
валентна. Таким образом, это – простейший пример такой системы сил, которую
нельзя заменить одной силой, т.е. которая не сводится к равнодействующей.
Рассмотрим главный вектор и главный момент пары сил.
R
----
=
F
----
A
+
F
----
B
= −
F
----
B
+
F
----
B
=
0
.
L
----
O
=
M
------
O
(
F
----
A
) +
M
------
O
(
F
----
B
) =
[
r
---
OA
,
F
----
A
≠Æ
−
F
----
B
]
+
[
r
---
OB
≠Æ
r
---
OA
+
r
---
OB
,
F
----
B
]
=
= −
[
r
---
OA
,
F
----
B
]
+
[
r
---
OA
,
F
----
B
]
≠¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨Æ
0
+
[
r
---
AB
,
F
----
B
]
≡
M
------
A
(
F
----
B
)
.
Вывод: главный вектор пары сил равен нулю, а главный момент
пары сил не зависит от выбора полюса.
Действительно, последнее выражение не зависит от того, где именно взят
полюс
O
.
Поэтому вводится такая терминология.
Момент пары сил – свободный вектор, равный векторному про-
изведению радиус-вектора точки приложения одной из сил пары, взя-
того относительно другой точки приложения, на эту силу:
M
------
≡
M
------
(
F
----
A
,
F
----
B
) =
[
r
---
AB
,
F
----
B
]
≡
[
r
---
BA
,
F
----
A
]
.
В последнем выражении оба сомножителя векторного произведения изме-
нили знак, так что результат не изменился.
Мы только что видели, что главный момент пары сил относительно любого
полюса один и тот же и равен моменту пары.
Особенно легко вычисляется модуль момента пары сил. В самом деле, вве-
дем такое определение:
Плечо пары сил – расстояние между линиями действия сил па-
ры.

---

Page 62

62
A
h
F
----
B
B
F
----
A
Расстояние между параллельными прямыми равно длине общего перпенди-
куляра к этим прямым. На рисунке за основание перпендикуляра взята точка
приложения силы
F
----
A
.
Теперь вычисление модуля момента пары сил становится тривиальным.
M
------
=
M
------
A
(
F
----
B
)
=
F
B
•
h
≡
F
A
•
h
.
Следствие. Пара сил эквивалентна нулю ⇔
h
=
0
⇔
M
------
=
0
.
Если же момент пары сил отличен от нуля, то эта пара сил нулю не экви-
валентна.
Нетрудно вычислить и направление момента пары сил, поскольку этот мо-
мент равен моменту силы
F
----
B
относительно точки
A
(а направление момента силы
мы определять умеем). В результате получаем такое утверждение:
Момент пары ортогонален плоскости пары и направлен в ту сто-
рону, откуда поворот, который стремится вызвать пара, виден проис-
ходящим против хода часовой стрелки.
F
----
A
M
------
F
----
B
В современной геометрической статике понятие пары сил играет, как мы
сейчас увидим, важнейшую роль.
Понятие пары сил ввeл в 1803 г. Пуансо, доказавший следую-
щую теорему.

---

Page 63

63
Теорема (о приведении системы сил к силе и паре). Любую
систему сил при помощи элементарных операций можно привести к
силе, приложенной в наперeд заданной точке
O
(центре приведения),
и к паре сил. При этом главный вектор
R
----
равен вектору этой силы, а
главный момент
L
----
O
– моменту этой пары.

1°. По теореме о приведении к двум силам:
{
F
----
1
, … ,
F
----
n
}
{
F
----
.
O
,
G
----
.
D
}
;
R
----
и
L
----
O
сохраняются при элементарных операциях.
Значит, достаточно доказать нашу теорему для системы из двух сил.
2°. Добавим нуль-систему
{
F
----
'
.
O
,
F
----
''
.
O
}
, взяв
G
----
=
F
----
'
=
= −
F
----
''
, а затем сложим
F
----
и
F
----
'
:
P
----
=
F
----
+
F
----
'
.
O
F
----
P
----
F
----
'
F
----
''
D
G
----
Получили:
{
F
----
,
G
----
}
{
P
----
,
G
----
,
F
----
''
}
; сила
P
----
и пара
{
P
----
,
G
----
}
– искомые.
Действительно, силы
G
----
и
F
----
'
образуют пару сил.
При этом:
R
----
=
P
----
+
G
----
+
F
----
''
≠¨¨Æ
0
=
P
----
,
L
----
O
=
M
------
O
(
P
----
)
≠¨¨Æ
0
+
M
------
O
(
G
----
) +
M
------
<div style="position:absolute;top:79540;left:53