Статистический анализ СУ в САПР

Этот метод требует выполнения очень большого объема вычислений; его применение выгодно, если в каком-либо маршруте проектирования нужно решать задачи, как статистического анализа, так и анализа чувствительности.

6. Метод сопряжённых уравнений

Для определения строки матрицы чувствительности интегрируется дополнительная система ОДУ, называемая сопряжённой.

 

 

3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СУ В САПР

 

При учёте производственного разброса внутренних параметров относительно номинальных значений компоненты вектора Х следует рассматривать как случайные величины. Выходные параметры также будут иметь разброс относительно номинальных значений.

Цель статистического анализа – получение информации о рассеянии выходных параметров Y и расчёт вероятности выполнения условий работоспособности. На основе статистического анализа прогнозируется возможный процент брака из-за невыполнения условий работоспособности, а при учёте старения внутренних параметров возможна оценка надёжности проектируемого объекта.

Статистический анализ сводится к определению основных статистических характеристик выходных параметров проектируемого объекта: плотности распределения этих параметров (гистограмм), математического ожидания (номинальных значений), средних квадратических отклонений (дисперсий), коэффициента корреляции и т.д. Исходными данными для статистического анализа являются технические требования на выходные параметры, предельно допустимые отклонения внешних параметров, сведения о законах распределения внутренних параметров. В большинстве случаев точная статистическая информация о внутренних параметрах отсутствует, но и при наличии приближённых исходных данных об их разбросе статистический анализ даёт полезную для проектирования информацию.

 

1. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СУ В САПР

 

1. Метод наихудшего случая

Метод наихудшего случая характеризуется следующими требованиями:

выходной параметр должен находиться в пределах установленного поля допусков при наиболее неблагоприятных сочетаниях погрешностей.

Существует два способа расчёта погрешностей этим методом:

а) Первый состоит в том, что погрешность внутренних параметров определяется арифметическим или квадратичным суммированием частичных отклонений, вызванного действием каждого дестабилизирующего фактора в отдельности. По этим суммарным погрешностям определяется погрешность выходного параметра.

б) При втором способе отдельно определяется частичная погрешность выходного параметра за счёт погрешностей внутренних, вызванных влиянием каждого воздействующего фактора в отдельности. Результирующая погрешность выходного параметра определяется суммированием частичных погрешностей. Например, при ускорении релятивистских электронных сгустков в линейном электронном ускорителе с помощью дифференциального волновода неточность при изготовлении четырёх основных размеров волновода приводит к сдвигу сгустков по фазе ∆Qi. Этот сдвиг однозначно изменяет набираемую энергию.

В первом случае учёт этих изменений может быть произведён следующим образом:

∆ ∆Q1+∆Q2+∆Q3+∆Q4

При этом изменения (отклонения) в набираемой энергии оцениваются как

∆W=ƒ(∆ )

Следует отметить, что оба способа дают одинаковые результаты только при линейной зависимости параметров. Для нелинейных зависимостей при втором способе получаются меньшие погрешности выходного параметра.

Основные недостатки этого метода следующие:

1. Необоснованно арифметическое и квадратичное суммирование погрешностей параметров. Квадратичное суммирование частичных погрешностей внутренних параметров справедливо только при нормальном законе распределения погрешностей;

2. Отсутствует количественная оценка попадания выходного параметра в поле допусков;

3. Невозможно оценить случаи появления крайних и средних значений выходного параметра;

4. Не позволяет определить причину выхода параметра из поля допуска если на него влияют несколько факторов;

Однако этот метод очень прост и позволяет быстро оценить (хотя и грубо) верхний предел допустимых отклонений внутренних и внешних параметров изделия.

2. Метод моментов

При анализе методом моментов постулируют нормальный закон

распределения погрешностей внутренних и выходного параметров. Исходными являются характеристики закона распределения внутренних параметров.

