Сопротивление материалов

 

 

 

 

ЗАДАЧА 1.1

Стальной ступенчатый стержень (рис.1.1.1) находится под действием продольной силы F и собственного веса (γ = 78 кН/м3). Требуется:

1. построить эпюры продольных усилий и напряжений;
2. определить опасное сечение и произвести проверочный расчет стержня, если σadm = 160 МПа;
3. определить удлинение стержня (Е = 2·105 МПа).

Исходные данные:

     А= 12 см2;   

     F = 13 кН;

     l1 = 2,3 м;

     l2 = 2,8 м;

     l3 = 1,3 м.

РЕШЕНИЕ:

1. При учете собственного веса стержня расчетная схема задачи имеет вид представленный на рисунке  где    n1 = g×A = 0,0936 кН/м,

n2 = g×2A = 0,1872 кН/м,  n3 = g×A = 0,0936 кН/м.

Для определения внутренних усилий  применяется метод сечений. Стержень разбивается на участки. Границами участков служат сечения, в которых приложены  внешние силы, изменяются площадь поперечного сечения или характер нагружения. На каждом участке стержень мысленно  рассекается плоскостью перпендикулярной к оси стержня. Положение выбранного сечения фиксируется координатой X. Отбрасывается одна из отсеченных частей и действие отброшенной части заменяется внутренними усилиями, которые определяются из условия равновесия отсеченной части.

    Эпюрой  внутренней силы называется график, показывающий распределение этой силы вдоль оси стержня.

При центральном растяжении в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N. Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяются  по формуле . Продольная сила N и нормальное напряжение s считаются положительными,  если они вызывают растяжение продольных волокон стержня.                       

В данном случае стержень разбивается на три участка, площади поперечных сечений которых

А1 = А= 12 см2;    А2 = 2×А = 24 см2;    А3 = А = 12 см2.

I участок: (0 £ х1 £ 2,3м)

 åFх= F-N1 + n1x1 = 0

 N1 = n1x1 +F = 0.078 x1+F    

N1(0) = 0,215 кН,    N1(2,3м) =0.215+13=13,215 кН          

  ;    s1(0) = 0,017,       s1(1м) = 1,10 Мпа

II участок: (0 £ х2 £ 2,8м)

åFх= F +  n1ℓ1 + n2x2 - N2 = 0

N2 = n1ℓ1 + F + n2x2

N2(0) = 13,215 кН, N2(2,8м) = 13,215+0,1872*2,8=13,739 кН

           s2(0)= 0,55 МПа,          s2(2,8м) = 0,572 МПа

 

 

III участок: (0 £ х3  £ 1,3м)

åFх=n1ℓ1+n2ℓ2+n3x3-N3=0 

N3= n1ℓ1 + F + n2 ℓ2  + n3 x3

N3(0) = 13,739 кН, N3(1,3м) = 13,860 кН  

  σ 3 (0) = 1,144 МПа,  s3(1,3) = 1,155 МПа

По найденным значениям строим эпюры продольной силы N  и напряжения s.

При построении эпюр соблюдаются следующие правила:

1. эпюры строятся на базисных линиях; которые должны быть параллельны оси стержня;
2. ординаты эпюр откладываются перпендикулярно базисной линии;
3. на эпюрах в характерных точках проставляются числовые значения ординат; знак внутренних сил указывается в кружочке на площади эпюры;
4. эпюры штрихуются по нормали к базисной линии.

 

2. По эпюре нормальных напряжений  определяем опасное сечение. Опасным является сечение,  в котором нормальное напряжение принимает максимальное по абсолютной величине значение. В рассматриваемой задаче опасным является сечение B, в котором  =1.155 МПа.

Условие прочности стержня при растяжении-сжатии: аdm                                                                                 

Условие прочности выполняется.

3. Удлинение стержня при растяжении  определяется по формуле:  , где ℓ - длина стержня.

В случае, если  продольная сила N  и жесткость стержня ЕА  постоянны по длине стержня, то

   

В данной задаче абсолютное удлинение стержня ℓ определяется как сумма удлинений отдельных участков:       Δℓ 1 + Δℓ 2 + Δℓ3  .

Т.к. собственный вес колонны мал по сравнению с приложенной нагрузкой F, удлинение стержня Δℓ можно определить без учета собственного веса                 ( n1 = 0;   n2 = 0;  n3 = 0 ) Е = 2·105 МПа

  Δℓ =

Положительное значение Δℓ показывает, что стержень испытывает растяжение.

 

ЗАДАЧА 1.3.

М1 = 1,2 кН м, М2 = 4,5 кН м

 М3 = 1,2 кН м    М4 = 1,9 кН м                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

  ℓ1 =  1,2 м, ℓ2 = 1,2 м

 ℓ3 = 2,6 м, ℓ4 = 1,9 м

τad m = 100 МПа, G = 8 104 МПа

1. Для построения эпюры  крутящих моментов применяем  метод сечения. Разбиваем вал на участки, начиная со свободного торца. В сечении, где требуется определить крутящий момент, отсекаем вал плоскостью, перпендикулярной к оси.  Действие отброшенной части заменяем внутренним крутящим моментом Т, который определяем из уравнения равновесия отсеченной части. Крутящий  момент Т будем считать положительным, если при взгляде в торец рассматриваемой отсеченной части стержня он стремится вращать ее по ходу  часовой стрелки.

