Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

Теоретическая часть

Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей  

 

1.1 Доверительные интервалы  прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1.         субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2.         погрешностью оценивания параметров кривых;

3.         погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

 

        (1.1.),

где n - длина временного ряда;

L -период упреждения;

yn+L -точечный прогноз на момент n+L;

ta- значение t-статистики Стьюдента;

Sp- средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра ао приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1- к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию   можно представить в виде:

 (1.2.),

где  - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция; 

 

t1 = n + L ;

 

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n; 

- порядковый номер уровня, стоящего  в середине ряда, 

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

 (1.3.),

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= taK . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

 (1.4.),

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

 (1.5.),

или

 (1.6.),

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

 

 (1.7.),

где yt- фактические значения уровней ряда,

 - расчетные значения уровней  ряда,

n- длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sy, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения 

 

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L. 

 

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

	Линейный тренд		Параболический тренд
Длинаряда (п)	Период упреждения (L) 1 2 3	длина ряда (п)	период упреждения (L) 1 2 3
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

 
Глава 2. Практическая часть 

 

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную  среднюю для временного ряда  курса акций фирмы ЮМ. В качестве  начального значения экспоненциальной  средней взять среднее значение  из 5 первых уровней ряда. Значение  параметра адаптации а принять  равным 0,1. 

 

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

t	yt	t	yt	t	yt
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. По данным задания №1 рассчитать  экспоненциальную среднюю при  значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а=0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций  фирмы IBM осуществлялось на основе  адаптивной полиномиальной модели  второго порядка

 

,

где   - период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

Рассчитать прогноз курса акций:

•   на 1 день вперед ( =1);

•   на 2 дня вперед ( =2).

Решение задания 1.5