Расчёт точности по методу моментов сводится к определению среднего значения (математического ожидания) определяемого выходного параметра и его среднего квадратического отклонения или дисперсии

γ=φ(mx ,mx ,…,mx )

где mx математическое ожидание исходных параметров, γ - математическое ожидание выходной функции, а дисперсия

Dy = (∂φ/∂xi)m*Dx

где (∂φ/∂xi)m производная функции по i-му параметру в точке математического ожидания этого параметра.

Этот метод дает точные результаты только для линейных зависимостей и при нормальном распределении погрешностей. Для нелинейных зависимостей даже при нормальном законе распределения имеют место значительные ошибки.

3. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло)

Наиболее эффективным и современным методом является метод Монте-Карло, который получил в последнее время очень широкое распростронение. Этот метод имеет гораздо более широкие области применения при проектировании (анализе и синтезе математических моделей).

Можно выделить два основных направления применения метода Монте-Карло.

Во-первых, для исследования влияния случайных факторов, естественным образом присутствующих в структуре объекта. Учёт этих факторов в рамках имитационного моделирования имеет очень важное значение при проектировании.

Во-вторых, этот метод стал активно использоваться для решения детерминированных задач, т.е. задач, модели которых не содержат элемент случайности. В этом проявляется универсальность этого метода. Решение таких задач достигается построением вспомогательных вероятностных моделей, куда в качестве параметров входят подлежащие определению постоянные величины.

Поскольку основной идеей при решении детерминированных задач методом Монте-Карло является замена детерминированной задачи эквивалентной статистической, то естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближённое, погрешность которого уменьшается с увеличением числа испытаний.

Однако наибольшее значение метод Монте-Карло приобрёл в САПР при исследовании влияния случайных факторов (временных или пространственных) непременно имеющих место при работе любого изделия. Он является основным методом многовариантного анализа в настоящее время.

При программной реализации метода Монте-Карло статистические испытания проводят с ММ объекта проектирования, где при этом моделируется задание случайных значений параметров компонентов ММ.

Алгоритм статистического анализа по методу Монте-Карло включает N-кратное выполнение анализа работы объекта, в каждом варианте анализа задаются случайные значения внутренним параметрам Х в соответствии с их законами распределения и фиксируются значения выходных параметров, то есть каждый вариант анализа работы объекта и представляет собой очередное статистическое испытание. Результаты испытаний обрабатываются с целью получения оценок числовых характеристик распределений выходных параметров и графиков статистических распределений (гистограмм).

Сложность задания случайных значений вектора Х внутренних параметров модели обусловливается разнообразием законов распределения и коррелированностью элементов вектора Х между собой. Выработка случайных значений внутренних параметров выполняется с помощью специальных алгоритмов. Для заданных законов распределения и коэффициентов корреляции для всех элементов вектора Х возникает задача моделирования этих законов. Чтобы решить эту задачу, проводят преобразования произвольно заданных законов распределения хj к теоретическим (обычно нормальному или равномерному). При статистическом анализе для параметров, у которых нет сведений о законе распределения, также предполагается нормальный закон распределения. Выработка случайных значений усложняется при наличии корреляционной связи между внутренними параметрами. Поэтому необходимо найти преобразование исходных статистических данных в многомерное теоретическое распределение с независимыми составляющими. Тогда обратное преобразование позволит моделировать произвольно распределенные случайные векторы X с реально существующими статистическими связями между его элементами.

Пусть L – m-мерный нормированный нормально распределенный вектор с некоррелированными элементами; P – m-мерный нормально распределенный вектор с коррелированными элементами, отражающими реальные связи элементов в объекте.

Подготовительный этап для проведения статистических испытаний заключается в определении вектор-функций F и H прямого P = F(X) и обратного X = H(P) преобразований. Пусть известны гистограммы распределения для всех внутренних параметров xj. Рассмотрим последовательность преобразования некоторой случайной величины x с произвольным распределением в величину p, имеющую нормированное нормальное распределение:

где jp(p) – плотность распределения p; Mp и sp – математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины p, причем Mp=0; sp=1.