I участок  ( 0 )

              

 Т1 = М1 = 1,2 кН·м

 II участок ( 0   )

    

  Т2 = М1  +  М2  = 5,7 кН·м                                                                          

III участок (

 

Т3 = М2 +  М1  + М3 =  6,9 кН· м

VI участок (

 

Т4 = М2 +  М1  + М3 -M4=  5.0 кН· м

По полученным значениям рисуем эпюру Т.

Диаметр вала подбираем из условия прочности при кручении:

                                 ,

где  τмах  –  максимальное расчетное напряжение,  τadm  – допускаемое касательное напряжение, Wρ= –  полярный  момент сопротивления ; для круглого сечения  Wρ =

Максимальный   крутящий момент действует на III участке

Из условия прочности

Округляя до стандартного значения, получим d = 7 см.

Вычисляем углы закручивания φ.

Если на  некотором  участке вала длиной ℓ действует постоянный крутящий момент Т и вал имеет постоянную жесткость  на кручение  G Jρ, то угол поворота крайних сечений этого участка относительно друг  друга определяется по формуле ( закон Гука при кручении ):

,                      ( 1 )

где Jρ – полярный момент инерции; 

 =0,75031*10,6 для круглого сечения. Используя формулу ( 1 ) , последовательно определяем углы закручивания сечений В, С, D и Е относительно заделки

  ℓ1 =  1,2 м, ℓ2 = 1,2 м

 ℓ3 = 2,6 м, ℓ4 = 1,9 м

τad m = 100 МПа, G = 8 104 МПа

  =  0,015  рад; 

= 0,029 рад;

= 0,011 рад.

= 0,002 рад.

Строим эпюру углов закручивания.  

Определяем относительные углы закручивания по участкам.

              ;

Строим эпюру относительных углов закручивания.

Наибольший относительный угол закручивания на участке  DC: .

  Допускаемый  угол закручивания

.

Следовательно, условия жесткости

выполняется. 
ЗАДАЧА 2.1.

F = 15 кН, g = 10 кН/м,

M = 50 кН·м,

а = 0,6 м, b = 2,8 м,

с = 0,4 м, .

sadm = 8 МПа , .

Рис.2.1.1

1. Для заданной балки построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов  М. Определим реакции HB, RB  на опоре В из уравнений равновесия балки:

Для  проверки правильности определения реакций  RA и  RB , составим уравнение  равновесия в виде проекций всех сил на ось  Ζ:        .

Для построения эпюр применяем  метод сечений. На каждом из трех участков мысленно проводим сечение. Отбрасываем  часть балки, где приложено больше внешних сил. Действие отброшенной части заменяем внутренними силовыми факторами Qy и Му, которые  находим из уравнений равновесий  отсеченной части.

Поперечную силу Qz считаем положительной, если она стремится повернуть элемент балки относительно сечения против хода часовой стрелки. Изгибающий момент Му считаем  положительным, если он вызывает растяжение верхних волокон.

I участок  ( )

 

  II участок  ( )

               

 

III участок  ( )

 

 

 

 

 

Cтроим эпюры Q и М

  Подбор деревянной балки  круглого поперечного сечения. Условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

Максимальные нормальные напряжения   σмах  действуют в сечении B (опасное сечение ), где  изгибающий момент имеет максимальное значение М мах = 50 кН м. Осевой момент сопротивления для круглого вала    . 

Из условия прочности (1)

Максимальные    касательные  напряжения   τ мах     действуют  на   участке   II,    где Qmax = 34 кН.

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям:

,

где Jmax  –  осевой момент инерции для круга;

    – статический момент инерции отсеченной части;

    bz           – ширина сечения , где действуют τmax .

На рисунке показаны эпюры нормальных и касательных напряжений. Из эпюры τ видно, что максимальные касательные напряжения действуют в точках, лежащих на нейтральной линии ( z = 0 ). В этом  случае

     

C учетом этого

Следовательно, условие прочности ( 2 ) выполняется; так как  τadm = 4 МПа, и для схемы подходит деревянная балка диаметром d = 40 см, площадь сечения которой А = 1256 см2.

Подбор деревянной балки прямоугольного сечения производим аналогично. Для прямоугольного сечения

,         т.к .  h / b = 1,4                            (3)   

Из условия прочности ( 1 ) с учетом ( 3 ) получим:

следовательно, h = 42 см, b = 30 см.

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям (2 ). Для прямоугольного сечения.

.

Откуда

  при  .

 

Cледовательно, для данной схемы нагружения подходит деревянная балка прямоугольного сечения размерами     b = 30  см ;  

 h = 42 см  с площадью  поперечного сечения    А = 1260 см2.

Площадь прямоугольного сечения оказалась не меньше площади круглого сечения.