Сущность матрицы

                                  

                           Содержание

 

 

1. Введение…………………………………………………………..3

2. Понятие матрицы………………………………………………4

3.  Понятие определителя матрицы………………………6

4. Заключение………………………………………………………..7

5.  Используемая литература………………………………….8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Введение 

 

Большинство не знают  теоретического понятие матрицы, её сущность и составляющую. Но еще больше людей не знают, как применять матричный метод при решении экономических задач. Меня заинтересовала эта тема, поэтому я решила посвятить свою работу данному вопросу и поподробнее разобрать теоретическое основание.

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается  еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков. С развитием  теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы. В этот же период появился и "метод Гаусса", применяемый для решения СЛАУ и основанный на последовательном исключении неизвестных.

Как отдельная теория, теория матриц получила свое активное развитие в середине 19 века в работах ирландского  математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 - 1865) и английского математика Артура Кэли (1821 - 1895). Фундаментальные  результаты в теории матриц принадлежат также немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815 - 1897), Фердинанду Георгу Фробениусу (1849 - 1917) и французскому математику Мари Энмону Камиль Жордану (1838 - 1922). Современное название "матрица" было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814 - 1897) в 1850 году.

Современному  экономисту необходима серьёзная математическая подготовка — это положение общепризнано. К числу наиболее важных для экономистов  областей математики относится статистика. В свою очередь статистические технологии полностью базируются на матричной алгебре, математической дисциплине, посвященной правилам действий над матрицами.

Применение  матриц не только позволяет продуктивно  формализовать поставленную проблему, но также использовать в расчётах многие достижения матричной алгебры. С помощью использования матрицы  легко записывать  некоторые экономические зависимости. Так же следует отметить, что практически все многомерные методы статистического анализа можно детально изучить с помощью аппарата матричной алгебры. Типичным примером этого может служить регрессионный анализ. На этой же базе развиты и такие методы, как дискриминантный анализ, метод канонических корреляций и т.д.

При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решения систем линейных алгебраических уравнений. А так же для компактной записи самих систем линейных алгебраических уравнений или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение системы линейных алгебраических уравнений к операциям над матрицами. Для изучения методов решения систем уравнений введем понятия матриц и определителей.

Теоретическое понятие матрицы

Матрицей называется объект, записываемый в прямоугольной таблице размером  , в ячейках которой расположены элементы произвольного заранее выбранного (основного) поля (в наиболее общем случае — ассоциативного кольца) — это могут быть целые, вещественные или комплексные числа, векторы, рациональные функции — в зависимости от приложений и задач.

 

   Для матриц используется также сокращённая запись  , но обычно с матрицами оперируют как с едиными объектами и для них характерны   следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую   столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую   строк);
• в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);
• умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр)

Другие операции над матрицами —транспонирование (замена строк на столбцы) и псевдообращение (обобщение обращения квадратных матриц). Матрицы размера   и   называются вектор-строка и вектор-столбец соответственно.

Относительно сложения матрицы  образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому  линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно  сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.^[2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать  о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.

   Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной, в зависимости от содержания они могут быть:

- диагональными (все элементы — нули основного поля, кроме диагональных);

-единичными (все диагональные элементы равны единице основного поля, а остальные — нулю); 

-симметричными (все элементы симметричны относительно главной диагонали); 

- кососимметричными (квадратная матрица А над полем k характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:

где   — транспонированная матрица.

Для n×n матрицы A это соотношение эквивалентно:

 для всех  ,

где   — элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы A.);

- треугольными (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю); 

-ортогональными ( квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

).

Cреди квадратных матриц вводится отношение подобия- 

( ), где   — матрица, обратная  ), такие характеристики матриц, как ранг (максимальное количество линейно независимых строк или столбцов) и характеристический многочлен инвариантны относительно подобия. Также одинаковы для подобных прямоугольных матриц такие характеристики, как след (взятие суммы элементов главной диагонали) и определитель .

  Понятие определителя матрицы

Определителем матрицы или же по- другому «Детерминант» [determinant] научно принято называть число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A): det A. Напр., определитель (второго порядка) матрицы

обозначается

и вычисляется следующим  образом:

det A = a₁₁a₂₂ — a₁₂a₂₁.

В общем случае (для квадратной матрицы порядка n) из элементов матрицы A сначала составляют все возможные произведения из n сомножителей каждое, содержащие по одному элементу из каждой строки и по одному элементу из каждого столбца, затем эти произведения складываются по определенному правилу.

Определитель матрицы, в  которой вычеркнуты произвольная строка (напр. i-я), и произвольный столбец (напр. j-й), называется минором. Он имеет (n – 1)-й порядок, т. е. порядок на 1 меньше, нежели исходный определитель.

Определители используются при обращении матриц (см. также Алгебраическое дополнение), при решении систем линейных уравнений, в частности при решении задач межотраслевого баланса.

 

 

Заключение

 

 

Подробней познакомившись с  теорией, связанной с матричной  математикой, а в частности охватывающей два её основных понятия: матрица  и матричный определитель - уже с полной уверенностью можно утверждать, что применение матричной математики охватывает далеко не только экономическую сферу, но так же и ряд других, не менее значимых сфер человеческой деятельности. Весь рассмотренный материал является обязательным к изучению будущих профессионалов, чей вид деятельности будет непременно пересекаться с вычислениями и анализом задач, решаемых только посредством матричного вычисления.

 Уместно утверждать, что сама суть матричной математики, включающая в себя все свойства матриц, их значения, формы и операции, проводимые над ними, заключается непосредственно в теории. Следовательно, без подробного разбора самой теории, считается невозможным прокладывать путь к практическому выполнению заданий данного типа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

 

 

1.   Сирл С., Госман У.  « Матричная алгебра в экономике»  1974

2.    Н.С.Коваленко, Т.И.Чепелева «Высшая математика» 2006

3.     О. Н. Салманов  «Математическая экономика с применением Mathcad и Excel» 2003

4.   Мицель. А «Математическая экономика» 2006

5.  Кремер Н. Ш., Путко Б.А., Тришин И. М. «Высшая математика для экономических специальностей»  2009