Синтез моделей оптимальных фазовых систем с помощью первых интегралов

Синтез моделей оптимальных фазовых систем с помощью первых интегралов

 

В данной статье рассматривается задача оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. К таким задачам приводят многие прикладные задачи, в частности, задачи оптимизации многомерных фазовых систем др. Выдающуюся роль в развитии теории оптимального управления сыграл академик Л.С.Понтрягин, который сформулировал необходимые условия оптимальности, известные под названием принципа максимума [1]. Этот фундаментальный результат составил математическую основу теории оптимального управления.

  В данной работе рассмотрен вопрос синтеза систем управления для нелинейных систем с помощью первых интегралов при наличии ограничений на управления. Аналогичная задача при отсутствии ограничений на управления рассмотрена в работе [2].

Рассмотрим позиционную модель электроэнергетической системы, описываемой дифференциальными уравнениями вида (3) с начальными условиями (5).

Одной из математических моделей, которая описывает переходные процессы в электрической системе, является следующая система:

 

 (1)

 

где - угол поворота ротора - го генератора относительно некоторой синхронной оси вращения (ось вращения шин постоянного напряжения, она совершает 50 об/сек); - скольжение - го генератора; - постоянная инерции - й машины; - механические мощности, которые подводятся к генератору; - ЭДС - й машины; - взаимная проводимость -й и - й ветвей системы; - напряжение на шинах постоянного напряжения; - характеризует связь (проводимость) - го генератора с шинами постоянного напряжения; - механическое демпфирование - постоянные величины, учитывающие влияние активных сопротивлений в статорных цепях генераторов. Сложность анализа модели (1) заключается в учете , обладающих следующим свойством: . Так как при этом , то модель (1) не является консервативной; не удается построить для нее функции Ляпунова в форме первого интеграла. Систему (1) принято называть позиционной моделью и она относится к классу неконсервативных систем.

В качестве синтезирующей (управляющей) функции для данной системы возьмем непосредственно мощности турбин. Пусть переменные состояния и управление в установившемся после аварийном режиме имеют следующие значения:

 

               (2)

 

Чтобы получить систему возмущенного движения, переходим к уравнениям в отклонениях, полагая

 

 

Далее, для удобства , , заново обозначим через , , и воспользуясь формулой

 

,

 

из системы (1) получим

 

           (3)

 

где

 

 

Функции удовлетворяют условию интегрируемости

 

              (4)

- длительность переходного процесса, считается известной.

Заданные начальные условия

 

            (5)

 

а заранее неизвестно.

Кусочно-непрерывные скалярные функции управления , удовлетворяют ограничениям:

 

           (6)

 

Пусть скалярная функция - первый интеграл системы

 

                               (7)

 

Тогда согласно результатам [3] нетрудно убедиться в том, что

 

 (8)

 

причем частные производные

 

         (9)

 

Определим теперь функционал Больца:

 

   (10)

 

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Для электроэнергетической системы (3), (6) управление вида

        (11)

 

представляет абсолютный минимум функционалу Больца

 

  (12)

 

Доказательство.     В силу выбора функции в виде (8) имеем

 

     (13)

 

Интегрируя (13) по в пределах от 0 до получим, что

 

     (14)

 

Используя (14) из соотношения (10), получим

 

 

Отсюда при оптимальных управлениях (11) нетрудно получить соотношения (12). Теорема доказана.

Вывод. Осуществлен синтез оптимальных систем управления для нелинейных нестационарных систем с помощью первых интегралов при наличии ограничений на управления. Рассмотрена задача оптимального управления электроэнергетическими системами со многими генераторами с ограниченными управляющими воздействиями.

 

Литература

 

1.   Понтрягин Л.С., Болтянский Б.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1976. – 392 с.  

2.  Бербюк В.Е. Использование первых интегралов в задачах синтеза оптимальных систем управления // ПММ. – 1986. – Т.50, вып. I.- С. 17-23.

3.    Калимолдаев М.Н. Устойчивость и математическое моделирование нелинейных многомерных фазовых систем: Дисс….д.физ.-мат.наук. – Бишкек: 2000. – с. 100-124.