Элементы векторной, линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ, производная и ее приложения, функции не

1.  а)  б) [-3; 3] .

Решение.

а)

1) Область определения  .

 

2) Функция непериодическая.

 

3) - функция нечетная.

 

4) Точки пересечения  с осью ОХ:

y = 0    x =0

 

c осью OY: х = 0 ;   ; 

 

 

5. График симметричен относительно начала координат 

 

Находим критические  точки: x₁=2; x₂=-2

Исследуем знак производной  на интервалах, на которые критическая  точка делит область определения  функции:

 

x
g’	-	-
g	убывание	убывает

 

 

6) Выпуклость/вогнутость

 

 

7) Вертикальных асимптот  нет

- следовательно наклонных асимптот  тоже нет.

 

8) График.

 

б) Найдем наименьшее и  наибольшее значения функции на отрезке [-3; 3]. Поскольку критическая точка  функции x=-2 и х=2 принадлежит указанному отрезку, вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: , , ,

Очевидно, что  , .

 

Функции нескольких переменных.

 

Задача 6. Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

 

1. .

 

Решение. Вычислим первые частные производные:

,

Дифференцируя полученные частные производные по переменным x и y соответственно, получаем вторые частные производные:

Задача 7. Дана функция. Выяснить, имеет ли эта функция экстремум и определить максимум или минимум.

1. Z = x² – y² + 3xy + 7.

Решение.  Находим координаты стационарной точки:

 

 

Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.

1. Z = x² – y² + 3xy + 7 ; D : -2 £ x £ 2, -2 £ y £ 2

Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные равны нулю:

 

Решив систему уравнений  

найдем две точки О(0;0) и M(1;1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая  из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке M(1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области.

На отрезке АB и CD имеем x=0 и поэтому на этом отрезке функция есть убывающая функция от одной переменной  y. Наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка AВ,CD

На отрезке BС и AD имеем y = 0. Поэтому на отрезке BС и AD функция z = представляет собой функцию одной переменной x. Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди значений в критических точках и на концах отрезка. Находим производную . Решаем уравнение или и находим . Внутри отрезка имеется лишь одна критическая (стационарная) точка , соответствующей точкой отрезка AB и AD является точка .

Наибольшее  и  наименьшее  значения  функции 

 в  замкнутой  области   находятся  среди  ее значений  в

точках O, A, B,C,D,Q  и M,  т.е. среди значений

         z(O) = z(0;0) = 0,  z(A) = z(0;-2) = 3, z(B)=z(2;0)=11, z(Q) = z( ) = 10+ ,

         z(С) = z(0;2) = 3,  z(D) = z(-2;0) =11,   z(M) = z(1;1) = 10.

Наибольшее и наименьшее значения равны соответственно 11 и 3. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области: 

 

Задача 9. Даны: функция трех переменных , точка  
M₀ (1; -2; 1) и вектор (-1; 2; 2)

Найти:

1) производную в точке М₀ по направлению вектора ;

2) grad u в точке М_0.

 

Решение. Найдем частные производные функции и направляющие косинусы вектора :

 

Воспользуемся формулой

                              

где –нормальный вектор к поверхности уровня, –   единичный вектор направления .

а) Найдем производную  функции u по направлению вектора в любой точке:

                     

   б) Подставляя  координаты точки A, получим:

                                              . 

Находим градиент функции  в точке A:

                                    grad u =

                                  grad u|_M =

Так как  тогда

                                            grad u|_M =

 

Контрольная  работа  № 2

 

Неопределенный и  определенный  
интегралы

 

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

 

1.

 

             д)      .

Решение.

 

 

д)      .

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

1.

Решение.

Задача 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится.

1.

Решение.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

 

1.   .

 

Решение.

 

у= -   и у =

Построим графики функций и  найдем их точки пересечения.

Точки пересечения:

- = ;

D=25-4*6=1

Площадь фигуры, ограниченной линиями находится по формуле:

Задача 5. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.

 

1. .

Решение.

1.  

Кратные интегралы

 

Задача 6. Вычислить двойной интеграл по области D . Область интегрирования D изобразить на чертеже. Решить задачу вторым способом поменяв порядок интегрирования.

 

1. D : y = x² , y = 2 – x² .

Решение.

 

 

Задача 7. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями.: z = 0 , z – x = 0 , y = 0 , y = 4 , Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу .

Решение.

Тело изображено на рисунке

Объем данной фигуры определим  следующей формулой:

 

Дифференциальные  уравнения

Задача 1. Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

1.   3x +  xy + y = 0,  y(1) = 1.

 

Решение.

3x +  xy + y = 0;

Интегрируем:

;

Следовательно

;

.

Задача 2. Решить дифференциальные уравнения  второго порядка:  а) найти общее решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

1. а)  xy +  y = x .

б)  y -  3y =  e ,  y( 0 ) =  -2,  y ( 0 ) = 1

Решение:

а)  xy +  y = x .

примем:

 

запишем в виде системы

б)   y -  3y =  e ,  y( 0 ) =  -2,  y ( 0 ) = 1

 

Решение:

 

Примем 

Пусть

Тогда

Отсюда следует  ;

Т.к. y(0)=-2, то

 

Следовательно

, тогда получим

Задача 3.

1. Найти закон движения материальной точки массы  m,  если известно, что работа силы, действующей в направлении движения, пропорциональна пути от начала движения ( коэффициент пропорциональности  k ).

Решение.

По условию задачи , т.е. работа силы, действующей в направлении движения, пропорциональна пути от начала движения ( коэффициент пропорциональности k). С другой стороны , т.е. получаем, что . Так как сила действует в направлении движения, то , значит F=k.

Примем за координатную ось Ох горизонтальную прямую, а  положение точки при t=0 – за начало координат.

 

Изобразим материальную точку в произвольном положении  на расстояние х от ее начального положения. На точку действуют  -сила тяжести, - реакция плоскости, - сила по условию задачи. Начальные условия: t=0, . Составим дифференциальное уравнение движения:

,

Используя условие, что t=0, v=0,

Заменив v на получим

 

Используя условие t=0, x=0, 0=0+C₂, C₂=0

 

Окончательно будем  иметь:

 

Задача 4. Найти общее решение системы линейных  дифференциальных  уравнений. Сделать проверку  найденного решения.

1.

Решение:

Поделим первое уравнение на второе, получим

;

Отсюда следует

Найдем х:

Итак, имеем решение  системы уравнений:

                                                     

Ряды

 

Задача 5. Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся.

1.

Решение.

Если 

Тогда

 

Рассмотрим наименьший ряд:

, значит данный ряд сходиться.

Задача 6.  Определить область сходимости данных рядов.

         1.

Решение.

Если 

Тогда

При х<1 

При х>1 

При х=1 

Значит, областью сходимости являются

-1<x<1.

Задача 7. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить график данной функции f(x), продолженной с данного интервала периодически на всю числовую ось.

          1.  f(x) = x +1      в интервале   .     

Решение.

 Рассмотрим функцию

Разложим ее в ряд Фурье на интервале  . Функция периодична на отрезке , значит разложение в ряд Фурье имеет вид:

.

Коэффициенты ряда вычисляются  по формулам:

 

Тогда получаем