Рекуррентные модели динамики финансовых ресурсов

Рекуррентные  модели динамики финансовых ресурсов

Основной целью  данного реферата является развитие модели финансовой фирмы в направлении  учета фактора времени и исследование тех изменений, которые вносят в стратегию привлечения средств связующие ограничения на ресурсы системы для смежных этапов ее функционирования. При переходе к рекуррентной динамической модели сразу следует отметить, что прибыль, получаемая фирмой на отдельных этапах, не может быть единственным оценочным показателем ее деятельности — помимо нее необходимо учитывать также и такие характеристики, как величина собственных средств (капитала) фирмы, темпы его изменения и т. п.

Введем обозначения:

t — индекс периода ( t1: T);

q_t — объем собственных средств фирмы в t-м периоде;

x_t — объем привлеченных средств в t-м периоде;

υ — усредненная норма затрат на единицу привлеченных средств;

и — усредненная норма дохода на единицу используемых средств;

   θ — доля собственных средств, превращаемых в активы, т. е. используемых для получения дохода.

Тогда

υ· х_t — затраты на привлечение средств в t-м периоде;

и · (θ • q_t-1 + x_t) — доход t-гo периода,

и величина собственных  средств определяется рекуррентным соотношением

q_t+1=q_t + u·(θ - q_t + x_t+1) - υ · x_t .          (1)

Описанная модель основана на следующих существенных допущениях, значительно упрощающих реальную ситуацию:

• предполагается неизменность норм и, υ, θ для всех периодов t, что обусловливает возможность непосредственного использования данной модели для относительно непродолжительных временных периодов;
• предполагается, что изменения объемов привлеченных и применяемых средств, а также расходы и получение дохода происходят дискретно.

Однако, несмотря на эти упрощения, данная модель может быть эффективно использрвана для анализа принципиальных зависимостей динамики показателей состояния финансовой фирмы от норм затрат на привлечение средств и дохода от активов.

Соотношение (1) с математической точки зрения является линейным разностным уравнением, для решения которого может быть, в частности, применено z - преобразование. Аппарат интегральных и дискретных преобразований основан на связывании однозначной функции комплексной переменной (изображения) с соответствующей функцией действительной переменной (оригиналом). Для многих практически значимых ситуаций это позволяет операции над оригиналами заменить более простыми операциями над изображениями, что широко используется при решении дифференциальных и интегральных уравнений (интегральные преобразования) и в теории импульсных систем (дискретное преобразование Лапласа, z - преобразование).

Напомним, что z-преобразованием функции дискретного аргумента

F(k) = f_k, k = 0, 1,... называется функция

F(z) =^-k,

определенная на некоторой области комплексной плоскости.

Приведем выражение (1) к виду

q_t+1 =(1 + и · θ) · q_t + и· х_t+1 -υ·x_t   (2)

или

q_t+1 - p·q_t = u·x_t+1 - υ·x_t ,   (3)

где

р = 1 + u – θ.   (4)

Величину p можно интерпретировать как норму накопления собственных средств банка (финансовой фирмы) за один период.

 

Рекуррентные  динамические модели с учетом возможностей управления привлекаемыми средствами

Рассмотрим более сложную  ситуацию, в которой присутствует зависимость между затратами на привлечение средств и их объемом, т. е., другими словами, существует возможность управления количеством привлекаемых средств х за счет изменения нормы затрат υ.

Предположим, что зависимость  между ними может быть описана  с помощью функции вида

х = φ(υ) = с · (1 - (1 + α · υ) · ехр(-αυ).    (5)

Подставив (5) в (1), получим

q_t+1 = (1 + и · θ) ·q_t +(u-υ)·x,   (6)

что, учитывая (6) и обозначив

A = (u-υ)·x, (7)

можно записать в виде соотношения

q_t+1-p·q_t =A (8)

Зададим z-преобразование q_t →Q(z). Тогда, используя его свойство

*_k+m→z^m (F(z) - _i ·z^-i), (9)

получаем

q_t+1→z·(Q(z)-q₀). (10)

Правая часть (8) может быть представлена как произведение A-ŋ_t, где

ŋ_t ,  (11)

есть функция, для которой  существует стандартное (табличное) преобразование

ŋ_t →,  (12) 

и соответственно

A·ŋ_t→, (13)

На основании (8), (10) и (13) можно получить соотношение

z·(Q(z)-q₀)-pQ(z) =  (14)

или

(z-p)·Q(z)-z-q₀= . (15)

Проведем преобразования

(z-p)·Q(z) =z·q₀ = z·   (16)

и получим

Q(z)=z·   (17)

или

. (18)

Дробь

 

можно разложить на сумму  элементарных дробей вида

+,

где значения коэффициентов  а и b находятся с помощью стандартных подстановок z = 1 и z = р в выражение

A-q₀+z·q₀ = a·(z-p) + b·(z-1) (19)

и соответственно равны:

a=; b=      (20)

Откуда имеем

==·+   (21)

или

Q(z) = ·+· .   (22)

Используя обратные табличные  преобразования

и p^t,

мы можем вернуться  к оригиналу для Q(z) ⇒ q_t :

q_t = · p^t = + (+q₀ ) · p^t   (21)

и окончательно, учитывая (5) и (7), получаем

q_t = q₀ · p^t + · (p^t - 1),  (22)

где A = с · (1 - (1 + а · υ) · ехр(-αυ)) · (u - υ).

Поведение последовательности q_t при различных значениях нормы затрат на привлечение средств υ, изменяющихся в пределах [0; 0,4], и t0:30 иллюстрируется поверхностью, изображенной на рис. 1.

Рис. 1. Динамика объема собственного капитала при различных нормах затрат на привлечение средств.

 

Таблица 1. Фактические и прогнозные (по формуле (22)) значения объема собственного капитала по банкам-участникам FDIC

Год	Обяза тельства, $ МЛН, X'	Собствен ный капитал- факт, $ млн, qt	Собствен ный капитал- прогноз, $ млн, Я,	В том числе  по составляющим		Отклоне ние
				9о'Р‘	р-1	от факта, %
1985	2 561 554	169 117	-	-	-	-
1986	2 758 556	182 143	179 283	169 326	9 957	1,6
1987	2 819 298	180 651	189 462	169 536	19 925	-4,9
1988	2 934 250	196 546	199 653	169 746	29 907	-1,6
1989	3 094 540	204 822	209 857	169 957	39 900	-2,5
1990	3 170 873	218 616	220 074	170 167	49 906	-0,7
1991	3 198 983	231 698	230 303	170 378	59 925	0,6

Характер поверхности, изображенной на рис. 1, свидетельствует

о возможности оптимального выбора нормы затрат на привлечение средств v, обеспечивающего максимальный рост собственного капитала.

Для построения примера, демонстрирующего возможности практической эксплуатации модели (2)—(22), воспользуемся уже применявшимися в аналогичных целях сводными данными по финансовым показателям банков-участников FDIC. Подставляя в (22) значения параметров функции φ(υ), а также и и υ, получаем прогнозные значения суммарного объема собственных средств для рассматриваемой группы финансовых учреждений (см. табл. 1 и графики динамики фактических и прогнозных величин на рис. 1.).

Сравнивая результаты текущего и предыдущего примеров, не трудно заметить, что они незначительно отличаются друг от друга с точки зрения точности прогнозирования, поскольку основаны фактически на одном и том же варианте развития событий (за счет соответствующего подбора в текущем примере значения переменной υ).

 

 

 

Источник: Конюховский П.В. «Микроэкономическое моделирование банковской деятельности» - СПб: Питер, 2001- 165с.