Моделирование колебаний горизонтального маятника на двух пружинах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

по дисциплине                               Графические системы и языки

 

на тему	Моделирование колебаний горизонтального маятника
на двух пружинах

 

 

 

                                                           

Выполнила студентка группы  231000.68-01-11оп

группа

направления подготовки (специальности)

231000.68

к.т.н., доцент

должность

 

Дата представления работы

«__» __________ 2014 г.

Заключение о допуске к защите

Оценка _______________, _________________

количество баллов

Подпись преподавателя____________________

 

 

,  2014

                          Год

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Под компьютерной визуализацией понимается методика перевода абстрактных представлений об объектах в геометрические образы, что дает возможность исследователю наблюдать результаты компьютерного моделирования явлений и процессов.

Под визуализацией программного обеспечения понимается совокупность методик использования графики и средств человеко-машинного взаимодействия, применяемых для лучшего уяснения понятий и эффективной эксплуатации программного обеспечения, а также для спецификации и представления программных объектов в процессе создания программ. Проектирование является одной из основных стадий создания изделия в технике. Современные графические системы позволяют наглядно визуализировать проектируемый объект, что способствует скорейшему выявлению и решению многих проблем. Разработчик судит о своей работе не только по цифрам и косвенным параметрам, он видит предмет проектирования на своем экране. Компьютерные системы позволяют организовать интерактивное взаимодействие с проектируемым объектом.

 

 

Глава 1. Постановка задачи

 

1.1 Описание предметной области

 

Предметной областью данной курсовой работы является  компьютерная графика, а именно графическое моделирование и визуализация физического процесса.

Компьютерная графика - это область информатики, в которой рассматриваются алгоритмы и технологии визуализации данных. Развитие компьютерной графики определяется в основном двумя факторами: реальными потребностями потенциальных пользователей и возможностями аппаратного и программного обеспечения. Потребности потребителей и возможности техники неуклонно растут, и на сегодняшний день компьютерная графика активно используется в самых различных сферах. Можно выделить следующие области применения компьютерной графики:

• визуализация информации;
• моделирование процессов и явлений;
• проектирование технических объектов;
• организация пользовательского интерфейса.

В настоящее время одной из наиболее актуальных и сложных задач в компьютерной графике является моделирование и визуализация различных физических процессов, обладающих наибольшей реалистичностью. Однако необходимо учитывать, что максимальная приближённость модели к реальности существенно увеличивает объём и время вычислений.

В данной курсовой работе будет выполнено моделирование свободных колебаний горизонтального маятника на двух пружинах.

 

 

 

1.2 Цель визуализации

 

Целью визуализации является создание модели гармонического осциллятора. Создаваемую систему можно использовать при обучении учеников или студентов в учебных заведениях. Система поможет быстрее и наглядней понять физические законы и процессы, что происходят, когда тело массой m совершает свободные колебания между двумя пружинами жесткостью k1 и k2, другие концы которых жестко закреплены.

Обозначим основные функции создаваемой системы:

• предоставить пользователю возможность наблюдения за колебаниями маятника, после стороннего воздействия на него;
• предоставить пользователю возможность наблюдения как изменяется положение тела, и его скорость относительно времени;
• предоставить пользователю возможность наблюдения как изменяется энергия колебаний маятника.
• предоставить пользователю возможность задания начальных параметров.

 

 

1.3 Детализация

 

Гармонический осциллятор (в классической механике) — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

где k — коэффициент жёсткости системы.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы.

Простое гармоническое движение – это движение простого гармонического осциллятора, периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна смещению x от положения равновесия и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же, как и предыдущее, и период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то смещение x тела от положения равновесия в любой момент времени даётся формулой:

,

где A — амплитуда колебаний, f — частота, φ — начальная фаза.

 

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями — перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

,

где

F — возвращающая сила,

x — перемещение груза (деформация пружины),

k — коэффициент жёсткости пружины.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.
2. Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.

 

Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = md²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

,

где

m — масса тела,

x — его перемещение относительно положения равновесия,

k — постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:

где A, ω и φ — постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A — это амплитуда, ω = 2πf — круговая частота, и φ — начальная фаза.

Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:

.

 

Энергия простого гармонического движения

Кинетическая энергия K системы в зависимости от времени t такова:

,

и потенциальная энергия есть

.

Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение

.

 

Затухающий осциллятор

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда сила, действующая на груз, записывается так:

,

где b – некоторый постоянный коэффициент, υ – скорость груза.

 

 

1.4 Горизонтальный маятник на двух пружинах

Тело массой т совершает свободные колебания между двумя пружинами жесткостью k1 и k2, другие концы которых жестко закреплены (рис.1.1). Трение отсутствует.

Рис.1.1 Горизонтальный маятник на двух пружинах

 

Такая система также обладает одной степенью свободы, и деформации обеих пружин по величине одинаковы ( x1 = x2 = x). При отклонении тела от положения равновесия получаем:

;

или

.

Из последней формулы видно, что эквивалентная жесткость таких “параллельно соединенных” пружин равна , и частота колебаний . Так как деформации пружин одинаковы, то потенциальная энергия распределяется между ними пропорционально их жесткости.