Свойства определённого интеграла

                                       

 Выполнила студентка 1 курса, группы 13-ээ-2 Воронцова Анастасия                                                            

                                                          Лекция №14

а,b-пределы интегрирования

Сумма называется интегральной суммой Римана

Если для функции  на существует конечное значение , то эта функция  называется интегрируемой по Риману.

Теорема (существования определённого интеграла):

       Если функция –непрерывна на , то она интегрируема по Риману на этом отрезке.

      Определение определённого интеграла показывает, что  есть некоторое число , которое зависит от  вида подынтегральной функции  и от пределов интегрирования  a и b.

      С геометрической точки зрения    от неотрицательной и непрерывной  функции  численно равен площади  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью Ох и прямыми х=а и х=b (рис.6.2)

Sкрив.трап.=

 

 

§2.Свойства определённого интеграла.

1.

2.

3.

     Следствие:

4. Если , то

     Следствие: Если

 

 

5. Если

     Замечание: Это свойство остаётся справедливым и для случая, если

§3.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

      Из геометрического смысла и свойств определённого интеграла следуют следующие способы вычисления площадей плоских фигур:

 

 

 

 

 

 

2. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§4.Теорема о среднем.

Теорема: Определённый интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка     интегрирования на значение подынтегральной функции в некотором промежуточном значении аргумента, т.е.

                                                                        Доказательство:

         По теореме Вейерштрасса непрерывная функция на достигает наименьшего m и наибольшего М значений. Тогда на выполняется        (1)

         Пусть а<b , проинтегрируем неравенство (1):

               (2)

         (3)

                               (4)

        Обозначим , тогда  По теореме Коши о свойствах непрерывной функции  на отрезке, существует точка такая, что

                                                    Следовательно       (5)

        Из формулы  (5) следует, что Теорема доказана.

                                                              

Замечание: называется средним значением функции на отрезке

Геометрический смысл теоремы: Пусть По теореме о среднем найдётся такая точка q, из , что площадь под кривой равна площади прямоугольника со сторонами

 

 

 

 

 

§5.Связь между определённым и неопределённым интегралами.Теорема Бароу.

Рассмотрим функцию - непрерывную на (рис.6.3)

                                                                         

                                                                           Пусть , обозначим через площадь   заштрихованной криволинейной трапеции:

 

Если х  изменяется, то будет изменяться и площадь трапеции Следовательно - функция от переменной x. Эта функция обладает свойством, что =.Этот факт доказывается в следующей теореме:

 

 

Теорема Бароу: Если – непрерывна на, то(

                                                                     Доказательство:

      Докажем, что .

      По определению производной:

 

К интегралу применена теорема о среднем, где в следующем переходе при . Теорема доказана.

§6.Формула Ньютона-Лейбница.

       Пусть требуется вычислить . Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом:

 

По теореме Это означает, что является первообразной для . Пусть ещё одна первообразная этой функции, тогда по теореме о двух первообразных (1), где  .

Следовательно:    (2).

Положим в равенстве (2) x=a, тогда    (3), где

Следовательно, . Подставим полученное значение в равенство (2):    (4)

Пусть x=b в равенстве (4) , тогда   (5)

         Формула , где -первообразная функции , называется формулой Ньютона-Лейбница.

§7.Несобственные интегралы.

В определённом  интеграле мы предполагали, что :

1.  пределы интегрирования a  и b – конечны (числа);

2.  подынтегральная функция непрерывна на .

        Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то интеграл  называется несобственным. Если нарушается условие 1, то интеграл называется несобственным первого рода, если нарушается 2 условие, то интеграл называется несобственным второго рода.

Например: - несобственный интеграл I рода

                     – несобственный интеграл II  рода.

Несобственные интегралы первого рода вычисляются следующим образом: