Экзаменационная работа по «Высшей математике»

Русский институт управления

имени В.П. Чернова

 

 

 

 

 

Экзаменационная работа по дисциплине

«Высшая математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент: Евсеева Ю.А.

Рег.№ 2GU000406

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2009 г.

 

 

 

Задание 1.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

Решение:

Выполним замену переменной в интеграле t= x³ +6, dt =3x² dx    => 

 

 

 

 

                                                                                                

=> - расходится

 

Ответ: Несобственный  интеграл расходится.

 

Задание 2.

Для изготовления изделий А и В фабрика расходует  в качестве сырья сталь и цветные  металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. Указанные изделия производят с помощью токарных и фрезерных станков. Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль. Исходные данные приведены в таблице:

 

Вид ресурса	Объем ресурса	Нормы расхода  на одно изделие
		А	В
Сталь (кг)	570	10	70
Цветные металлы (кг)	420	20	50
Токарные станки (станко-час)	5600	300	400
Фрезерные станки (станко-час)	3400	200	100
Прибыль (усл. ед.)		3	8

 

1. Представьте математическую модель задачи.
2. Определите ее вид.
3. Решите данную задачу любым известным Вам способом.
4. Дайте полный словесный ответ.

 

Решение:

1. Составим математическую  модель задачи.  Обозначим  х₁, х₂ – Число единиц продукции А, В соответственно запланированных к производству. Для их изготовления потребуется: – единиц стали; – единиц цветных металлов; – единиц работы токарных станков и – единиц работы фрезерных станков. Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасов соответственно  570, 420, 5600, 3400 единиц, то связь между потребление ресурсов и их запасами выразится системой неравенств.

 

По смыслу задания  переменные   х₁≥0, х₂≥0                                     (1.2)

Суммарная прибыль F Составит тыс. руб. от реализации продукции А и тыс. руб. от реализации продукции В.  F(х₁, х₂) = →max.          (1.3)

Итак, математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции Х = (х₁; х₂) удовлетворяющий системе (1.1) и условию (1.2) при котором функция (1.3) принимает максимальное значение.

2.   Задача линейного  программирования на планирование  производства.

3.   Решим данную  задачу симплексным методом. Введем дополнительно 4 переменные для приведения задачи к каноническому виду.

 

В качестве опорного плана  выберем:  Х = (0, 0, 57, 42, 56, 34) составим симплексную таблицу:

Базис	БП	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х3	57	1	7	1	0	0	0
Х4	42	2	5	0	1	0	0
Х5	56	3	4	0	0	1	0
Х6	34	2	1	0	0	0	1
ИС	0	-3	-8	0	0	0	0

 

В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно  делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а  затем разрешающий элемент –  по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца. Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги, пока не придем к таблице с неотрицательными оценками.

 

Выбираем первый ключевой элемент (1 , 2)  - (первая строка, столбец Х₂).

Базис	БП	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х2	57/7	1/7	1	1/7	0	0	0
Х4	9/7	9/7	0	-5/7	1	0	0
Х5	164/7	17/7	0	-4/7	0	1	0
Х6	181/7	13/7	0	-1/7	0	0	1
ИС	456/7	-13/7	0	8/7	0	0	0

 

 

Выбираем следующий  ключевой  элемент  (2;1) - (вторая строка, столбец Х₁).

Базис	БП	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х2	8	0	1	2/9	-1/9	0	0
Х1	1	1	0	-5/9	7/9	0	0
Х5	21	0	0	7/9	-17/9	1	0
Х6	24	0	0	8/9	-13/9	0	1
ИС	67	0	0	1/9	13/9	0	0

В последнем плане  строка ИС не содержит отрицательных значений, план x₁ = 1, x₂ = 8,

оптимален, целевая функция принимает максимальное значение 67 (совокупная прибыль).

                  Х = (1;8)

                  F(х) = 67 тыс. руб.

4.   Ответ: План  выпуска продукции, при котором  будет достигнута максимальная  прибыль 67 тыс. руб. составит 1 единицу продукции вида А и 8 единиц вида В. Получено следующее оптимальное решение: X₁ = 1; X₂ = 8;  E = 67. Значения переменных X₁ = 1, X₂ = 8 показывают, что цех должен выпускать за смену 1 деталь вида А и 8 деталей вида В. В этом случае будет получена максимальная прибыль в размере 67 ден. ед.

 

 

 

Задание 3.

Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в t из них товар 1 сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара.

1. Запишите полную систему событий данного испытания. Сколько элементарных исходов приходится на каждое событие?
2. Найдите вероятности всех возможных событий данного испытания.
3. Найдите двумя способами вероятность следующего события: «среди отобранных 3 упаковок, по крайней мере, в одной из них оказался товар 1 сорта».
4. Составьте закон распределения числа единиц товара 1 сорта в  выборке из 3 единиц.  Запишите его в  виде таблицы распределения. Какой наиболее вероятный исход такой выборки?

Решение:

1. С₁₂³ _ общее число элементарных исходов извлечения 3х единиц товара из 12.  k товаров первого сорта можно взять из 6 товаров первого сорта С₆^k  способами, при этом остальные 3 – k единицы товара должны быть не первого сорта. Взять же 3-k единиц товара не первого сорта  из 6  единиц товара не первого сорта можно С₆^3-k способами. Отсюда следует, что число благоприятных исходов равно С₆^k С₆^3-k.  Число всех элементарных исходов данного испытания равно С₁₂³ = 220
2. Искомая вероятность равна отношению числа исходов благоприятствующих событию к числу всех элементарных исходов:

                                                 

гипотеза q -1ая единица первого сорта, р – 1ая единица не первого сорта              Р(q)=t/12, Р(р) = (12-t)/12.  А событие - единица 1 сорта, В – событие единица не 1 сорта. Формула полной вероятности:  P(A,B,B) q+P(B,A,B) p+P(B,B,A) q

3. 1 способ: Требование – хотя бы в одной из упаковок товар первого сорта(А) – будет осуществлено , если произойдет любое из следующих трех несовместимых событий: В – 1 единица товар первого сорта, С – 2 единицы товар первого сорта, D – три единицы товар первого сорта. Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А= В+С+ D, по теореме сложения:             
4. 2 способ :  Событие А - хотя бы в одной из упаковок товар первого сорта и ¬А - ни в одной из упаковок нет товара первого сорта – противоположные, поэтому Р(А) + Р(¬А) = 1  Отсюда  Р(А) =1- Р(¬А). Вероятность появления события ¬А:
5. Пусть Х число товара первого сорта может иметь следующие возможные значения: х₁ =0, х₂=1, х₃= 2, х₄= 3. Найдем вероятность возможных значений Х по формуле: Находим:

Составим закон распределения  и запишем его в виде таблицы:

х	0	1	2	3
р	20/220	90/220	90/220	20/220

Контроль: Р = 20 /220+ 90/220+ 90/220+ 20/220=1

 

          

Из таблицы видно, что  наиболее вероятный исход будет  при х = 1 или х=2, так данные значения одинаковые.