Деформации песчаного основания

В ряде работ исследуют  деформирование выемок в грунте, например, плоской (О.Я. Шехтер,) и пространственной (В.М. Лиховцев, 1978). Во втором случае рассматривают цилиндрическую выемку конечной глубины, загруженной произвольной нагрузкой. Для этого использованы теории обобщенного упругого потенциала. Краевая задача сведена к решению двумерного сингулярного интегрального уравнения. Нагрузка на торец выемки задана в виде ряда.

В [22] получены формулы  для определения напряжений и  перемещений с использованием Я.С. Уфлянда и с учетом полного  прилипания круглого местного фундамента к основанию:

s_z=pl_z

W_s=

K_z

где l_z и K_z- коэффициенты, зависящие от z / R и v.

При наличии прилипания s_z убывают с глубиной быстрее, чем при отсутствии прилипания. Напряжения в первом случае несколько больше чем во втором.

Проведено решение для определения  осадки s и крена i 
абсолютно жесткого круглого фундамента, расположенного на поверхности основания -однородной, изотропной, линейно-деформируемой среды. Трение под фундаментом отсутствует.

Расчетные формулы имеют вид:

s=

;

i=

где r, V- переменные величины;R£ r£ R; 0£ V£ 2p.

Вертикальное перемещение поверхности  грунта вокруг фундамента:

s=

Предложена зависимость  между параметрами моделей упругого полупространства и местных деформаций (коэффициенты постели). Коэффициент упругого неравномерного сжатия:

c_i=M/I*I=

Коэффициент упругого равномерного сжатия грунта:

с_z = р_z / s;

s =

р_z ;

с_z=

c_i=8c_z/3

В [22] приведено решение  задачи о вдавливании в упругое  изотропное полупространство штампа с  плоским кольцевым основанием. На штамп действует осевая вертикальная сила F. Силы трения между штампом и полупространством отсутствуют. Поверхность за штампом не нагружена.

Решение   задачи   сведено   к   интегральному   уравнению   Фредгольма второго  рода. Глубина вдавливания штампа:

d=g

;

g^--1=

Напряжения на площадке контакта определены из выражения:

s_z(r,0)=

g(b)db (a<r<R_ex)

Для вычисления d  и s_z(r,0) необходимо определить функцию g(b), являющуюся решением интегрального уравнения Фредгольма. Используя метод последовательных приближений, определены зависимости R=f(y). При R=0.1..0.8, g=1.003..1.152.

В [23] приведены формулы  для расчета осадки s и реактивных давлений при действии осесимметричной нагрузки на жесткий кольцевой фундамент,

Расчетные формулы получены из парных интегральных уравнений:

s=

s=

где 1_о(rа) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Трение под фундаментами не учитывается. При 0< r<R_in и R₂<r < s=0; R_in<r<R_ex w=const, a s=p(r)

p(r)=

F=

Расчетные формулы получены в виде:

s=

;

i=

p(r)=

где w(п)- коэффициент, равный 0,5; 0,52; 0,57 при R = 0; 0,6 и 0,8;                      т =f(R) -коэффициент, определяемый из условия s = const.

К. Е. Егоров показывает [24], что в  действительности под фундаментом  деформируется сравнительно небольшая  толщина грунтового массива, следует  учитывать сжимаемый конечный слой толщиной Н, подстилаемой несжимаемой частью основания.

При выводе формул для расчета напряжений на контактной плоскости сжимаемого слоя с несжимаемой частью основания  происходит полное прилипание слоев  и 0< υ < 0.5. Приведены данные расчетов для однородного полупространства (внутренняя кривая) и сжимаемых слоев. Огибающая кривая (пунктир) показывает изменение напряжения на контактной плоскости сжимаемого слоя с несжимаемой частью основания при непрерывном увеличении т=Н R. Для т<1, s_z >р, что является результатом предположения об отсутствии касательных напряжений на контактной плоскости с несжимаемой частью основания. Рекомендовано принимать в пределах 0<H<R <s_z = p .

