Треугольник Паскаля

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Чувашский государственный  университет им. И. Н. Ульянова»

(ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И. Н. Ульянова»)

Факультет прикладной математики,

физики и

информационных технологий.

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

Треугольник Паскаля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил

Студент группы ФМ-11-12

Катмичев Николай Аркадьевич

Проверила:

ст. преподаватель

Сидорова Елена Борисовна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебоксары 2013

                           Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Ньютона. 
 
                       1                                                   C00 
                    1   1                                              C10 C11 
                  1   2   1                                        C20 C21 C22 
                1   3   3   1                                  C30 C31 C32 C33 
             1   4   6   4   1                            C40 C41 C42 C43 C44 
          1   5   10   10   5   1                   C50 C51 C52 C53 C54 C55 
        1   6   15   20   15   6   1           C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 
      1   7   21   35   35   21   7   1 
  1   8   28   56   70   56   28   8   1 
1   9   36   84   126 126 84   36   9   1 
 
1. Свойства треугольника Паскаля: 
 
    1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно 
сумме двух соседних в предыдущей строке. 
    2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис- 
лам. 
    3) Сумма   чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре- 
дыдущей сроке. 
    4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. 
    Сmn=Cmm-n 
 
2. Бином Ньютона. 
    (a+b) - двучлен (бином) 
    (a+b)0=1 
    (a+b)1=a+b 
    (a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2 
    и т.д. ;) 
 
  Свойства бинома Ньютона: 
    1) Бином ньютона содержит n+1   слагаемых. 
    2) Биноминальные   коэффициетнты,   равноудаленные   от концов равны 
между собой. 
    3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически: 
                n 
    (a + b)n = S Cnk.an-k.bk 
              k=0 
    4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk 
    5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n. 
 
                    Метод математической индукции. 
    Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если: 
    1) Оно верно при n=1; 
    2) Предположим,   что   оно верно при n=k и докажем,   что оно верно 
при n=k+1. 
 
              Комбинаторика: Размещения и перестановки. 
    Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю- 
щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются   сое- 
динениями. 
    3 рода соединений: 
    1) Размещения 
    2) Перестеновки 
    3) Сочетания 
    Дано: (a,b,c) - 3 элемента. 
    по одному: a, b, c. 
    по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca. 
    по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba. 
 
1). Соединения,   которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд- 
ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m 
    ------------¬ 
    ¦       m!   ¦ 
    ¦Amn= ------+ 
    ¦     (m-n)!¦ 
    L------------ 
2). Соединения,   которые отличаются только только порядком   называются 
перестановками. 
    ------¬ 
    ¦Pm=m!¦ 
    L------ 
2). Сочетания,   которые отличаются по крайней мере одним элементом на- 
зываются сочетениями. 
    --------------¬ Свойства числа сочетний: 
    ¦         m!   ¦ 1) Сmn=Cmm-n 
    ¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1 
    ¦     (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1 
    L-------------- 4) C00=0!=1 
 
 
 
                      Дифференцирование функций. 
 
                        Производная функции 
 
    h=x-a - приращение аргумента 
 
    f(a+h) - f(a) - приращение функции 
    --------------------------------------¬ 
    ¦       f(a+h) - f(a)                   - 
    ¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)- 
    ¦   h->0       h                         - 
    +-------------------------------------- 
    ¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h- 
    L-------------------- 
 
    df = f'(x).dx - дифференциал функции. 
 
            Примеры: 
            1                 1/(h+x)-1/x       -h/(x(x+h)) 
    1) f(x)=- ;   f'(x) = lim ----------- = lim ----------- = 
            x           h->0       h         h->0     h 
              1       1 
    = lim ------- = --- 
            x(x+h)     h2 
                                        |\       1 
    2) (x2)' = 2x;   (ax+b)' = a;     (? a )' = --- 
                                                2?x 
    (ax2 + bx + c)' = 2ax + b;   (x3)' = 3x2 
    ----------------¬ 
    ¦(axn)' = n.xn-1¦ 
    L---------------- 
 
                      Техника дифференцирования. 
 
    (fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то- 
    (f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ- 
    ( f )'   f'g + fg' ке. 
    ¦ - ¦ = --------- 
    9 g 0       g2     1) Функция монотонно убывает, там где произ- 
                      водная отрицательна. 
    (fn)' = nfn-1f     2) Функция монотонно возрастает, там где про- 
    n|\       1       изводная положительна. 
    ? f = --------     3) Если производная равна нулю или не сущес- 
          n. n? f     твует то в этих точках функция имеет локальные 
экстремумы. 
    4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти: 
    а) Значение функции на краях промежутка; 
    б) Экстремумы функции на данном промежутке; 
    в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные. 
 
            Дифференцирование тригонометрических функций. 
  ---------------¬   ----------¬ 
  ¦     Sin x     ¦   ¦     tg x ¦ 
  ¦ Lim ----- = 1¦   ¦Lim ---- ¦ 
  ¦x->0   x       ¦   ¦x->0   x   ¦ 
  L---------------   L---------- 
 
    (Sin x)' = Cos x 
    (Cos x)' = -Sin x 
                1                       1 
    (tg x)' = -----   ;   (Ctg x)' = ----- 
              Cos2x                   Sin2x 
        Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ". 
 
                " Исследование квадратного трехчлена " 
 
 
 

 

Теорема 1.           --- 
    ---------           ¦   а > 0, 
                        ¦   D . 0, 
                        ¦   x0 > M,             ( a7f(M) > 0, 
    M < x1 , x2       ¦   f(M) > 0,       Б D . 0, 
    ===========           ¦   a < 0,             9 x0 > M. 
                        ¦   D . 0, 
                        ¦   x0 > M, 
                        ¦   f(M) < 0 
                        L-- 
 
 
    Теорема 2.           --- 
    ----------           ¦   а > 0, 
                        ¦   D . 0, 
                        ¦   x0 < b,             ( a7f(b) > 0, 
    x1 , x2 < b       ¦   f(b) > 0,       Б D . 0, 
    ===========         ¦   a < 0,             9 x0 < b. 
                        ¦   D . 0, 
                        ¦   x0 < b, 
                        ¦   f(b) < 0 
                        L-- 
 
 
    Теорема 3.           --- 
    ---------           ¦ ( а > 0, 
                        ¦ 2 D . 0,               a7f(b) > 0 
                        ¦ Б M < x0 < b,           a7f(M) > 0, 
  M < x1 , x2 < b     ¦ 2 f(M) > 0,         D . 0, 
  ===============       ¦ 9 f(b) > 0,             M < x0 < b 
                        ¦ ( a < 0, 
                        ¦ 2 D . 0, 
                        ¦ Б M < x0 < b, 
                        ¦ 2 f(b) < 0, 
                        ¦ 9 f(M) < 0 
                        L-- 
 
 
    Теорема 4.           --- 
    ---------           ¦ ( а > 0, 
                        ¦ Б f(M) > 0, 
                        ¦ 9 f(b) < 0,             a7f(b) < 0 
  M < x1 < b < x2     ¦ ( a < 0,             a7f(M) > 0, 
  ===============       ¦ Б f(b) > 0, 
                        ¦ 9 f(M) < 0 
                        L-- 
 
 
    Теорема 5.           --- 
    ---------           ¦ ( а > 0, 
                        ¦ Б f(M) < 0, 
                        ¦ 9 f(b) > 0,             a7f(b) > 0 
    x1 < M < x2 < b   ¦ ( a < 0,             a7f(M) < 0, 
    ===============       ¦ Б f(b) < 0, 
                        ¦ 9 f(M) > 0 
                        L-- 
 
 
    Теорема 6.           --- 
    ----------           ¦ ( а > 0, 
                        ¦ Б f(M) < 0, 
                        ¦ 9 f(b) < 0,               a7f(b) < 0 
    x1 < M < b < x2   ¦ (   a < 0,             a7f(M) < 0, 
    ===============       ¦ Б f(b) > 0, 
                        ¦ 9 f(M) > 0 
                        L-- 
 
 
    Теорема 7.           --- 
    ---------           ¦   а > 0, 
                        ¦   f(M) < 0, 
    x1 < M < x2       ¦   a < 0,             a7f(M) < 0, 
    ===========           ¦   f(M) > 0 
                        L-- 
 
                      Числовая последовательность. 
 
1).   Числовая последовательность - такой ряд чисел,   который занумеро- 
ван с помощью   натуральных   чисел   и   обозначается   {an}   или   (an)   - 
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an 
    f(n) - закон,   по которому каждому номеру соответствует свой член 
последовательности.                             |\           |     | 
    Последовательность называют возрастающей, если каждый член после- 
довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%. 
    Последовательность называется убывающей,   если каждый член после- 
довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1 (an) - ограниченная сверху. 
    an . M => (an) - ограниченная снизу. 
 
2).   Арифметическая прогессия [_] 
    Арифметической прогрессией называют такой ряд   чисел,   в   котором 
каждый член,   начиная   со второго,   равен предыдущему плюс одно и тоже 
число, которое называется разностью прогрессий. 
    _ a1,a2,a3,a4...an 
    a2=a1+d;     d - разность прогрессий 
    -------------¬ 
    ¦an=a1+(n-1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии... 
    L-------------- 
 
    Свойства членов арифметической прогресии: 
    1. Каждый член арифметической прогрессии есть   среднее   арифмети- 
ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2 
    2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между 
собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2 
    3. Каждый член арифметической прогрессии есть   среднее   арифмети- 
ческое равноудаленных от него членов. 
    ------------¬   ----------------¬ 
    ¦   (a1+an)n¦-   ¦   2a1+(n-1)d   ¦ 
    ¦S_=--------+-   ¦S_=----------.n¦ 
    ¦       2     ¦-   ¦         2       ¦ 
    L-------------   L---------------- 
 
3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел,   в   котором 
каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно 
и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q) 
    b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д. 
    -------------¬ 
    ¦bn=b1.q(n-1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии. 
    L-------------- 
 
    Свойства членов геометрической прогрессии: 
            |\\\\\ 
    1. bn=? bn-k.bn+k 
    2. b1.bn=bk.bn-k+1 
    2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно: 
    --------------------------¬ 
    ¦   |\\\     |\\\\¦ 
    ¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn-1)n¦ 
    L-------------------------- 
    4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна: 
 
      bnq-b1   b1(qn-1) 
    S=------ = -------- 
        q-1       q-1 
  1 
lq9m.pdr 2 1 
 
          Основные формулы сокращенного умножения. 
 
    a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab 
    a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab 
    a2 - b2 = (a - b)(a + b) 
    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
    an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + ... +bn-1) 
    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3 
    (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) 
a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1) 
    (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
    (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 
 
                |\\\\       |\\\\ 
              / A + ?A-B       / A + ?A-B 
    A + B =   /----------   +   /---------- 
            ?     2         ?     2 
 
              |\   |\   |\   |\ 
    a - b = (? a - ? b )(? a + ? b ) 
 
                |\   |\   3|\     |\   3|\ 
    a - b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2) 
 
      |\       --> a, если a . 0! 
    ? a2 = ¦a¦-+ 
                L->-a, если a < 0! 
 
    Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n - 2) 
    Формула Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c) 
    Правильный многоугольник: 
    an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n) 
    Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n) 
    -------------------------- 
    Sквадрата = a.b                         abc 
    Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = --- 
                                              4R 
                                  d1.d2 
    Sпараллелограма = ab.Sin a = ----- = a.ha 
                                    2 
    Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c - средняя линия) 
 
                    Преобразования на плоскости. 
    Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние. 
    Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l) 
    Центральная симметрия - движение относительно точки, 
    при котором сохраняется расстояние 
    ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О) 
    Параллельный перенос (П[вектор] 
    Поворот - R[угол][точка] 
    Гомотетия - увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка] 
 
 
      Правила действия над тригонометрическими функциями. 
г==============================T==============================¬ 
¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦ 
¦                 + ¦ +         ¦                     - ¦ +     ¦ 
¦-1 , Sin a , 1 ----+----       ¦-1 , Cos a , 1     ----+----   ¦ 
¦                 - ¦ -         ¦                     - ¦ +     ¦ 
¦==============================¦==============================¦ 
¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции                     ¦ 
¦                         - ¦ +                               ¦ 
¦                       ----+----                             ¦ 
¦                         + ¦ -                               ¦ 
L=============================================================- 
360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению 
    p           p           p   её радианного измерения на ра- 
60 = -   ; 45 = -     ; 30 = -   диус 
    3           4           6 
Cокружности = 2pR 
            Основные тригонометрические тождества: 
q             1.Sin2a + Cos2a = 1 
                      Sin a           Cos a 
            2.tg a = ----- ; Ctg a = ----- 
                      Cos a           Sin a 
            3.tg a * Ctg a = 1 
                            1                   1 
            4.1 + tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = ----- 
                          Cos2a               Sin2a 
 
                      Правило формул превидения 
Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти. 
Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то 
функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра 
то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a) 
----------------------------------T---------------------------------¬ 
¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦ 
+---------------------------------+---------------------------------+ 
¦Sin(a-b) = Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦ 
+-----------------------T---------+--------------T------------------- 
¦           tg a - tg b   ¦             tg a + tg b ¦ 
¦tg(a-b) = -----------   ¦   tg(a+b) = ----------- ¦ 
¦           1 + tga*tgb   ¦             1 - tga*tgb ¦ 
+-----------------------+-T----------------------+----¬ 
¦           Ctga*ctgb + 1 ¦             Ctga*ctgb - 1   ¦ 
¦Ctg(a-b) =-------------- ¦ Ctg(a+b) = -------------   ¦ 
¦           Ctg a - ctg b ¦             Ctg a + ctg b   ¦ 
+-----------------------T-+---------------------T------ 
¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦ 
+-----------------T-----+--------------T--------- 
¦         2*tg a   ¦           Ctg2a - 1 ¦ 
¦tg 2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦ 
¦         1 - tg2a ¦           2*Ctg a   ¦ 
L-----------------+--------------------- 
Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)] 
Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y) 
Sin x - Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y) 
Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y) 
Cos x - Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y) 
Cos a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)] 
Sin a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) - Cos(a+b)] 
---------------------------T---------------------------------¬ 
¦               Sin(x-y)   ¦                 Sin(x+y)         ¦ 
¦tg x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = -----------       ¦ 
¦               Cos x Cos y ¦               Cos x Cos y       ¦ 
+--------------------------+--T------------------------------+ 
¦                   Sin(x-y)   ¦                   Sin(x+y)   ¦ 
¦Ctg x - Ctg y = ------------ ¦   Ctg x + Ctg y = ----------- ¦ 
¦                 Sin x Sin y ¦                   Sin x Sin y ¦ 
L-----------------------------+------------------------------- 
 
    Sin 3x = 3Sin x - 4Sin3x                 2tg x 
    Cos 3x = 4Cos3x - 3Cos x     Sin 2x = --------- 
                /1 + Cos 2x               2tg2x + 1 
    ¦Cos x¦ =   / ---------- 
              ?       2     .               1 + tg2x 
                /1 - Cos 2x       Cos 2x = -------- 
    ¦Sin x¦ =   / ----------               1 - tg2x 
              ?       2     . 
                / 1 - Cos 2x                 2tg x 
    ¦tg x¦ =   / -----------       tg 2x = -------- 
              ?   1 + Cos 2x               1 - tg2x 
                1. Решение тригонометрических уравнений. 
 
 
        Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z. 
        Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z. 
        tg x   = m ==> x = arctg m + pn, n Z. 
        ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z. 
 
                  2. Равенство одноименных   функций. 
 
        Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z. 
        Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z. 
        tg t = tg a   ==> t = a + kp, k Z. 
 
                      3. Универсальная   подcтaновка. 
 
                      t                             t 
                2tg ---                   1 - tg2   --- 
                      2                             2           t 
        Sin t = ------------ ;   Cos t =   -------------   ;   tg --- = Z. 
                          t                         t           2 
                1 + tg2 ---               1 + tg2 --- 
                          2                         2 
 
 
                    4. Функции   кратных   аргументов. 
 
 
                              -- 
                              ¦ Cos2x = Cos2x - Sin2x. 
        (a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦ 
                              ¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx. 
                              L- 
 
                                    -- 
                                    ¦ Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x. 
        (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦ 
                                    ¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x. 
                                    L- 
 
                                          -- 
                                          ¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x. 
        (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦ 
                                          ¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x. 
                                          L- 
 
 
                          5. Дополнительно. 
 
        Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x. 
 
            Sin 5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina. 
 
            Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina = 
                    = Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).