Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

 

Рисунок 16. Значение интеграла найденного по методу Монте-Карло

 

 

Сравнив полученное значение с точным, можно определить погрешность вычисления (рисунок 17):

 

Рисунок 15. Разность между точным и случайным значением интеграла

 

2.2 Вычисление определённых интегралов с помощью табличного процессора MS Office Excel 2007

 

Одной  из программ пакета Microsoft Office является Microsoft Excel. Она представляет собой программируемый табличный калькулятор, с помощью которых, также задавая входные данные, можно решить значительное число математических задач [16].

 

Реализовать нахождение интеграла, используя формулы методов левых, правых и средних прямоугольников при n=10.

 

Найдём значение интеграла заданной функции для  использования его в дальнейшем решении для сравнения:

 

 

Для нахождения определённого интеграла методом левых и правых прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции, с входными параметрами которыми являются: a, b – левая и правая границы интервала, n – количество разбиений,  h – шаг интегрирования (рисунок 16).

 

Рисунок 16. Входные данные для метода «левых» и «правых» прямоугольников

 

Далее вводим в ячейку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - y₀,...,y_(n-1) (для левых) и D6 – y₁,y_n (для правых). Точки разбиения на отрезке [0;3,2], определяем по формуле =B7+$B$4, и копируем эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17 (рисунок 17).

 

 

Рисунок 17. Нахождения точек разбиения на отрезке

 

Следующим действием  определим значения подынтегральной функции в точках деления отрезка: в ячейку C7 вводим формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), автозаполнением копируем эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C8:C16. аналогично в ячейку D8 вводим формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), также копируемэту формулу методом протягивания в D9:D17 (рисунок 18).

 

Рисунок18. Вычисления значений подынтегральной функции метода «левых» и  «правых» прямоугольников  в точках деления отрезка

 

Чтобы вычислить  интеграл по формуле (4) метода «левых» прямоугольников,   в ячейку C18 записываем формулу =СУММ (C7:C16), а вводим в ячейку C19 формулу =B4*C18 (рисунок 19).

 

Рисунок19. Вычисление интеграла по формуле «левых» прямоугольников

 

 

Чтобы вычислить  интеграл по формуле (5) метода «правых» прямоугольников,   в ячейку D18 записываем формулу =СУММ (D7:D17), а в ячейку D19 формулу =B4*D18 (рисунок 20).

 

Рисунок 20. Вычисление интеграла по формуле «правых» прямоугольников

 

 

Для нахождения определённого интеграла методом средних прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции, с входными параметрами которой является: a,b – левая и правая границы интервала, n - количество разбиений,  h - шаг интегрирования. Далее аналогично вводим в ячейку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - x_i+h/2, а в D6 f(x_i+h/2) (рисунок 21) [14].

 

Рисунок 21. Входные данные для метода «средних» прямоугольников

 

Находим точки разбиения отрезка [0;3,2], для этого вводим в ячейку С7 формулу =B7+$B$4/2, и копируем эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек С8:С16 (рисунок 22).

 

Рисунок 22. Нахождения точек разбиения на отрезке

 

Определим значения подынтегральной функции в точках деления отрезка: в ячейку D7 вводим формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), автозаполнением копируем эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D8:D16 (рисунок 23).

 

Рисунок 23. Вычисления значений подынтегральной функции «средних» прямоугольников  в точках деления отрезка

 

Для вычисления интеграла по формуле (6) «средних» прямоугольников,   в ячейку D18 записываем формулу =СУММ(D7:D17), в ячейку D19 формулу =B4*D18 (рисунок 24).

Рисунок 24. Вычисление интеграла по формуле метода «средних» прямоугольников

 

 

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что в данном случае формула средних прямоугольников является более точной, чем формулы правых и левых прямоугольников.

 

 

Метод трапеций

 

Найти  интеграл, используя метод трапеций, при n=10.

Найдём значение интеграла заданной функции для  использования его в дальнейшем решении для сравнения:

 

 

Для нахождения определенного интеграла методом трапеций, как и в случае использования метода прямоугольников, вводим значения подынтегральной функции (рисунок 25).

Рисунок 25. Входные данные для метода трапеций

 

Далее вводим в ячейку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - y₀,y₁ и D6 – y₁,…,y_n-1 Точки разбиения на отрезке [0,4;1.2], определяем по формуле =B7+$B$4, и копируем эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17. Дальше определяем значения подынтегральной функции в точках деления отрезка: в ячейки C7 и в С17 вводим формулу =COSB7/(B7+2). Аналогичную формулу вводим в ячейку D8 и протягиваем её до ячейки D16 (рисунок 26)

 

Рисунок 26. Вычисления значений подынтегральной функции метода трапеций  в точках деления отрезка

 

Для вычисления интеграла по формуле (8) трапеций в ячейку C12 записываем формулу =СУММ (C7:C11), D12= СУММ (D8:D10), в ячейку D19 формулу =B4*((C12/2) + D12) (рисунок 27).

