Статическое изучение взаимосвязей

 

n-2	а = 0,05	а = 0,02	а = 0,01
4	0,8114	0,8822	0,9172
8	0,6319	0,7155	0,7646
10	0,5760	0,6581	0,7079
13	0,5139	0,5923	0,6411
1S	0,4438	0,5155	0,5614
20	0,4227	0,4921	0,5368
25	0,3809	0,4451	0,4869
30	0,3494	0,4093	0,4487
40	0,3044	0,3578	0,3972
50	0,2732	0,3218	0,3541
60	0,2500	0,2948	0,3248
70	0,2319	0,2737	0,3017
80	0,2172	0,2565	0,2830
90	0,2050	0,2422	0,2673
100	0,1946	0,2321	0,2540

 

 
3. В тех случаях, когда линейный  коэффициент корреляции, полученный  по данным относительно малой  выборки, близок к единице, для  проверки его существенности  рекомендуется использовать метод преобразованной корреляции, предложенный Р. Фишером.

 
Р. Фишер показал, что распределение логарифмической функции линейного коэффициента корреляции приближается к нормальной кривой даже для выборок очень небольшого объема.

 

Множественная регрессия

 

Суть регрессионного анализа: построение математической модели и определение ее статистической надежности.

Вид множественной линейной модели регрессионного анализа:

Y = b0 + b1xi1 + ... + bjxij + ... + bkxik + ei

где ei - случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеют нулевую среднюю и дисперсию s.

Назначение множественной регрессии: анализ связи между несколькими независимыми переменными и зависимой переменной.

Экономический смысл параметров множественной регрессии  
Коэффициент множественной регрессии bj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.

Матричная запись множественной линейной модели регрессионного анализа:

Y = Xb + e

где Y - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) наблюдаемых значений результативного признака (y1, y2,..., yn);  
X - матрица размерности [n x (k+1)] наблюдаемых значений аргументов;  
b - вектор - столбец размерности [(k+1) x 1] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели;  
e - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) ошибок наблюдений (остатков).

На практике рекомендуется, чтобы n превышало k не менее, чем в три раза.

Задачи регрессионного анализа 

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n оценки неизвестных коэффициентов регрессии b0, b1,..., bk. Задачи регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных Xi и Y:

• получить наилучшие оценки неизвестных параметров b0, b1,..., bk;

• проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

• проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).

Построение моделей множественной регрессии состоит из следующих этапов:

1. выбор формы связи (уравнения регрессии);

2. определение параметров выбранного уравнения;

3. анализ качества уравнения и поверка адекватности уравнения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.

Множественная регрессия:

• Множественная регрессия с одной переменной

• Множественная регрессия с двумя переменными

• Множественная регрессия с тремя переменными

Пример решения нахождения модели множественной регрессии

Множественная регрессия с двумя переменными

Модель множественной регрессии вида Y = b0 +b1X1 + b2X2;

1) Найтинеизвестные b0, b1,b2 можно, решим систему трехлинейных уравнений с тремя неизвестными b0,b1,b2: 

 
Для решения системы можете воспользоваться решение системы методом Крамера 
2) Или использовав формулы

 
Для этого строим таблицу вида:

Y	x1	x2	(y-yср)2	(x1-x1ср)2	(x2-x2ср)2	(y-yср)(x1-x1ср)	(y-yср)(x2-x2ср)	(x1-x1ср)(x2-x2ср)

Выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов множественной регрессии можно определить следующим образом:

 
Здесь z'jj - j-тый диагональный элемент матрицы Z-1 =(XTX)-1. 

  
Приэтом:  
  
где m - количество объясняющих переменных модели.

В частности, для уравнения множественной регрессии

Y = b0 + b1X1 + b2X2

с двумя объясняющими переменными используются следующие формулы:

 
 
Или   
  
или   
, , .  
Здесьr12 - выборочный коэффициент корреляции между объясняющими переменными X1 и X2; Sbj - стандартная ошибка коэффициента регрессии; S - стандартная ошибка множественной регрессии (несмещенная оценка). По аналогии с парной регрессией после определения точечных оценок bj коэффициентов βj (j=1,2,…,m) теоретического уравнения множественной регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов.

Доверительный интервал, накрывающий с надежностью (1-α) неизвестное значение параметра βj, определяется как

Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.