Шпаргалка по "Математическому анализу"

 

а11 а22 - главная диагональ

а21 а12 - побочная диагональ

Определение определителя 3-го порядка.

а11 а12  а13

а21 а22 а23       = а11 а22  а33 + а21 а32  а13 +

а31 а32  а33    + а12 а23  а31 - а13 а22  а31 -

                   - а23 а32  а11 - а21 а12  а33

 

3 Минором элемента аij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, который получается путем вычеркивания в определителе третьего порядка i- той строки и j-ого столбца, т.е. строки и столбца, в котором находится данные элемент аij

аij занимает четное место, если сумма i+j является четной и наоборот нечетное место, если сумма является нечетным числом.

Алгебраическим дополнением (Аij) элемента аij называется минор этого элемента взятый с "+" если аij  - четное и с "-" , если аij  - нечетное.

а11 а12  а13

а21 а22 а23       =  а11А11+а12А12+а13А13

а31 а32  а33

 

 

 

 

 

 

4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

  а1х + в1у =с1        · в2    -для искл.

  а2х + в2у =с2        · (-в1) неизв. у

                      или

                              · а2     -для искл.

                                  · (-а1) неизв. х.

 

 

II сложим полученные уравнения, получим

х( а1в2 - а2в1) = с1в2 - с2в1

или (при исключении х)

у( а1в2 - а2в1) = а1с2 - а2с1

 

III По формуле определения определителя 2-го порядка, можно заменить коэфициенты уравнения.

          а1  в1

Д =                 - осн. опред-ль системы

               а2   в2      

          с1  в1

Дх =               

               с2   в2

                                                  доп. опред-ли

          а1  с1

Ду =                

               а2   с2

 

 

х= Дх¸Д          у= Ду¸Д

Основной определитель составляется из коэфициентов при неизвестных а Дх и Ду получаются путем замены свободными членами соответственно первого и второго столбцов основного определителя.

5.Геометрическое истолкование  линейной системы двух уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

   I                 

• у системы 1 решение.

 

 

 

 

 

 

   II                                     

                   а1¸а2= в1¸в2 = k

                   c1¸с2 ¹ k

                    k (а1х + в1у) = k c1

                            пусть х0у0    - какое-нибудь              решение 2-го уравнения, подставляем:

                 

                  k(а1х0+в1у0)=kc1¹с2Þ

решение второго уравнеиня не удовлетворяет первое.

Противоречивая система   - не имеет решений.

______________________________________________________________________

 

а1/а2= в1/в2 = c1/с2= k

второе уравнение равно первому умноженному на какое-либо число или второе уравнение является следствием первого.

Неопределенной системой называется система, имеющая бесконечное количество значений.

 

6. Геометрическое истолкование  линейной системы трех уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

В пространстве Oxyz каждому из уравнений соответствует плоскость. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих плоскостей.

1. Основной определитель Д¹0. По правилу Крамера находится единственное решение системы. Геометрически - это координаты единственной точки пересечения всех трех плоскостей.
2. Д=0 Много возможностей.

А) все три плоскости совпадают.

х+2у+z=2        2-ое и 3-е мы полу-

3х+6у+3z =6   чаем из 1-го, умно-

2х+4у+2z=4    жая их на 3 и 2 соответственно.ÞСистема неопределена. Отбрасываем 2 и 3 ур. и из оставшегося вычисляем z=2-х-2у. Давая различные значения х и у, вычислим соответствующее значение z и получим решение системы Таких решений бесконечное множество.

Б) Две плоскости совпадают, а 3-я их пересевает по одной прямой (т.е. не сливается с ними)Þможно отбросить одно уравнение, оставив уравнения любых двух несливающихся плоскостей. Эта система явл. неопред: значение одной из неизвестных задается произвольно, две другие вычисляются из упомянутой системы. Аналогичный результат получается, когда 3 плоскоти пересекаются по одной прямой, попарно не совпадая.

Если 1 и 3 сложить, то получится 2. И наоборот, если из 3-1, то получим 2.

В) 2 или 3 плоскости ||

При этом когда 2 || , третья либо их пересекает, либо совпадает с одной из нихÞ система противоречива.

Г) плоскости попарно пересекаются. Линии пересечения || между собой (их 3)Þ система противоречива.

*** Если в однородной системе  все миноры 2-го порядка =0, решение  зависит от 2х параметров., или  хотябы один отличен от нуля, то решение зависит от одного пораметра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Сложение векторов, умножение  вектора на скаляр. Проекция вектора  на ось. Коллиниарность и комплиментарность  векторов.

Вектором называется величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве. Модулем |ā| или длиной вектора а наз его числ. зн-ие. Если |ā|=0, вектор называют нулевым..

Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве даны вектор ĀВ и ось Ох. Опустим ^ на ось Ох и з точек А и В, т.е. спроектируем эти точки на ось Ох. Обозначим проекции через А' и В'  Вектор A'B' называют компонентой вектора АВ по оси Ох. Проекцией вектора АВ на ось Ох называется длинна компоненты, взятая со знаком "+", если направление оси и компоненты совпадают, и со знаком "-" если направления противоположны.

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов ā и в определяется с помощью параллелограмма. Они выпускаются из одной точки и достраивается параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма есть сумма векторов ā и в.

 Сумма векторов так же определяется по правилу многоугольника - к концу первого вектора  подставляют начало другого и соединяется начало первого и конец второго.

