Решение систем линейных уравнений, векторная алгебра

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Января 2014 в 19:01, контрольная работа

Краткое описание

ешить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
x1 - x2 + x3=6
x1 - 2x2 + x3=9
x1 - 4x2 -2x3=3

Вложенные файлы: 1 файл

Высшая математика контрольная работа №1.docx

— 112.13 Кб (Скачать файл)

МИНИСТЕРСВТО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«ВЯТСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СОЦИАЛЬНО – ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА…

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

по  дисциплине «Высшая математика»

На  тему

«Решение  систем линейных уравнений, векторная  алгебра»

 

 

 

 

 

 

 

 

Разработал студент гр…

 

/Лийман С.В./

 

(подпись)

 

Руководитель ст. преподаватель

 

/Сошникова Е.М./

 

(подпись)

 

Проект защищен с оценкой

 

«__»________2014 г.

Члены комиссии

 

/________________/

 

(подпись)

 
   

/________________/

 

(подпись)

 

 

 

Киров 2014

 

Система линейных алгебраических уравнений.

 

Задание:

  1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

x1 - x2 +  x3=6

x1 - 2x2 +  x3=9

x1 - 4x2 -2x3=3

 

Решение:

 

Перепишем систему уравнений в матричный вид

 

 

Находим ее определитель по формуле

 

                                                            

 

 

 

 

Так как определитель основной матрицы отличен от нуля, то данная система линейных уравнений имеет единственное решение.

Находим определители , , ,

 

=

 

 

=

=

 

=

=

 

Таким образом

 

 

 

Ответ: , , .

 

Задание:

  1. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

2x1 - x2 - x3=4

3x1 + 4x2 -2x3=1

3x1 - 2x2 + 4x3=1

 

Решение:

 

В матричной форме система уравнений может быть записана в виде , где

 

     

 

 

Найдём определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом.

Имеем

 

 

 

 

Следовательно, для матрицы  А может быть найдена обратная матрица А-1 . Таким образом, если мы найдем обратную матрицу, то искомое решение определим как .

Итак, необходимо найти обратную матрицу .

 

 Обратная матрица  может быть найдена как 

, где  - алгебраические дополнения элементов

Найдём алгебраические дополнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Находим решение:

 

 

Ответ: , , .

 

 

Задание:

  1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

x1 + 2x2 - 3x3- 4x4=4

2x1 + 3x2 - 4x3- 5x4=4

3x1 + x2 - 2x3- 2x4=2

4x1 + 3x2 - 4x3- 6x4=3

 

Решение:

Перепишем систему уравнений  в матричном виде и решим ее методом Гаусса:

 

От 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 1; 4

2 строку делим на (-1):

От 1, 3, 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную на 2, (-1), (-5)

3 строку делим на (-1):

От 1, 2, 4 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1, (-2), (-2)

4 строку делим на (-3)

От 1, 2, 3 строк отнимаем 4 строку, умноженную на 1, (-1), 1:

Ответ: x1=-1, x2=-1, x3=-1, x4=-1.

 

Векторная алгебра.

 

Задание

  1. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

А1= (-7; 5, 19), А2= (-5, 7, -7), А3= (-8, 7, 14)

 

Решение:

Три вектора А1, А2, А3 пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю.

 

Находим определитель из координат выше указанных векторов А1, А2, А3:

 

 

 

Ответ: Данная система является линейно зависимой.

Задание:

  1. Выяснить, что векторы А1, А2, А3 образуют базис, и разложить по этому базису вектор       В (3, -3, -4)

А1 (3, 0, 2) А2 (1, -1, -2) А3(2, 1, 2)

Решение:

Вычисляем определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов А1, А2, А3:

 

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трём и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы А1, А2, А3 линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства.

Пусть x1, x2, x3 — координаты вектора В в базисе А1, А2, А3, тогда, согласно теореме о разложении вектора по базису в пространстве, имеем:

 

Решим систему  уравнений методом Крамера:

 

=

 

 

=

 

=

=

 

 

Значит:     

Ответ:

 

Задание:

  1. Найти косинус угла между векторами a и b:

a= (2, -4, 4) b=(-3, 2, 6)

 

Решение:

Углом между  двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть  один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с  другим вектором.

Угол между  двумя векторами a и b можно найти, использовав следующую формулу:

Найдем  скалярное произведение векторов a и b:

 

Найдем  длины векторов:

= = =6

= = =7

 

Найдем  угол между векторами:

=

 

Ответ: cosα 0,238095.

 

Задание:

  1. Вычислить скалярное произведение векторов:

a= (3, -2, 4) b=(1, -2, 5)

 

Решение:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет  скаляр, величина которого равна сумме  попарного произведения координат  векторов a и b.

Ответ:

 

Задание:

  1. Вычислить внутренние углы треугольника ABC:

A (1, 2, 1) B (3, -1, 7) C(7, 4, -2)

 

Решение:

Углом между  двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть  один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с  другим вектором.

Угол между  двумя векторами a и b можно найти, использовав следующую формулу:

Найдем  скалярное произведение векторов a и b:

Найдем  длины векторов:

= =

= =

Найдем  угол между векторами a и b:

=

 

Найдем  скалярное произведение векторов b и c:

Найдем  длины векторов:

= =

= =

Найдем  угол между векторами a и b:

=

 

Найдем  скалярное произведение векторов a и c:

Найдем  длины векторов:

= =

= =

Найдем  угол между векторами a и b:

=

Ответ: ; ;

 

 

Задание:

  1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a=(-4, 1, 2) и b=(5, -1, 1):

A (1, 2, 1) B (3, -1, 7) C(7, 4, -2)

 

Решение:

Площадь параллелограмма образованного  векторами a и b равна модулю векторного произведения этих векторов:

 

S = |a × b|

 

Ответ: S= .


Информация о работе Решение систем линейных уравнений, векторная алгебра