Расчетную осадку вычисляют по формуле:

                                        s=

где K_i - безразмерный коэффициент, зависящий от размеров фундамента и глубины залегания i-го, слоя грунта; М = f(H) - поправочный коэффициент для перехода от модели однородного полупространства к модели основания конечной толщины.

Позднее (ОФ и МГ, 1992, №5) К.Е. Егоров проводит сопоставление двух моделей расчета напряжений в основании: линейно деформируемого полупространства и слоя конечной толщины. Он подтверждает необходимость пользоваться моделью конечной толщины, т.е. учитывать сжимаемую толщу грунтов.

В [5] показано, что если расчет осадок кольцевых фундаментов по моделям линейно-деформируемого полупространства и слоя конечной толщины в ряде случаев дает удовлетворительные результаты, то при определении усилия в плитах возникают значительные расхождения с экспериментом. Наблюдения за послойными перемещениями грунта позволили выделить две зоны верхнюю, прилегающую к фундаменту, где деформации велики и модуль деформации E₁ мал, и нижнюю, где напряжения меньше структурной прочности, деформации обратимы и малы, а модуль деформации Е₂ на порядок выше. Отношение Е₁ / Е₂ изменяется в пределах 1/8...1/15. Толщину сжимаемого слоя рекомендуется определять из сопоставления действующих напряжений со структурной прочностью.

Задача решена численно, методом  коллокаций. Область, занимаемая штампом, разбивается на п концентрических колец равной площади. Давление в каждом из колец принимается постоянным и определяется из равенства осадок заданной w₀:

где w_ij - осадка поверхности в точке r_i от единичного давления по j-му кольцу.

Описан численный алгоритм, позволяющий находить оптимальные  решения для более равномерной  осадки клиновидного основания под  штампом. Это достигается за счет изменения положения внешней  нагрузки на штамп или путем целенаправленного  изменения формы подошвы.

Математическая      модель      представлена      следующей      системой интегральных уравнений:

=w_с+j_y(x-x_c)+j_x(y-y_c);

=N; =N(x_c-e_x);

=N(y_c-e_y);

где F - область контакта между штампом и основанием;                          w(х,у,x,h) -фундаментальное решение для вычисления осадки поверхности клина в т. (х,у) от единичной вертикальной силы, в т. (x,h); р(x,h) - функция контактных давлений; w_с - осадка центра штампа; j_x,j_y, - крены штампа относительно осей ОУ и ОХ; х_с, у_с - координаты центра штампа: N -равнодействующая вертикальной силы; e_x,e_y

Решение системы построено с  использованием граничных элементов  и сводится к решению системы  линейных алгебраических уравнений. Если на отдельных элементах возникают растягивающие напряжения, то эти элементы исключаются из области контакта.

Учет совместной работы основания с фундаментом и  надземным сооружением.

Башенные сооружения рассчитывают с учетом их деформативности и податливости основания. Особое внимание придается расчету устойчивости башенных сооружений [25]. При отклонении упруго-деформируемого сооружения на малый угол q уравнение моментов имеет вид:

M+Vq+

-M_p=0

где V и М - расчетные значения соответственно вириала и момента внешних горизонтальных X_i и вертикальных Y_k сил; x_k - горизонтальные смещения точек приложения вертикальных сил от деформации основания; М - момент реактивных  давлений  да  подошве  фундамента;  N -  равнодействующая реактивных давлений грунта;

М_р=-k₀q ,

где k₀ - коэффициент пропорциональности, являющейся функцией характеристик грунта, формы и размеров подошвы фундамента.

Опрокидывание происходит при совместном действии моментов и вариантов, достигших  предельного значения М_пр и V_np. Предельные значения при раздельном действии М_пр⁰ и V_пр⁰.

Для фундамента с квадратной подошвой предельный вириал равен:

Отрыв происходит при е > 0,212b. При М_р =0.212b₁N

где К =f(b₁ / b), b₁ - длина зоны контакта; V₀, E₀ - коэффициент Пуассона и модуль деформации грунта основания.

