Сопротивление различным видам деформаций

Сопротивление стержня различным  видам деформации часто зависит  не только от его материалов и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений бруса, определяющие сопротивление различным видам  деформаций.

Статические моменты площади. Центр  тяжести площади.

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными  осями  и (рис. 2.1). Выделим элемент площади с координатами , . По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражения и для момента площади, которое называется моментом площади. Так, произведение элемента площади на расстояние от оси .

 (2.1)

называется статическим моментом элемента площади относительно оси  .

Рис. 2.1

Аналогично:

 (2.2)

 

Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим  соответственно статические моменты  относительно осей и :

;   (2.3)

 

Пусть , - координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодействующей можно написать следующие выражения:

   (2.4)

 

где - площадь фигуры. Очевидно, что статические моменты площади относительно осей проходящих через центр тяжести (центральных осей) равны нулю.

Координаты центра тяжести:

  . (2.5)

В качестве примера вычислим статический  момент треугольника (рис. 2.2) относительно оси, проходящей через основание. На расстоянии от нее выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси . Площадь полоски

.

Учитывая, что

,

имеем

.

 

Рис. 2.2

Еще проще решить эту задачу, пользуясь  формулой (2.4).

Учитывая, что

;  ,

статический момент

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые  части (рис. 2.3), для каждой из которых  известна площадь  и положение центра тяжести и . Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

Рис. 2.3

 (2.6)

По формулам (2.5) и (2.6) легко найти  координаты центра тяжести сложной  фигуры:

;   (2.7)

Моменты инерции плоски фигур

Осевым, или экваториальным, моментом инерции площади фигуры называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты расстояний от рассматриваемой оси

   (2.8)

Рис. 2.4

 

Полярным моментом инерции площади  фигуры относительно данной точки (полюса ) называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний от полюса:

 (2.9)

Если через полюс проведена  система взаимно перпендикулярных осей и , то . Из выражения (2.9) имеем

 (2.10)

Отметим, что величины осевых и  полярных моментов инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции  называют интеграл произведений площадей элементарных площадок на их расстояния от координатных осей и :

 (2.11)

В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может  быть положительным или отрицательным. Очевидно, что, постепенно поворачивая  оси, можно найти такое их положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси  называют главными осями инерции.

Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями.

Моменты инерций сложных сечений.

В расчетной практике часто приходится вычислять моменты инерции сложных  сечений относительно различных  осей, лежащих в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений стержней моменты инерции относительно различных осей даны в сортаменте.

При вычислении нестандартных сложных  сечений последние можно разбить  на отдельные простые части, моменты  которых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует, что  момент инерции сложной фигуры равен  сумме моментов инерции составных  ее частей.

Если в сечении есть отверстие, его обычно удобно считать частью фигуры с отрицательной площадью.

Моменты инерций относительно параллельных осей.

Пусть известны моменты инерции  фигуры относительно центральных осей и :

; ;  (2.12)

Требуется определить моменты инерции  относительно осей, параллельных центральным (рис 2.5).

Рис. 2.5

; ;  (2.13)

Координаты любой точки в  новой системе  можно выразить через координаты в старых осях так:

; 

Подставим эти значения в формулы (2.13) и интегрируем почленно:

 (2.14)

 (2.15)

 (2.16)

Так как интегралы  и равны нулю как статические моменты относительно центральных осей, то формулы (2.14) - (2.16) принимают вид

;

; (2.17)

Зависимости между моментами инерции  при повороте координатных осей.

Пусть известны моменты инерции  произвольной фигуры (рис. 2. 6) относительно координатных осей , :

; ;  (2.18)

Повернем оси  , на угол против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.

Рис. 2.6

Найдем теперь моменты инерции  сечения относительно повернутых осей , :

; ;  (2.19)

Координаты произвольной элементарной площадки в новой системе  выражаются через координаты , прежней системы следующим образом:

 (2.20)

 (2.21)

Подставив эти выражения в (2.19) окончательно получим:

 (2.22)

 (2.23)

 (2.24)

Складывая почленно формулы (2.22),(2.23), находим

 (2.25)

При повороте прямоугольных осей сумма  моментов инерции не изменяется и  равна полярному моменту инерции  относительно начала координат.

Определение направления главных  осей. Главные моменты инерции.

Наиболее практическое значение имеют  главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами и .

Чтобы определить положение главных  центральных осей несимметричной фигуры, повернем произвольную начальную систему  центральных осей , (рис 2.7) на некоторый угол при котором центробежный момент инерции становится равным нулю:

 (2.26)

 

Рис. 2.7

Согласно формулы (2.24)

, (2.27)

откуда

. (2.28)

Полученные из формулы (2.28) два значения угла отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как легко видеть, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает π/4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой . На рис (2.8) приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами и .

Рис. 2.8

Значения главных моментов инерции  можно определить из следующих выражений:

; (2.29)

 

, (2.30)

Причем верхние знаки следует  брать при  > , а нижние – при < .

Понятие о радиусе инерции

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить  в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции.

 (2.31)

где - радиус инерции относительно оси .

Из выражения (2.31) следует, что

 (2.32)

Аналогично радиус инерции площади  сечения относительно оси 

 (2.33)

Главным центральным осям инерции  соответствуют главные радиусы  инерции

   (2.34)