Цепи Маркова

 

Рассмотрим алгоритм формирования переходных матриц на примере перехода первый-второй семестры.

Таблица 3.4 - Уровни успеваемости 1-2 семестры

		1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
1семестр	Количество неудов, %	25,2	25,7	25	29,8	32,1	39	30,6	39,5	34,4	19,5	31,7	20,3	33,5
2семестр	Количество неудов, %	18,4	20,9	24,4	31,4	40	30,1	23,4	31,1	21	20,8	29,6	27,6	27,8
1семестр	Уровень неудов	н	н	н	с	с	в	с	в	в	н	с	н	в
2семестр		н	н	н	с	в	с	н	с	н	н	с	с	с

По этим данным составлена таблица частот перехода от одного состояния к другому (таблица 3.5)

 

Таблица 3.5 – Частоты перехода от одного состояния к другому  

 

От состояния	К состоянию						Сумма по строке
	B		C		H
B	0		3		1		4
C	1		2		1		4
H	0		1		4		5

 Тогда матрица переходных вероятностей зависимости результатов второй сессии от успеваемости в первую сессию представлена в таблице 3.6.

 Результаты, представленные в таблице 3.6, наглядно демонстрируют зависимость уровня подготовки различных категорий студентов, зачисленных на первый курс.

 

Таблица 3.6- Матрица переходных вероятностей 1-2 сессия

 

От состояния	К состоянию			Сумма по строке
	B	C	H
B	0	0,75	0,25	1
C	0,25	0,5	0,25	1
H	0	0,2	0,8	1

 

Анализ таблицы 3.6 показал, что с вероятностью равной 0,75 произойдет незначительное улучшение качественной успеваемости во вторую сессию. Частично улучшение ситуации происходит за счет активного отчисления студентов, которые не справились с программой первого семестра.

В случае если студенты успешно  справились с первой сессий (доля неудовлетворительных оценок соответствует низкому уровню) и/или за счет усиления контроля со стороны родителей и деканата смогли адаптироваться в университете, вероятность сохранения высокой  качественной успеваемости за весь первый курс составляет 0,8.

Аналогично построим матрицу  переходных вероятностей зависимости  результатов третьей сессии от успеваемости во вторую сессию и результатов четвертой сессии от успеваемости в третью сессию (таблицы 3.7 - 3.8)

Таблица 3.7 - Матрица переходных вероятностей 2-3 сессия

От состояния	К состоянию			Сумма по строке
	B	C	H
B	1,00	0,00	0,00	1
C	0,83	017	0,00	1
H	0,00	0,83	0,17	1

 

Как показывает анализ таблицы 3.7, высокий уровень неудовлетворительных оценок неизбежно влечет за собой падение успеваемости и в третьей сессии. В свою очередь, поток, который успешно справился со второй сессией, с вероятностью 0.83 незначительно ухудшит свои результаты. Данный факт объясняется, не только структурой учебного плана распределения дисциплин по семестрам, но и субъективными факторами (например, время года).

Таблица 3.8 - Матрица переходных вероятностей 3-4 сессия

 

От состояния	К состоянию			Сумма по строке
	B	C	H
B	0,67	0,17	0,17	1
C	0,17	0,17	0,67	1
H	1,00	0	0	1

 

Анализ таблицы 3.8 показал, что в четвертой сессии наблюдаются  определенные трудности. Так, равновероятно  студенты могут либо незначительно  улучшить свои результаты, либо сохранить  высокий уровень неудовлетворительных оценок.

 

 

 

 

 

Таблица 3.9 - Матрица переходных вероятностей 4-5 сессия

 

От состояния	К состоянию			Сумма по строке
	B	C	H
B	0,17	0,50	0,33	1
C	0,50	0	0,50	1
H	0	0	1,00	1

 
Из таблицы 3.9 видно, что итоги  четвертой сессии определяют результаты пятой сессии. Так студенты, успешно  справившиеся с дисциплинами четвертого семестра, также успешно справятся  с экзаменами за пятый семестр.