Разность векторов

с=а-в      в+с=а                      а              с

                                                       в

Умножение вектора на скаляр.

λ-число (скаляр)

ā - вектор λā=с

Произведением λā называется вектор, длинна которого равна |ā|·|λ|, а направление такое же, как и у вектора ā если λ>0, и противоположное, если λ<0.

Векторы называются коллиниарными, если они лежат на совпадающих прямых.

Если векторы ā и в коллиниарны (ā¹0; в¹0), то они пропорциональны, т.е. существует такое положительное или отрицательное число l, что а=lв.

Три вектора называются компланарными, если их можно уложить на одну плоскость.

9. Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением векторов а и в называют произведение их длин и косинуса угла между ними.

(а,b)=|a|×|b|×cos(a,b)

Свойства:

1. Коммуникативность. (а,в)=(в,а)
2. Дистрибутивность. (а+в)×(с)=(а×с)+(в×с)
3. (lа,в)=(а,lв) - скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
4. Скалярное произведение (а,в) равно 0 тогда и только тогда, когда они ^ или один из них=0

Док-во: cos 90 = 0

8. Длина и направляющие  косинусы вектора, заданного координатами. Орты. Радиус-вектор точки.

Векторы единичной длины, направленные по осям координат называют ортами и обозначают i (по оси Ох) j (по оси Оу). В 3х-мерном пространстве берется еще k (по оси z) Проекции  ах и ау вектора а на оси х и у называют координатами вектора а. Углы вектора а с осями координат - a и b, тогда ах =|a|×cosa     - направляющие

         ау =|a|×cosb        косинусы

a,b - задают направление.

Величины cosa и cosb называются направляющимикосинусами вектора а. Зная координаты ах  и ау , можно вычислить модуль и направляющие косинусы: cosa= ах¸|a|, cosb= ау¸|a|

Очевидно, что |a| = Öах2 +ау2

 

 

 

Вектор ОМ, выходящий из (0;0) и оканчивающийся в т. М(х,у) называют радиус-вектором т.М. Координаты х и у т.М. так же являются координатами вектора r=ОМ. Поэтому r=хi+уj. Принято так же писать r ={х,у}

 

 

 

Длина вектора в 3х-мерном пространстве измеряется по формуле

|a|= Ö ах2 +ау2 +аz2

Векторное произведение и его свойства.

Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное произведение векторов  а и в обозначается так: [а,в] или а´в.

Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= [а,в], для кот.:

1. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |c|= |a|×|b|×sin(ab)
2. прямая, несущая вектор, ^ каждому из перемножаемых векторов,т.е. плоскости указанного параллелограмма
3. направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца  вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка векторов а,в,с, называется правой)

 Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении  с отпалдает.

Свойства:

1. в´а = - а´в, т.е. векторное умножение некоммуникативно
2. [lа,в]=[а,lв]=l[а,в]
3. (а+в)´с=а´с+с´в, т.е. векторное умножение дистрибутивно

 

          i  j  k         ау аz             ах аz            ах ау

а´в=  ах ау аz  =i   ву вz    - j вх вz  +k вх ву

         вх ву вz        

 

 

 

11. Смешанное произведение  векторов. Его геометрический смысл.

Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а,в,с, понимают число авс=[а,в]×с

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=[а,в]

|S|- площадь основания паралл-да

H -высота паралл-да

H= |c| ×|cosj|, где j - острый или тупой угол между векторами S и С.

авс=(s,c)=|s|×|c|×j= |s|×(±H)=±V - объем параллелепипеда.

 

 

 

Знак "+" получается, если тройка а,в,с правая и "-", если леваяÞАбсолютная величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да, построенного на векторах а,в,с.

Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие компланарности векторов а,в,с, а именно авс=0

Координатная формула величины см. произведения векторов.

а={ах ау аz}, в={вх ву вz}, с={сх су сz}:

           ах ау аz

авс=   вх ву вz

                 сх су сz

12.Формулы расстояния  между двумя точками и длина  отрезка в заданном отношении.

Расстояние между точками М1 и М2вычисляется как модуль |М1 М2| вектора М1 М2.

 

 

 

 

М1 М2=| М1 М2|=√(х2 -х1)2 + (у2 -у1)2

Нахождение координат точки, делящей отрезок М1 М2 в заданном отношении М1N¸N М2 = p(число р задано)

Известно ,что || прямые K1М1 ;

NL  ;  K2М2 рассекают стороны угла M2AK2 на пропорциональные отрезки:

p=М1N¸N М2=K1L¸LK2 или х-х1¸х2-х1=pÞх=х1+pх2¸1+p;y=у1 +pу2¸1+p

в частности координаты середины отрезка (p=1)

x= х1 +х2¸2

у= у1 +у2¸2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. прямая линия на  плоскости: общее уравнение, уравнение  с угловым коэфициентом, уравнение  в отрезках.

Общее уравнение прямой линии - Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С - какие-либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А2+В2¹0, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты

у=kх+в - уравнение прямой с угловым коэфициентом

k=tga, где a - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси Ох (0<a<p;a¹p/2)

                   геом. смысл коэфицтентов

 

 

 

уравнение в отрезках

заданы ненулевые отрезки а и в, отсекаемые прямой на осях координат. По условию точки (а;0) и (0;в) лежат на прямой. Воспользуемся уравнением

  х - х1      у - у1

  х2-х1    у2- у1