Рисунок 27. Вычисление интеграла по формуле трапеций

 

Таким образом:

 

 

Реализация  вычисления интеграла по формуле Симпсона (по трем точкам)

 

Найдем значение  интеграла, используя метод, при n=8.

Значение интеграла заданной функции для использования его в дальнейшем решении для сравнения равно:

 

 

Для нахождения определенного интеграла методом Симпсона, также вводим значения подынтегральной функции (рисунок 28).

 

Рисунок 28. Входные данные для метода Симпсона

 

Далее вводим в ячейку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - y₀,y_n , в D6 – y₁y₃,y₅,y₇ и в Е7-y₂,y₄,y₆. Точки разбиения на отрезке [1.2;1.6], определяем по формуле =B7+$B$4, и копируем эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B11.

Теперь определяем значения подынтегральной функции в точках y₁,y_n : в ячейку C7 и в С15 вводим формулу =(SIN(2*B7-2,1))/(B7^2+1) (рисунок29).

 

Рисунок 29. Вычисления значений подынтегральной функции метода Симпсона в точках y₀,y_n

 

Затем  определяем значения подынтегральной функции в точках y₁y₃,y₅,y₇ в ячейки C8,С10,С12,С14 и в С15 вводим ту же формулу =(SIN(2*B7-2,1))/(B7^2+1) и по такой же формуле в ячейках Е9,Е11,Е13 находим значения в точках y₂,y₄,y₆ (рисунок 30).

 

Рисунок 30. Вычисления значений подынтегральной функции метода Симпсона  в точках – y₁y₃,y₅,y₇ и y₂,y₄,y₆

 

Для того чтобы вычислить  интеграл по методу Симпсона через три точки в ячейку C12 записываем формулу сумму С7 и С15, в D12 – сумму (D8,D10,,12,14), в ячейку E12 - сумму E9,E11,E13. И в ячейку В19 записываем конечную формулу нахождения интеграла =(B4/3)*(C16+4*D16+2*E16) (рисунок 31).

 

Рисунок 32. Вычисление интеграла по формуле Симпсона

 

 

 

2.3 Сравнительный анализ  вычисления определенных интегралов  в Mathcad14  и MS Office Excel 2007

 

Mathcad14	MS Office Excel 2007
Так как среда  выводит только конечный результат, промежуточные вычисления не видны.	Имеется возможность  вывода всех промежуточных вычислений.
Имеет возможность  оценить погрешность формул  интегрирования, так как присутствует оператор символьного  дифференцирования.	Не имеется  возможности оценить погрешность формул  интегрирования, так как нет операции символьного дифференцирования.
Дороговизна и  малая распространённость лицензионной версии программы.	Лицензионная  версия MS Office Excel имеется практически на каждом компьютере.
При изменении  исходных данных нет необходимости изменять сами программные блоки.	При изменении  исходных данных необходимо изменить формулы в достаточно большом  количестве ячеек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В процессе изучения точных и приближенных методов вычисления определенных интегралов происходит закрепление основ математического анализа. Приобретенные знания используются в дальнейшем при изучении специальных дисциплин.

В результате исследования курсовой работы, поставленные задачи достигнуты, получены следующие результаты и выводы, а именно:

• были рассмотрены основные положения, связанные с изучением определённого интеграла;
• изучены точные и приближенные методы его вычисления;
• была воспроизведена оценка погрешности приближенных методов;
• приближенное вычисление определенных интегралов были получены с использованием прикладных программ MS Excel 2007 и Mathcad 14.

Таким образом, цель курсовой работы была достигнута, все поставленные задачи решены.

Данная работа спланирована таким образом, чтобы изложенные в ней аспекты представляли собой интересный и освобожденный от излишних трудностей для учащихся материал. Работа может быть использована в качестве учебно-методического пособия по теме «Численное интегрирование» при изучении дисциплины «Численные методы» для студентов математических специальностей среднетехнических и высших учебных заведений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.1 часть.– М.: Рольф, 2002. – 228 с.
2. К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 3 издание, М.:Айрис-пресс, 2003. –576 с.
3. Калиткин Н.Н. «Численные методы». М.: Наука, 1988 – 512 с.
4. Петрова К.В. Методы вычислений. http://www.google.ru/school-collection.edu.ru/catalog/res/53bcd17e-1e46-9cb8.../view/ (актуальная дата 12.02) 
5. Воробьева, А.Н. Данилова Практикум по вычислительной математике. Издатель: Высшая школа 1990.
6. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. – М.: «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).                                                                                                                                                 
8. Бахвалов Н.С. Численные методы – М.: Наука, 1987 – 598 с.
9. Корнюшин П.Н. Численные методы. Издательство: Владивосток 2002.
10. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8.0 PRO в математике, в физике и в Internet.- М.: Нолидж.1999.- 336 с
11. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. – М.: Изд-во Наука, 1987. – 248 с.
12. Марон, И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах  И.А.Марон. – М.: Изд-во Наука, 1973. – 400 с.
13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II. (§§ 332, 335).
14. Плис, А.И. Лабораторный практикум по высшей математике М.: Изд-во Высшая школа, 1994. – 416 с.
15. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
16. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. Практикум – СПб.: Питер, 2003