Периодические токи в линейных электрических цепях

ВАРИАНТ 41

 

Периодические токи в линейных электрических цепях

 

Задача 1. Расчетная электрическая схема, показана на рис.1.

Рис.1. Расчётная схема к задаче 1.

 

Значения параметров элементов и ЭДС следующие:

1) Сопротивления  резисторов: R₁ = 1,5 Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ = 3,4 Ом; R₃” = R₃.

2) Индуктивности катушек: L₁ = 16 мГн; L₂ = 31 мГн; L₃ = 19 мГн.

3) Ёмкости  конденсаторов: С₁ = 318 мкФ; С₃ = 120 мкФ; С₃’ = 1,5С₃.

4) Амплитуды  ЭДС: Е_2m = 0 В; Е_3m = 28 В.

5) Начальные  фазы ЭДС: ψ_е2 = 0°; ψ_е3 = –30°.

6) Частота переменного тока f = 50 Гц.

7) Взаимная индукция между катушками определяется по формулам:

1. Полагая, что магнитная связь между индуктивными катушками в схеме отсутствует, выполнить следующее:

1.1. Рассчитать токи во всех ветвях схемы и напряжения на ее отдельных элементах, определив их мгновенные и действующие значения.

1.2. Составить баланс мощностей и определить показание ваттметра.

1.3. Построить в масштабе топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

2. Учитывая магнитную связь между индуктивными катушками, выполнить следующее:

2.1. Рассчитать токи во всех ветвях схемы и напряжения на ее отдельных элементах.

2.2. Построить в масштабе топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

 

Решение:

 

1.1. Составляем систему уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа для определения комплексов действующих значений токов в ветвях схемы:

где

Используя матричную  форму записи:

где – искомый вектор действующих значений токов.

 – матрица обобщённых комплексных сопротивлений.

– вектор обобщённых комплексов действующих  значений ЭДС.

Используя MathCAD, решаем исходную систему уравнений с помощью правил Крамера:

где

–49,518 – 55,09j Ом

130,703 – 147,189j В

–23,611 – 100,293j В

–107,092 – 46,896j В

 

Находим мгновенные значения токов:

где – модуль, φ_k – аргумент комплекса действующего значения тока в k-ой ветви.

Находим действующие значения напряжения на отдельных элементах схемы:

(2,657+0,016j)·1,5 = 3,986+0,024j В = 3,986e^j0,346° B

= (2,657+0,016j)·5,027j = –0,081+13,357j В = 13,358e^j90,346° B

= –(2,657+0,016j)·10,01j = 0,161–26,6j В = 26,6e^–j89,654° B

= (1,22+0,668j)·9,739j =  –6,506+11,882j В = 13,547e^j90,346° B

(1,22+0,668j)·2 = 2,44+1,336j = 2,782e^j28,703° B

= (1,437–0,652j)·5,969j = 3,892+8,579j = 9,421e^j65,6° B

(1,437–0,652j)·3,4 = 4,887–2,217j = 5,366e^–j24,4° B

(1,437–0,652j)·(3,279–0,63j) = 4,302–3,044j = 5,27e^–j35,284° B

Находим мгновенные значения напряжений:

1.2. Составляем баланс мощностей:

где (*) – знак комплексного сопряжения:

Подсчитываем  левую часть:

ВА

Подсчитываем  правую часть:

Баланс мощностей выполняется, значит, токи найдены правильно.

Ваттметр показывает активную мощность: Р = 31,099 Вт.

Рис.2. Топографическая  диаграмма, совмещённая с векторной  диаграммой токов (MathCAD).

1.3. Топографическая диаграмма, совмещённая с диаграммой токов показана на рис.2.

При этом масштаб  токов для наглядности увеличен в 5 раз.

2.1. Учтём магнитную связь между катушками и запишем систему уравнений Кирхгофа для определения комплексов действующих значений токов в ветвях схемы:

Используя матричную  форму записи:

где – искомый вектор токов (с учётом магнитной связи между катушками).

 – матрица обобщённых комплексных  сопротивлений (с учётом магнитной  связи между катушками).

– вектор обобщённых комплексов действующих  значений ЭДС.

Используя MathCAD, решаем исходную систему уравнений с помощью правил Крамера:

где

1,387 – 60,195j Ом

–84,053 – 66,388j В

23,039 – 19,493j В

–107,092 – 46,896j В

Находим мгновенные значения токов:

Находим напряжения на отдельных элементах схемы:

(1,07–1,421j)·1,5 = 1,605–2,132j В = 2,668e^–j53,017° B

=(1,07–1,421j)·5,027j+(0,738–1,796j)·2,749j = 12,08+7,407j В = =14,17e^j31,515° B

= –(1,07–1,421j)·10,01j = –14,224–10,712j В = 17,806e^{–j143,017°} B

= (0,332+0,375j)·1,963j =  –0,126+4,686j В = 4,688e^j91,543° B

(0,332+0,375j)·2 = 0,665+0,75j = 1,002e^j48,446° B

 = (0,738–1,796j)·5,969j + (1,07–1,421j)·2,749j + +(0,332+0,375j)·1,963j = 13,891+7,998j B = 16,029e^j29,932° B

(0,738–1,796j)·3,4 = 2,508–6,107j = 6,002e^–j67,672° B

(0,738–1,796j)·(3,279–0,63j) = 1,286–6,354j = 6,483e^–j78,555° B

Находим мгновенные значения напряжений:

2.2. Топографическая  диаграмма, совмещённая с диаграммой  токов показана на рис.3.

При этом масштаб  токов для наглядности увеличен в 5 раз.

Рис.3. Топографическая диаграмма, совмещённая с векторной диаграммой токов с учётом магнитной связи между катушками (MathCAD).