Таблица 3.10 - Матрица переходных вероятностей 5-6 сессия

 

От состояния	К состоянию			Сумма по строке
	B	C	H
B	0,50	0,50	0	1
C	0,33	0,67	0	1
H	0,13	0,75	0,13	1

 

Сохранение среднего уровня неудовлетворительных оценок происходит с вероятностью 0,67, при этом практически  не происходит существенного улучшения  результатов в шестом семестре.

Из таблицы 3.11 видно, что  уровень неудовлетворительных оценок на протяжении трех лет определяется уровнем успеваемости на первом курсе.

 

 Таблица 3.11 - Матрица переходных вероятностей 1-6 сессия

От состояния	К состоянию			Сумма по строке
	B	C	H
B	0,50	0,50	0	1
C	0,20	0,80	0	1
H	0	0,75	0,25	1

 

 

Так, сохранение текущего уровня может оказаться равным:

- 0,5 для высокого уровня;

- 0,8 для среднего уровня;

- 0,25 для низкого уровня неудовлетворительных оценок.

При этом улучшить успеваемость смогут студенты со средним (с вероятностью 0,2) или высоким (с вероятностью 0,5) уровнем неудовлетворительных оценок. Существенно улучшить успеваемость (переход от высокого к низкому  уровню) практически невозможно.

Рисунок 3.6 наглядно демонстрирует  данные выводы.

Рисунок 3.6 - Размеченный  граф для перехода первая-шестая сессия Таким образом, недостаточно серьезное  отношение к учебному процессу на первом курсе влечет за собой не только снижение успеваемости студентов  и вероятность потери контингента, но и пробелы в подготовке к  специальным дисциплинам.

Следовательно, опираясь на данные матрицы переходных вероятностей можно регулировать учебный процесс  в сторону улучшения качественной успеваемости за счет контроля за студентами и динамической корректировки календарного плана по проблемным дисциплинам  в зависимости от результатов, которые  показали предшествующие потоки.

 

2. Применение однородных марковских цепей для прогнозирования уровня успеваемости.

 

Из определения матрицы  переходных состояний следует, что составляющие ее элементы условных вероятностей перехода представляют состояние системы в какой-то фиксированный момент, отражающий поведение этой системы за определенный промежуток времени. В данной работе этот период составляет 13 лет.

На основании данных, представленных в таблицах 3.2, рассчитаем прогноз уровня неудовлетворительных оценок.

 

Таблица 3.12 - Расчет предельного  состояния матрицы переходов 1-2 сессия

Шаг прогноза	От состояния	К состоянию			Шаг прогноза	К состоянию
		B	C	H		В	С	H
2	В	0,1875	0,425	0,3875	3	0,1063	0,4306	0,4631
	С	0,125	0,4875	0,3875		0,1219	0,4150	0,4631
	Н	0,05	0,26	0,69		0,0650	0,3055	0,6295
4	В	0,1077	0,3876	0,5047	5	0,0969	0,3755	0,5276
	С	0,1038	0,3915	0,5047		0,0979	0,3745	0,5276
	H	0,0764	0,3274	0,5962		0,0819	0,3402	0,5779
6	B	0,0939	0,3659	0,5402	7	0,0939	0,3614	0,5471
	C	0,0936	0,3662	0,5402		0,0915	0,3614	0,5471
	H	0,0851	0,3471	0,5679		0,0868	0,3509	0,5623
8	B	0,0904	0,3587	0,5509	9	0,0901	0,3573	0,5530
	C	0,0909	0,3588	0,5509		0,0900	0,3573	0,5530
	H	0,0877	0,3530	0,5593		0,0884	0,3541	0,5576
10	B	0,0896	0,3565	0,5541	11	0,0894	0,3561	0,5548
	C	0,0896	0,3565	0,5541		0,0894	0,3561	0,5548
	H	0,0887	0,3548	0,5567		0,0889	0,3551	0,5562
12	B	0,0893	0,3558	0,5551	13	0,0892	0,3557	0,5553
	C	0,0893	0,3558	0,5551		0,0892	0,3557	0,5553
	H	0,0890	0,3553	0,5559		0,0890	0,3554	0,5557
14	B	0,0891	0,3556	0,5554	15	0,0891	0,3556	0,5555
	C	0,0891	0,3556	0,5554		0,0891	0,3556	0,5555
	H	0,0891	0,3555	0,5557		0,0891	0,3556	0,5555