Нагрузка на обрез  фундамента дымовой трубы F_tot и M_tot приводят к вертикальной нагрузке F, распределенной по кольцу z_f, равному среднему радиусу нижней части трубы [26]:

F = F_g+F_vcosj;

F_g= F_tot/(2pr_f)

F_v= M_tot/(p^r2_f)

где (р - угол, отсчитываемый от радиального сечения, совпадающего с плоской действия M_tot. В расчетах принимают cosj = 1 .

Верхнее строение оказывает  сопротивление повороту плиты V = dw / dr и горизонтальному перемещению и срединной поверхности плиты в месте примыкания к стакану. Возникающие здесь усилия равны

x₁ =k₁₁V+k₁₂u+k_1fF

x₂ =k₂₁V+k₂₂u+k_2fF

где k₁₁, k₁₂, k₂₁, k₂₂ - коэффициенты матрицы жесткости верхнего строения;   k_1f,k_2f - коэффициенты влияния нагрузки.

Зависимость перемещения w(х,у) поверхности линейно-упругого основания от вертикальной нагрузки p(h,x) представляют в интегральной форме:

w (х,у)=

где K(x,y,h,x) - ядро интегрального уравнения - перемещение точки поверхности основания с координатами х, у от действия вертикальной сосредоточенной силы, равной единице и приложенной к поверхности основания в точке с координатами h,x.

При расчете численными методами плоскость  контакта А представляют в виде отдельных  площадок А_i(i=1,2,...,п) с постоянными реактивными давлениями p_i.

Интегральная зависимость в  матричной форме имеет вид:

=[s]{p}

где {w} - вектор перемещений, каждый элемент которого                        w_i - осредненное в пределах i-ro участка перемещение; [s] - матрица единичных осадок, каждый элемент которого есть средняя осадка 1-го участка поверхности основания от давления единичной интенсивности в пределах j-ro участка поверхности.

Зная вектор перемещений, можно  определить вектор реактивных давлений:

{p}=[c]{ w}

где [с] - [s]^-1 - матрица единичных реакций основания.

Каждый элемент С_ij матрицы есть среднее реактивное давление на участке i, вызванное перемещением участка j поверхности основания на единицу.

В [18] рассматриваются вопросы оптимизации фундаментов сооружений башенного типа. Переменные параметры и ограничения делят на внешние и внутренние. Внешние ограничения включают конструктивные и Q<Q_u; s<s_u; i<I_u; p_m<R, где Q_u - предельное значение поперечной силы при расчете прочности наклонных сечений.

Внутренними ограничениями является ширина раскрытия трещин, а переменными  параметрами - коэффициенты армирования  в радиальном и окружном направлениях.

В [27] описана методика численного моделирования процесса взаимодействия железобетонных фундаментов с грунтовой средой. В основу модели бетона положены деформационная теория пластичности и условия прочности Г.А. Гениева, а грунта - неассоциированный закон пластического течения, условие пластичности Мизеса-Шлейхера-Боткина и дилансионные соотношения В.Н. Николаевского. При решении задачи использовано сочетание метода дополнительных нагрузок и переменных жесткостей. Численный эксперимент показал, что исчерпание несущей способности происходит в результате разрушения бетона путем сдвига и дробления в условиях неоднородного обжатия.

Практические методы расчета. В [28] для разных R приведены е_0min соответствующие началу отрыва s_min = 0, и е_{0 mах} случаю, когда A_fomp/A_f<0,25,

где A_{f omp}    - площадь отрываемой части подошвы; A_f  - площадь всей подошвы.

Некоторые данные сведены  в таблицу 1.

Таблица 1  Минимальные и максимальные эксцентриситеты.                           

R	0	0.5	0.55	0.6	0.65	0.7	0.75
е0min	0.25	0.31	0.33	0.34	0.36	0.37	0.39
е0mах	0.43	0.48	0.48	0.48	0.48	0.48	0.49

 

Нелинейные значения е₀ могут быть вычислены из выражения:

е₀= 0,25(1 +R²).

Дальнейшее развитие такого подхода нашло в [18] составленные таблицы помогают получить оптимальное  решение при разных R, получить длину зоны сжатия.