Задачи по "Статистике"

Задача 1 
имеются следующие данные о распределении продовольственных магазинов региона по размеру товарооборота в месяц:

Группы магазинов  по товарообороту, млн.руб.	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140
Число магазинов	2	4	7	10	15	20	22	11	6	3

Вычислить средний  месячный размер товарооборота магазина региона, дисперсию, коэффициент вариации

 

Решение. Для расчета средней  из интервального ряда необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом. Для  закрытых интервалов за дискретное число принимается средняя: арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала.

 

x =45*2 + 55*4 + 65*7 + 75*10 + 85*15 + 95*20 +  105*22 + 115*11 + 125*6 + 135*3/ 100 = 94,2 млн.руб.

при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

.

=

 

 

Показатель s, равный ,  называется средним квадратическим отклонением, тогда среднеквадратическое отклонение равно 29,03.

 Коэффициент  вариации:

= 29,03 / 94,2= 0,3081

является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.

 

Задача 2

Имеются следующие данные о времени  простоя автомобиля под погрузкой

Показатель	Группа с тремя грузчиками				Группа с четырьмя грузчиками
Время простоя под разгрузкой, мин	12	15	18	19	8	10	12
Число выполненных разгрузок	1	1	1	1	3	2	1

Проверить правило сложения дисперсий

В этом примере  данные группируются по квалификации рабочих, являющихся факторным признаком. Результативный признак варьирует  как под влиянием систематического фактора – квалификации (межгрупповая вариации), так и других неучтенных случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповых.  
а) средняя выработка по каждой бригаде считается по формулам арифметической простой и взвешенной:

 
- по первой группе:

= 12 + 15 + 18 + 19 / 4 = 16 мин 
- по второй группе: = 8*3 + 10*2 + 12 / 6 = 9,3 мин 
- по двум группам: = 16*4 + 9,3*6 / 10 = 11,98 мин

 
Внутригрупповые дисперсии показывают вариацию выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и  материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме различий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну квалификацию) и рассчитываются по формуле:

 
- по первой группе:

= 30 / 4 = 7,5 мин. где  
- по второй группе: = 9,47 / 6 = 1,58 мин где

 
б) средняя из внутригрупповых дисперсий  отражает вариацию выработки, обусловленную  всеми факторами, кроме квалификации рабочих, но в среднем по всей совокупности и рассчитывается по формуле:

 

=7.5 * 4 + 1.58 * 6 / 10 = 3.947

 
в) межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду и рассчитывается по формуле:

 

= (16 – 11.98) * 4 + ( 9.3-11.98)*6 / 10 = 10.773

 
г) общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду и  рассчитывается по формуле:

 

= (12 – 11.98)² +(15 – 11.98)² + (18 – 11.98)² + (19 – 11.98)² + ((8 – 11.98)²)*3 + ((10 – 11.98)²)*2 + (12 – 11.98)² / 10 = 14.72

 
д) правило сложения дисперсий:

 

= 3.947 + 10.773 = 14.72

 

Задача 3.1

По фирме  имеются следующие данные о выпуске  продукции за год

№ участка	Фактический выпуск продукции, млн.р.	Процент выполнения плана	Плановый выпуск продукции, млн.р.
1	29,4	105,00	28,0
2	42,6	100,0	42,6
3	24,0	96,0	25,0
Итого	96,0	100,4	95,6

Определить  процент выполнения плана выпуска  продукции в целом по фирме.

Итого в целом  по фирме план выполнен на 100,4%

 

Задача 3.2.

По двум промышленным предприятиям за отчетный год имеются  данные:

№ предприятия	Выпуск продукции, млн.р.	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Среднегодовая выработка, млн.р.
1	180,0	1200	0,15
2	346,5	1980	0,175

Определить  различие (в %) в уровне годовой производительности труда работников двух предприятий. Сделать вывод

= W1 / W0 = 0.175 / 0.15 * 100 = 116.67%

Вывод. Годовая  производительность труда на предприятии  №2 на 16,67% больше чем на первом предприятии.

