Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Апреля 2012 в 12:35, курсовая работа
Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.
Цель данной работы – изучить бета- и гамма-функции, их свойства, установить связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов.
Введение
1.Интеграл Эйлера первого рода (бета-функция Эйлера)
2. Интеграл Эйлера второго рода (гамма-функция Эйлера)
2.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода
2.2 Свойства гамма-функции Эйлера
2.2.1 Непрерывность гамма-функции Эйлера
2.2.2 Основное функциональное уравнение
2.2.3 Поведение гамма-функции и ее график
2.2.4 Связь между бета- и гамма-функциями
2.2.5 Формула дополнения
2.2.6 Формула Эйлера
3.Примеры вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов
Заключение
Список литературы
Определив таким образом гамма-функцию на интервале (-1 ;0), мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением гамма-функции окажется функция, принимающая положительные значения, а в граничных точках при , а также при значения функции устремляются к +. Продолжая этот процесс, определим гамма-функцию, имеющею разрывы в целочисленных точках а = - к для к = 0; 1; 2;…
Отметим еще раз, что интеграл
определяет гамма-функцию только при положительных значениях a, продолжение на отрицательные значения параметра а осуществлено нами формально с помощью формулы приведения.
Учитывая эти результаты, можно построить
график гамма-функции для всех значений
а.
Для
установления связи между бета- и гамма
-функциями, мы сделаем подстановку x =
ty (t>0) в формуле (2.1) и получим:
Г (а) = = =
= = = .
Умножим обе части этого равенства на , получим:
Заменяя здесь а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:
= .
Умножим обе части этого равенства на ta-1 и проинтегрируем по t от 0 до :
Г (a+b) = .
В интеграле слева стоит функция В (а, b),справа же переставим интегралы. Получим :
Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).
Итак, получаем:
Г
(а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда,
Вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Но для его обоснования надо еще оправдать перестановку интегралов. Ограничимся поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции ta-1 ya+b-1 e-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.
А именно: эта функция непрерывна и притом положительна для , а интегралы
= Г (а + b) .
= Г (а) yb-1 e-y
в свою очередь представляют собой непрерывные функции: первый – от t для t 0, второй – от у для у 0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) – для случая а > 1, b > 1.
Если
же известно лишь, что а > 0 и b > 0, то –
по доказанному – имеем
А отсюда, используя формулы (1.2), (1.3) приведения для функции В и (2.5) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.10) уже без ненужных ограничений.
Если
в формуле (2.10) положить b = 1-а (считая
0 < а < 1), то, используя формулы (1.6) и
(2.7), получим соотношение:
= Г(а) Г (1-а)
Эта формула называется формулой дополнения. При находим (так как Г(а)>0)
Г ( ). Г (1– ) = (2.11)
В качестве применения формулы дополнения определим величину произведения (где n – любое натуральное число)
Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ).
Запишем это произведение в обратном порядке
Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ),
перемножим оба выражения:
и к
каждой паре множителей применим формулу
дополнения. Мы получим:
Е2 = = .
Теперь
для вычисления произведения синусов
рассмотрим тождество:
=
и устремим в нем , получим:
n =
или, приравнивая модули:
n = = =
= = =
= = = 2 sin = 2 n-1 ,
получили
= .
Подставляя это выражение для Е 2, окончательно получаем:
Е = = . (2.12)
Если в интеграле сделать подстановку z= x2, то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:
=
=
= 2
=
.
1.Вычислить интеграл вероятности .
Решение.
В силу чётности функции интеграл вероятности можно представить в виде:
Сделав в этом интеграле замену t = x2 , получим следующий интеграл:
В дальнейших вычислениях используем формулы:
Вычислить интегралы:
1)
4)
Гамма и бета-функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.
Для гамма-функции составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями.
Определенные
интегралы различных типов
Благодаря этому эйлеровы интегралы широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.