Плотности распределения случайных величин x и p связаны соотношением jp(p)dp = jx(x(p)) dx. При этом

где xk и xk+1 – границы (k+1)-го интервала гистограммы распределения величины x; ΔNk+1 – число попаданий в (k+1)-й интервал гистограммы при общем количестве измерений величины x, равному N. В то же время интеграл в (4.6) равен

где F – интеграл вероятностей, а Uk = (p(xk) – Mp)/sp = p(xk).

Из (4.6) и (4.7) следует

Пусть известны U0, F(U0) и , по (4.7) найдем F(U1) и по таблице интеграла вероятностей U1 = p(x1), затем аналогично определим F(U2) и U2 и т.д. В результате получим зависимость прямого pk = f(xk) и обратного xk = h(pk) преобразований в табулированном виде. Совокупность функций h представляет собой преобразование H, с помощью которого можно задать случайное значение внутренним параметрам на основе вектора P, т.е. X=H(P).

В качестве исходных данных для реализации m взаимно коррелированных значений внутренних параметров удобно использовать последовательность некоррелированных нормально распределенных нормированных случайных чисел lj. Векторы L и P связаны соотношением P = ALPL, где ALP – матрица линейного преобразования. Способ получения матрицы ALP известен и представлен в литературе, в частности, на основе корреляционной матрицы вторых моментов.

Значения внешних параметров Q должны выбираться исходя из требований метода наихудшего случая, следовательно, статистический анализ должен начинаться с анализа чувствительности выходных параметров к изменению внешних параметров. Выбор режима статистических испытаний по внешним параметрам (номинальной, либо по наихудшему случаю) находится в компетенции проектировщика.

Алгоритм рабочего этапа метода Монте-Карло:

1. задание случайных значений вектора L ;
2. преобразование векторов L в P = ALP L и P в X=H(P);
3. одновариантный анализ работы объекта с расчетом Y при данном X;
4. повторение пунктов 1–3 до конечного числа испытаний N;
5. статистическая обработка результатов расчета.

Точность метода Монте-Карло во многом зависит от заданного количества испытаний N. Если задать погрешность оценки Mi и si в пределах (0.01–0.001) % с доверительной вероятностью 0.95, то N = 108. Однако на практике подобная точность не требуется, так как исходные данные имеют большую погрешность. Обычно N = 50¸200 при этом погрешность оценки Mi составляет (12–24) %, si – (10–23) % с доверительной вероятностью 0.9–0.95.

Достоинством метода Монте-Карло является простота реализации; универсальность, так как используется при произвольных законах распределения Х, а также при нелинейных и неявных видах связи между Х и Y, что является важным фактором при особенностях математического описании такого сложного и физически разнородного объекта, как современные СУ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Такие задачи проектирования, как многовариантный анализ, и статистические исследования предполагают многократное вычисление характеристик ССУ при изменении параметров компонентов, на что уходит до 95% машинного времени. Поэтому, вопросы разработки математического и программного обеспечения подсистем многовариантного анализа являются актуальными и заслуживают самостоятельного исследования. С другой стороны, эти вопросы должны решаться совместно с разработкой САПР на основе системного подхода. Последнее требование обусловлено тем, что выбор метода и организация программного обеспечения подсистемы многовариантного анализа во многом определяются автоматизируемыми проектными процедурами.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Норинков И.П. Автоматизированное проектирование: учебное пособие: М., 2010.
2. Мухутдинова Г. С. Система автоматизированного проектирования ЭМУ И ЭМПЭ: УГАТУ, 2005. С. 13-37.
3. Шимко В.Т. Основы САПР. СПб., 2011. С. 404

URL: http://www.intuit.ru/department/hardware/resp/9/1.html

4. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования: учебное пособие: 4-е изд. М.: МГТУ им. Баумана, 2009. С. 254-435
5. Дементьев Ю.В. САПР в автомобиле: учебное пособие: М., 2004. С. 101-221.
6. Кудрявцев Е. М. Актуальные проблемы моделирования в системах автоматизации проектирования: М., 2003. C. 325-400