 

Задача 4

Имеются следующие данные об объеме пассажирооборота по автобусным предприятиям города

Год	Пассажирооборот, млрд.пасс.км.	Цепные показатели динамики
		Абсолютный  прирост, млрд.пасс.км.	Коэффициент роста	Темп прироста, %	Абсолютное  значение 1% прироста, млрд.пасс.км.
2002	127,0	-	-	-	-
2003	139,9	12,9	1,102	10,1	1,270
2004	149,8	9,9	1,07	7,1	1,399
2005	164,6	14,8	1,099	9,9	1,498
2006	175,0	10,4	1,063	6,3	1,646
2007	192,3	17,3	1,099	9,9	1,75

Цепной абсолютный прирост  – разность между сравниваемым уровнем и уровнем , который ему предшествует, :

∆Уц 2003 = 139,9 – 127 = 12,9

 

Цепные темпы  роста  исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень :

Тр _{ц 2003} =139,9 / 127 = 1,102

Цепной темп прироста - это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню :

= :

Тп _{ц 2} =12,9 / 127 * 100 = 10,1%

Абсолютное  знеачение 1 % прироста рассчитывается по следующей формуле

А _{1% 2003} = 127 / 100 = 1,27

 

Вычислить и  поставить в таблицу уровни ряда динамики и недостающие показатели ряда динамики. Привести примеры расчетов.

 

 

Задача 5

Имеются следующие  данные об отправлении грузов железнодорожным  транспортом в регионе, млн.т. для  изучения тенденции изменения показателей  произвести сглаживание ряда динамики тремя способами. Изобразить графически фактические и сглаженные уровни ряда. Сделать выводы о характере общей тенденции показателей.

Месяц	Отправление грузов, млн.т.
Январь	142
Февраль	143
Март	156
Апрель	152
Май	152
Июнь	138
Июль	131
Август	127
Сентябрь	125
Октябрь	128
Ноябрь	119
Декабрь	120

Закономерности  изменения явления во времени  не проявляются в каждом конкретном уровне ряда. Это связано с действием  на явления общих и случайных  причин. Поэтому в статистике для  выявления закономерности или тенденции  развития явления используют следующие методы обработки рядов динамики:

1.    Метод сглаживания путем укрупнения интервалов во времени.

2.    Выравнивание рядов динамики методом скользящей средней.

3.    Метод аналитичного выравнивания.

Сущность приема укрепления интервалов сводится к следующему:

I прием. Первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим рядом, в котором показатели относятся к большим по продолжительности периодам времени, т.е. интервал укрупнен. Этот прием используется только для интервальных рядов динамики. Укрупнение производится до тех пор, пока не будет выявлена четкая тенденция развития явления, а уровни ряда охватывать большие периоды времени.

В данном РД нечетко  обозначена тенденция выпуска обуви.

Для выявления  тенденции укрупним интервалы до 3-х месяцев и рассчитаем общий и средний выпуск обуви, используя среднюю арифметическую .

Укрупненный ряд динамики

Годы	Производство  обуви
	Всего	Среднегодовое
Январь-март Май-Июнь Июль-Сентябрь Октябрь-Декабрь	441 442 383 368	147 147,3 127,6 122,6

 

 

В этом ряду четко  прослеживается тенденция роста объема отправления во втором квартале, егоснижение в третьем и четвертом кварталах..

Недостатком этого  приема является то, что при его  использовании не прослеживается процесс  изменения явления внутри укрупненных интервалов.

II прием. Метод скользящей средней заключается в следующем: формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня ряда на один уровень. По укрупненным интервалам определяем среднюю из уровней, входящих в каждый интервал.

Для четкого проявления тенденции производства продукции необходимо укрупнить  ряды динамики с интервалом в пять дней. Рассчитаем скользящую среднюю  с интервалом в пять дней.

Ряд динамики

Рабочие   дни	Произведено продукции, в тыс. руб.	Скользящая  производства,   продукции (интервал 5 дн.)	Скользящая  средняя из 5 уровней
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12	142  143  156  152  152  138  131  127  125  128  119  120	142+143+156+152+152=742  143+156+152+152+138=741  729  700  673  649  630  619	742: 5=148,4  741: 5=148,2  145,8  140  134,6  129,8  126  123,8

 

 

Получили новый  РД, где четко прослеживается тенденция снижения объема отправления груза..