Уравнения, выражения, неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА III.НЕРАВЕНСТВА

3.1 Основное понятие неравенства

 
        Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида

a1x1+ a2x2 +... + anxn * b,

где a1,..., an, b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, <, ≤.

        В  матричной алгебре знак ≥ означает что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ≤ означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. [3]

         Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1]

алгебраические

трансцендентные

        Алгебраические  неравенства подразделяются на  неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство  алгебраическое, второй степени.

Неравенство  - трансцендентное.

3.2 Основные свойства числовых  неравенств. Неравенства содержащие переменную. 

Если a>b , b<a;

Если a>b b>c a>c;

Если a>b a+c>b+c;

Если a+b>c a> c-b;

       Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

       Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;

        Множество  всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x);

        Два  неравенства, содержащие одну и  ту же переменную, называются  равносильными, если они имеют  общее множество решений (множество  решений этих неравенств совпадают);

         Если к обеим частям неравенства  прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;

          Если обе части неравенства  f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x)<0 равносильным данному является неравенство противоположного знака. [12]

         Неравенства с одной переменной. Пусть дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают. [8]

 

3.3 Графическое решение неравенств второй степени

 

          Графиком квадратичной функции y = ах2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом возможны три случая:

Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2].

y = ах2 +bх + с a>0 D>0 y = ах2 +bх + с a<0 D>0, (рис.6)

        Парабола  имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах2 + х + с

 

y = ах2 +bх + с a>0 D=0 y = ах2 +bх + с a<0 D=0, (рис.7)

        Если  d<0 то график квадратного трехчлена f(x) = ах2 +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым. [11]

 

y = ах2 +bх + с a>0 D<0 y = ах2 +bх + с a<0 D<0, (рис.8)

 

4) Решить неравенство  графическим способом

1) 3х2 -4х  ;

3х2-4х .

Пусть f(x) = 3х2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x)  ;

Найдем нули функции.

3х2-4х-7=0,

D=100,

Х=-1 Х=73.(рис.9)

 

f(x)   при х  .

Ответ f(x)   при х  .

х2 >-4x-5;

x2 +4x +5>0;

Пусть f(x)=х2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

X2+4x+5=0,

D=-4 Нет нулей. (рис.10)

 

Ответ  .

 
3.4 Системы неравенств. Неравенства  и системы неравенств с двумя переменными

 

        Множество  решений системы неравенств есть  пересечение множеств решений  входящих в нее неравенств.

         Множество решений неравенства  f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости. [9]

         Множество решений системы неравенств  есть пересечение множеств решений  входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

.

          Для первого неравенства множество  решений есть круг радиусом 2 и  с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

Пример. Решить систему неравенств:

 

 

Решением 1-го неравенства служит множество  , 2-го множество (2;7) и третьего - множество  .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

 

 

3.5  Решение рациональных  неравенств методом интервалов

 

         В основе метода интервалов  лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.

          Пусть требуется решить неравенство (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0, где α1, α2...αn-1, αn — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α1 < α2 <...< αn-1 < αn. Для решения неравенства (x-α1)(x-α2)...(x αn)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α1, α2...αn-1, αn; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа αn, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α1)(x α2)...(x-αn)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α1)(x-α2)...(x αn)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус». [10]

         Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида  P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.

          Поэтому для нахождения промежутков  знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

           Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3.  < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

.

Для функции f(x) =  – 20. Находим f(x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) =  – 20 = 0,3 > 0,

f(5) =  – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

 

х2+х-2

Пусть f(x)=х2+х-2 тогда найдем такие х при которых f(x)<0.

Найдем нули х=1, х=-2.

Вывод: тема "Неравенства" занимает важное место в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем математики . Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

      Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. 

     Тема "Неравенства" занимает важное место в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем математики . Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

     Выражения в математике - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. В курсовой работе мы рассмотрели следующие понятия: математическое выражение, числовое выражение, алгебраические выражения, преобразования выражения. Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется

      Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Знание самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях. В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1.         Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Уч. пос. для уч-ся школ. отд-й пед. уч-щ / Под ред. М.А. Бантовой. -3-е изд., испр. - М.: Просвещение, 2000г. - 335 с. - ил.

2.         Бантова М.А. Методическое пособие к учебнику математики/М.А. Бантова, Т.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001 – 64 с.

3.         Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. "Задачи по математике. Уравнения и неравенства" М.: Изд. "Наука" 2004 г.

4.         Давыдов В.В., С.Ф. Горбов и др. Обучение математике. – М.: Мирос, 2003. 192 с.

5.         Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Академия, 2000. – 288 с.

6.         Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений и неравенств: Пос. для учит-й. - М.: Просвещение, 2001 г. -68 с.

7.         Левитас Г.Г. Современный урок математики. Методика преподавания. ПТУ-М.: Высшая школа, 2001. -88 с. - ил.

8.         Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Уч. пос. для студ. пед. инст-в по спец.2104 "Математика" и 2105 "Физика"/ А. Блох, Е.С. Канин и др. Сост.Е.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 2005. -336 с.

9.         Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пос. для студ. пед. инст-в по физ-мат. спец-м/ А. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост.В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 2000. -416 с.: ил.

10.      Методика преподавания математики в средней школе. /В.А. Ованесян и др. М: Просвещение, 2006. – 368 с.

11.      Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. - М.: МГУ, 2001 г.

12.      Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств. М.: Аквариум, 2003 г.

13. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.,2005.

– 350 с.

 

14. Коровкин П. П. Неравенства. М., 2002. – 56 с.

 

15. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства).

М.,2000 г., 432 с.

 

16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2

М., 2001 г., 800с