 

Задача 3. Расчетная схема приведена на рис.4 и содержит трехфазный источник ЭДС, представляющий собой вторичную обмотку трехфазного трансформатора, и обеспечивающий трехфазную симметричную систему синусоидальных ЭДС.

Рис.4. Расчётная схема к задаче 3.

 

Действующее значение ЭДС  E_А и параметры элементов:

E_А = 200 В; ψ_А = 0°;  Z_A = 50 + 20j Ом; Z_В = 20j Ом; Z_С = 30 Ом;

При разомкнутом и замкнутом  выключателе в нейтральном проводе  определить:

– мгновенные значения всех токов;

– показания приборов (вольтметра, амперметров и ваттметров);

– построить в масштабе топографические диаграммы, совмещенные  с векторными диаграммами токов.

1. Начальную фазу ЭДС e_А принять равной нулю.

2. Расчет повторить для Z_A = 0 Ом (короткое замыкание фазы А), при разомкнутом выключателе.

3. Сопротивление вторичных обмоток трехфазного трансформатора полагать равным нулю.

Решение:

1. Выключатель разомкнут. Находим действующее значение напряжения смещения нейтрали:

где  – действующие значения фазных ЭДС генератора.

Находим действующие значения фазных напряжений приёмника:

          Находим  действующие значения линейных  напряжений приёмника:

Находим действующие значения фазных токов приёмника:

Зная комплексы  действующих значений фазных токов  легко найти их мгновенные значения:

Имеет место  симметрия токов приёмника – ток нейтрали равен нулю:

 А

Показание амперметра нулевое.

Показание вольтметра – модуль действующего значения напряжения смещения нейтрали: U_nN = 166,822 B.

Показания обоих  ваттметров нулевые, т.к. их параллельные обмотки подсоединены к нейтрали.

Топографические диаграммы, совмещенные с векторными диаграммами токов, показаны на рис.5.

Масштаб токов  для наглядности увеличен в 20 раз.

Рис.5. Топографические диаграммы, совмещенные  с векторными диаграммами токов (для разомкнутого выключателя).

 

2. Пусть провод нейтрали замкнут. Это означает, что смещение нейтрали равно нулю: U_nN = 0.

Действующие значения фазных напряжений приёмника  будут равны действующим значениям  ЭДС соответствующих фаз:

 

Действующие значения линейных напряжений приёмника останутся без изменений.

Действующие значения фазных токов приёмника будут равны:

Зная комплексы  действующих значений фазных токов  легко найти их мгновенные значения:

Ток нейтрали уже не будет равен нулю:

 

Показание амперметра – модуль действующего значения тока нейтрали: I_nN = 12,699 A.

Показание вольтметра нулевое: U_nN = 0 B.

Первый ваттметр покажет активную мощность:

Второй ваттметр покажет реактивную мощность:

Топографические диаграммы, совмещенные с векторными диаграммами токов, показаны на рис.6.

Масштаб токов  для наглядности увеличен в 20 раз.

Рис.6. Топографические диаграммы, совмещенные  с векторными диаграммами токов (для замкнутого выключателя).

 

3. Пусть теперь имеет место короткое замыкание фазы А (при разомкнутом выключателе).

 Это эквивалентно  обнулению ЭДС в фазе А:  E_А = 0 В. Напряжение смещения также будет равно нулю.

Действующие значения фазных напряжений приёмника будут равны:

 

Действующие значения линейных напряжений приёмника  будут равны:

 

Действующие значения фазных токов приёмника  будут равны:

 

Зная комплексы  действующих значений фазных токов легко найти их мгновенные значения:

Рис.7. Топографические диаграммы, совмещенные  с векторными диаграммами токов (для разомкнутого выключателя) при Z_А = 0.

Показания всех приборов нулевые, т.к. ток в нейтрали отсутствует (она разомкнута) и напряжение смещения равно нулю.

Топографические диаграммы, совмещенные с векторными диаграммами токов, показаны на рис.7.

Масштаб токов  для наглядности увеличен в 20 раз.

 

 

Переходные процессы в линейных электрических цепях

 

 

Задача 4. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 8). В цепи действует постоянная ЭДС Е = 100 В.

 

Рис.8. Расчётная схема к задаче 4.

Параметры цепи:

– индуктивность катушки L = 1 мГн;

– ёмкость конденсатора С = 10 мкФ;

– сопротивления резисторов R₁ = 20 Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ = 18 Ом; R₄ = 2 Ом

Требуется определить закон  изменения во времени напряжения на конденсаторе U_C(t).

Задачу следует классическим методом. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени на интервале от t=0 до . Здесь – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

 

Решение:

 

Запишем уравнение для тока в контуре после коммутации:

 

Продифференцируем это  уравнение по времени и умножим  обе части на С:

Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его общим решением будет функция следующего вида:

где p_1,2 – корни характеристического уравнения:

Для конкретных начальных  условий находим постоянные А  и В.

В момент времени t=0 ключ был замкнут и ток протекал только внутри контура а-с-е:

Откуда следует:

Значение производной  от тока в начальный момент времени  равно:

где U_C(0) – напряжение на конденсаторе в момент времени t=0.

Согласно 1-му закону  коммутации, после размыкания ключа в схеме напряжение на конденсаторе не может измениться скачком:

 U_C(0–) = U_C(0+) = U_C(0), где «–»  и «+» моменты непосредственно перед и после коммутации.

Напряжение U_C(0) можно вычислить по формуле:

Для определения А  и В получили замкнутую систему  уравнений:

где

В

Решая её, находим А  и В:

Ток в схеме после  коммутации будет равен:

Напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

где с₀ – постоянная, определяемая начальным условием: