Теория случайных процессов

Задание 1.

По железной дороге мимо наблюдателя  движется в одном направлении  простейший поток поездов. Известно, что вероятность отсутствия поездов  в течение 10 минут равна 0,8. Требуется  найти вероятность того, что за 20 мин мимо наблюдателя пройдет  не более трех поездов.

 

Решение

Примем за единицу времени 10 мин.

Будем искать вероятность  прохождения мимо наблюдателя ни одного, одного, двух или трех поездов за интервал времени, равный 2-м единицам времени.

Из условия следует , т.е. .

Из полученного уравнения  находим  , тогда

 

Ответ: P_≤3= 0,97.

 

Задание 2.

В справочной службе вокзала железной дороги стоит телефон с пятью  каналами. Приходящий вызов получает отказ тогда, когда все каналы заняты. Пусть среднее время занятости одного канала составляет 1 минуту. Интенсивность поступающих вызовов составляет 0,1 мин-¹. Требуется найти вероятность обслуживания вызова, а также вероятность поступления одного вызова.

 

Решение

Поскольку в системах с отказами, события отказа и обслуживания образуют полную группу.

, где

Р_отк – вероятность отказа системы;

Р_обс – вероятность обслуживания системы.

Р_обс= 1-Р_отк

 

Находим вероятность отказа системы:

, где

ρ – нагрузка системы;

, где

λ – интенсивность входящего  потока требований;

μ – интенсивность (производительность) одного канала.

, где

t_обс – время обслуживания одного канала.

;

Поскольку λ=0,1мин^-1, ;

N – число каналов системы, N=5;

P₀ – вероятность отсутствия требований в системе

, тогда

, отсюда

Р_обс= 1-0,000007=0,999993.

 

Абсолютная пропускная способность  СМО с отказами равняется

А=0,1*0,999993≈0,01.

 

Ответ: Р_обс=0,999993; А≈0,01.

 

Задание №3

Построить график распределения  для - канальной СМО с отказами, если на вход системы поступает простейший поток требований с интенсивностью и обслуживание требований производится с интенсивностью , где – последняя цифра года (если она равна 0, то подставляем 10), –количество каналов обслуживания, - номер по списку. Число каналов обслуживания определяется из таблицы 1.

N=5.

Определить характеристики качества обслуживания для СМО с  отказами:

1. Вероятность отказа Р_отк.
2. Среднее число занятых узлов М_зан.
3. Среднее число свободных узлов М_св.
4. Относительную пропускную способность Q
5. Абсолютную пропускную способность А.
6. Коэффициент занятости узлов К_з.

 

 

Решение

Пусть m=7, N_n=11, N=5

 

Число каналов  обслуживания

Интенсивность поступления требований

Интенсивность выполнения требований

Нагрузка системы

Вероятность отсутствия требований в системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность наличия i требований в системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График распределения  состояний 5-канальной СМО с отказами

Вероятность отказа

Среднее число  занятых узлов

Среднее число  свободных узлов

Относительная пропускная способность

Абсолютная  попускная способность

Коэффициент занятости узлов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №4

Построить график распределения  для - канальной СМО с ожиданием, если на вход системы поступает простейший поток требований с интенсивностью и обслуживание требований производится с интенсивностью , где – последняя цифра года (если она равна 0, то подставляем 10), –количество каналов обслуживания, - номер по списку. Число каналов обслуживания определяется из таблицы 1.

N=6.

Определить характеристики качества обслуживания.

1. Вероятность наличия очереди
2. Вероятность занятости всех узлов системы Р_зан.
3. Среднее число требований в системе М_ТР.
4. Среднюю длину очереди М_оч.
5. Среднее число свободных узлов М_св.
6. Среднее число занятых узлов М_зан.
7. Среднее время ожидания Т_ож.
8. Общее время пребывание требований в очереди за единицу времени Тоож.
9. Среднее время пребывания требования в системе Ттр.
10. Суммарное время, которое проводят все требования за единицу времени Т_стр.

 

Решение

Пусть m=7, N_n=11, N=5

 

Число каналов  обслуживания

Интенсивность поступления требований

Интенсивность выполнения требований

Нагрузка системы

Вероятность отсутствия требований в системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность наличия i требований в системе

График распределения  состояний 6-канальной СМО с ожиданием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность наличия очереди

Вероятность занятости всех узлов

Среднее число  требований в системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя длина  очереди

 

 

 

 

 

 

 

Среднее число  свободных узлов

Среднее число  занятых узлов

Среднее время  ожидания

Общее время  пребывания требований в очереди

Среднее время  пребывания требования в системе

Суммарное время, которое проводят все требования в системе