Элементы теории множеств

 

 Итоговая контрольная работа

 

Вариант 1

 

Тема 1. Элементы теории множеств

 

Задача 1

Приведите в терминах теории множеств

- определение функции;

- термина «область определения функции» Найдите область определения заданной функции. Покажите результат аналитически и на числовой оси

 

Тема 2. Проценты

 

Задача 1

Земельный участок имеет форму квадрата. Оцените ( в процентах) изменение площади участка, если :

а) одна из сторон увеличится на 20%; б) обе стороны уменьшатся на 10%

 

 

Задача 2 (см. 1 лекцию) сделать в Экселе.

Вкладчик вложил в Сбербанк сумму в размере 7000 $ при годовой процентной ставке р% =10%

Вкладчику было предложено выбрать одну из трех схем начисления процентов:

• Схему простых процентов;
• Схему сложных процентов с ежегодным начислением процентов
• Схему сложных процентов с ежемесячным начислением процентов

Какую сумму может получить вкладчик по каждой из предложенных схем: а) через шесть месяцев; б)через год; в) через полтора года .

Приведите необходимые расчетные формулы, результаты вычислений, выполненные в Excel. Сделайте вывод  о целесообразности применения каждой из схем.

 

Тема 3. Основы математического анализа

Задача 1

Найдите пределы выражений:

 

Задача 2

Пользуясь таблицей формул дифференцирования, найдите первую производную функции.

 

Какие методы дифференцирования Вы использовали

 

Задача 3

Что такое дифференциал функции? Каков его геометрический смысл?

Найдите дифференциал функций

 

Покажите последовательность действий, необходимых для вычисления дифференциала

 

Задача 4

Найдите следующие неопределенные интегралы. Объясните, по какому методу вычислялся каждый интеграл

Задача 5

Определенный интеграл – дайте определение. Вычислите определенный интеграл. Приведите метод вычисления.

 

Задача 6

Вычислите площадь, ограниченную параболой,

 

прямыми x = 0 и x = 2 и осью абсцисс. Приведите график функции, заштрихуйте вычисляемую площадь

 

Задача 7

 Дана функция

 

Найдите:

1. Область определения функции.
2. Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Определите интервалы непрерывности.
3. Исследуйте функцию на четность, нечетность, периодичность.
4. Пределы функции на границах области определения . Совместите с определением наклонных асимптот
5. Первую производную, точки экстремумов и интервалы монотонности.
6. Вторую производную, точки перегиба и характер выпуклости.
7. Точки пересечения функции с осями координат OX и оy (если это возможно).
8. Постройте график функции. Определите область значений функции
9. Вычислите площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми x = 0 и x = 2.

Ответы на основные вопросы:

• минимум функции ymin(0) = 2; максимум функции ymax(-4) = -6
• точек перегиба нет
• вертикальная асимптота x = -2;
• наклонная асимптота y = x;
• площадь S = 2 + 4ln3 (ед. кв).

 

 

 

Вариант 2

Тема 1. Теория множеств

 

Задача 1

Приведите в терминах теории множеств:

- определение функции;

-  определение термина «область определения функции»

Найдите область определения функции. Покажите результат аналитически и на числовой оси.

Тема 2. Проценты

 

Задача 1

В январе завод выполнил 104% месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 5% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил

- двухмесячный план выпуска продукции;

- среднемесячный план выпуска продукции.

 

Задача 2

Вкладчик вложил в банк СБ сумму в размере 100000 руб. при годовой процентной ставке р%=30%.

Вкладчику было предложено выбрать одну из трех схем начисления процентов:

• Схему простых процентов;
• Схему сложных процентов с ежегодным начислением процентов
• Схему сложных процентов с ежемесячным начислением процентов

Какую сумму может получить вкладчик по каждой из предложенных схем:

а) через восемь месяцев;

б) через год;

в) через год и шесть месяцев.

Приведите необходимые расчетные формулы, результаты вычислений, выполненные в Excel.

Сделайте вывод о целесообразности применения каждой из схем.

 

Тема 3. Основы математического анализа

Задача 1

Найдите пределы выражений

 

Задача 2

Пользуясь таблицей формул дифференцирования, найдите первую производную функции

 

Какие методы дифференцирования Вы использовали.

 

Задача 3

Найдите дифференциал функций:

Ответьте на вопросы:

- дифференциал - аналитический и геометрический смысл;

- последовательность действий, необходимых для вычисления дифференциала.

Задача 4

Найдите следующие неопределенные интегралы. Объясните, по какому методу вычислялся каждый интеграл

 

Задача 5. Определенный интеграл – дайте определение. Вычислите определенный интеграл

 

 

Примечание:

 

Задача 6

Вычислите площадь, ограниченную параболой

 

прямой y1 = -2 и прямыми х=-1 и х=1. Приведите графики функций y и y1, заштрихуйте вычисляемую площадь.

 

Задача 7

 Дана функция

 

Найдите:

1. Область определения функции.
2. Точки пересечения функции с осью OX (если это возможно).
3. Исследуйте функцию на четность, нечетность, периодичность.
4. Точки разрыва.
5. Вертикальные и наклонные асимптоты.
6. Интервалы монотонности.
7. Точки экстремумов.
8. Точки перегиба и характер выпуклости.
9. Постройте график функции. Определите область значений функции
10. Вычислите площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми x = 0 и x = 1.

Ответы на основные вопросы:

• минимум функции ymin(0) = 0;
• максимум функции ymax(-2) = -4;
• точки перегиба: нет
• наклонная асимптота y =x-1;
• площадь S = ln2 -1/2 (ед.кв)