Статистическое изучение доходов населения

2. Индекс глубины бедности (Р1):

         ;

3. Индекс остроты бедности (Р2):

         .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Расчетная часть

                                              Задание 1

      По материалам 1%-ной  механической выборки домашних  хозяйств региона получены следующие  данные о распределении домохозяйств  по величине среднедушевых доходов:

                                                                                                            Таблица 1

Среднедушевые денежные доходы в месяц, руб.	Число домохозяйств
До 1000	184
1000-2000	916
2000-3000	280
3000-4000	140
свыше 4000	80

 

    

      По данным обследования  определить:

1. Структуру домохозяйств по среднедушевому доходу.
2. Среднедушевой доход домашних хозяйств.
3. Показатели вариации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Оценить качество (однородность) совокупности.
4. Моду, медиану, первый и девятый децили.
5. Рассчитайте децильный коэффициент дифференциации доходов.
6. С вероятностью 0,954:

а) возможные пределы  среднедушевого дохода домашних хозяйств региона;

б)   возможные пределы удельного веса домашних хозяйств, имеющих доход менее 2000 руб.

       Сделайте выводы.

 

       Решение.

     1. Определим  структуру домохозяйств по среднедушевому  доходу путем деления числа  домохозяйств каждой группы на  общее число домохозяйств выборки и умноженное на 100%. Результаты поместим в таблице:

                                                                                                             Таблица 2

                    Структура домохозяйств по среднедушевому  доходу

Среднедушевые денежные доходы в месяц, руб.	Число домохозяйств	Накопленные частоты	Структура, %
До 1000	184	184	11,5
1000-2000	916	1100	57,25
2000-3000	280	1380	17,5
3000-4000	140	1520	8,75
свыше 4000	80	1600	5
Всего	1600		100

 

      Из таблицы видно,  что большую долю домохозяйств в выборке составляют домохозяйства со среднедушевыми денежными доходами от 1000 до 2000 руб. в месяц – почти 60%.

     2,3. Определим  среднедушевой доход домашних  хозяйств  в выборке и показатели  вариации:

      Составим  расчетную таблицу:

                                                                                                             Таблица 3

       Расчетные  значения, необходимые для исчисления  среднего и дисперсии

Среднедушевые денежные доходы в месяц, руб.	Число домохозяйств, f	Середина интервала, чел., Х	Х*f	(Х-Хср)	(Х-Хср)^2	(Х-Хср)^2*f
До 1000	184	500	92000	-1385	1918225	352953400
1000-2000	916	1500	1374000	-385	148225	135774100
2000-3000	280	2500	700000	615	378225	105903000
3000-4000	140	3500	490000	1615	2608225	365151500
свыше 4000	80	4500	360000	2615	6838225	547058000
Итого:	1600	-	3016000	-	-	1506840000

 

                            руб.,

      т.е. среднедушевой  доход в выборке составил 1885 руб.

      Дисперсия  признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, в нашем случае взвешенная дисперсия для вариационного ряда равна:

                     

      Среднее  квадратическое отклонение  равно корню квадратному из дисперсии: руб.

      Определим коэффициент  вариации, %:

                                       

      Коэффициент  вариации используют как характеристику  однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. В нашем случае V 51,5%, следовательно, данная совокупность домохозяйств количественно неоднородна.

4. Определим моду, медиану, первый и девятый децили по формулам для интервального ряда:

     Мода М :

                           М = х + i ,  где

х - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i – величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

      Интервал  с границами среднедушевого дохода 1000-2000 рублей в данном распределении  является модальным, так как  он имеет наибольшую частоту.  Тогда мода равна:

                      руб.

      Медиана М :

                            М = х + i ,  где

х - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i – величина медианного интервала;

S - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

      Медианным  является интервал с границами 1000-2000 руб.:

                       руб.

      Для расчета первого  и девятого децилей по интервальному  вариационному ряду используются  формулы для вычисления медианы,  только в этом случае вместо  медианного интервала используют интервалы, в которых находятся варианты, отсекающие по 10% численности частот в разных концах ряда распределения.

      Для  расчета первого и девятого  децилей воспользуемся формулами:

                                        ,

                                        ,

где - нижняя граница интервала, содержащего первый дециль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 10%);

- нижняя граница интервала,  содержащего девятый дециль (интервал  определяется по накопленной  частоте, первой превышающей 90%);

- величина децильного интервала;

- накопленная частота интервала,  предшествующего интервалу, содержащему первый дециль;

  - то же для девятого  дециля;

- частота интервала, содержащего  первый дециль;

- то же для девятого дециля.

      Рассчитаем  первый и девятый децили.

      Первый  дециль находится в интервале  0-1000 руб., накопленная частота которого  равна 184 человека, а девятый дециль  находится в интервале 3000-4000 руб., накопленная частота которого  равна 1520 домохозяйств. Отсюда самые  низкие доходы равны:

                                  руб.

      Самые высокие  доходы равны:

                            руб.

      5. Рассчитаем децильный коэффициент дифференциации доходов населения по формуле:

            раза.

      Децильный коэффициент  дифференциации доходов населения  показывает, что среднедушевой денежный  доход, выше уровня которого  имели доход 10% населения (высокодоходная  группа), в анализируемом периоде  превышал в 3,9 раза уровень  дохода, ниже которого имели доход 10% населения (низкодоходная гуппа).

     6. а) Определим  с вероятностью 0,954 пределы среднедушевого  дохода домашних хозяйств региона:

          При расчете ошибки выборки  для среднедушевого дохода используем  формулу:

                    ;

      , или 1% по условию; - генеральная средняя; - выборочная средняя; - выборочная дисперсия того же признака.

       Следовательно, подставим в формулу полученные ранее значения:

                    ; ;   

                            

     Предельная  ошибка выборки для средней при механическом отборе:

                                 

- нормированное отклонение (“  коэффициент доверия”), зависит  от вероятности, с которой гарантируется  предельная ошибка выборки (Р=0,954).

     По таблице  Р=Ф(t)=0,954, следовательно t=2.

     При t=2 с вероятностью 0,954 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не выйдет за пределы .

     Предельная  ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы для средней:

                                               ;

                                          ;

                                          ;

     Выборочная  средняя равна 1885 руб.. Вычислим  границы:

                                   ;

                                         

      С вероятность 0,954 можно утверждать, что среднедушевой доход домашних хозяйств будет заключен в границах от 1836,8 до 1933,2 руб.

     б)  Определим  возможные пределы удельного  веса домашних хозяйств, имеющих  доход менее 2000 руб.

     Удельный  вес или выборочная доля (w) рассчитывается по формуле:

                                        

     Предельную  ошибку выборки для доли определяем  по формуле бесповторного отбора:

                         

      Подставив полученные значения в формулу, получим:

                   

      Генеральная  доля (р) рассчитывается по формуле:

                                                    

      Границы,  в которых будет находиться генеральная доля, исчисляем, исходя из двойного неравенства:

                                              ;

      Подставив  значения, получим:

                                    

                               , или

      Таким  образом, с вероятностью 0,954 можно  утверждать, что удельный вес  домашних хозяйств, имеющих доход  менее 2000 руб., будет находиться  в пределах от 66,5% до 71,1%.

                                                Задание 2

      Имеются данные  о распределении общего объема  денежных доходов населения региона, %: