Наибольшее внимание в области
теории обыкновенных дифференциальных
уравнений привлекают теперь вопросы
качественного исследования их решений.
Все эти исследования получили широкое
развитие в России. Качественная теория
дифференциальных уравнений послужила
для Пуанкаре отправным пунктом для продолжения
лишь едва намеченных Риманом исследований
по топологии многообразий.
Теория дифференциальных уравнений
с частными производными еще в конце XIX
в. получает существенно новый вид.
Аналитическая теория отступает
несколько на задний план, т.к. обнаруживается,
что при решении краевых задач она не гарантирует
«корректности».
Значительным дополнением к
методам теории дифференциальных уравнений
при изучении природы и решении технических
задач являются методы теории вероятностей.
В конце XIX в. и в XX в. большое
внимание уделяется методам численного
интегрирования дифференциальных уравнений.
Таким образом, разработанные
в первой половине XIX века способы обоснования
и методы математики позволили математикам
перестроить математический анализ, алгебру,
учение о числе и отчасти геометрию в соответствии
с требованиями новой методологии. Новая
методология математики способствовала
преодолению кризиса её основ и создала
для неё широкие перспективы дальнейшего
развития.
Дальнейшее развитие математики,
вплоть до конца 19-го – начала 20-го веков
имело в основном прагматический характер,
когда математика применялась как эффективное
средство для решения физических, астрономических
и других прикладных задач. В то же время
никогда не снимался вопрос о «законных»
средствах построения математических
понятий и доказательств. Ввиду отсутствия
самого понятия математической логики,
главным инструментом доказательств являлась
интуиция. Интуиционизм, как определённое
направление в математике, возник в начале
20-го века, в основном благодаря трудам
Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит
номиналистическая тенденция ограничить
математику только такими понятиями, которым
можно придать «реальный смысл».
К числу основных достижений
20-го века в области оснований математики
следует отнести:
. Выработку понятия формального
языка и формальной системы (исчисления)
и порождаемой ею теории.
. Создание математической
логики в виде непротиворечивой
семантически полной формальной
системы.
. Создание аксиоматизированных
формальных теорий арифметики, теории
множеств, алгебраических систем
и других важных разделов математики.
. Формальное уточнение
понятий алгоритма и вычислимой
функции.
. Арифметизация и погружение
в формальную теорию таких
важных понятий метаматематики,
как доказуемость, непротиворечивость
и др., что позволило решать
многие метаматематические проблемы
математическими средствами.
Перечисленные достижения потребовали
осознания и уточнения многих важных математических
и метаматематических понятий таких, как
язык, синтаксис и семантика математических
теорий и др. Всё это позволило взглянуть
на проблему оснований математики с новых
позиций по сравнению с предшествующими
временами.
Потребности развития самой
математики, «математизация» различных
областей науки, проникновение математических
методов во многие сферы практической
деятельности, быстрый прогресс вычислительной
техники приводят к перемещению основных
усилий математиков внутри сложившихся
разделов математики и к появлению целого
ряда новых математических дисциплин
(например, теория алгоритмов, http://www.referatu.ru/1/30/216.htm
теория информации, теория игр, исследование
операций, кибернетика).
На основе задач теории управляющих
систем, комбинаторного анализа, графов
теории, теории кодирования возникла дискретная,
или конечная математика.
Вопросы о наилучшем (в том или
ином смысле) управлении физическими или
механическими системами, описываемыми
дифференциальными уравнениями, привели
к созданию математической теории оптимального
управления, близкие вопросы об управлении
объектами в конфликтных ситуациях —
к возникновению и развитию теории дифференциальных
игр.
Исследования в области общих
проблем управления и связанных с ними
областях математики в соединении с прогрессом
вычислительной техники дают основу для
автоматизации новых сфер человеческой
деятельности.
Заключение
Математическое моделирование,
универсальность математических методов
обуславливают огромную роль математики
в самых различных областях человеческой
деятельности.
Основой любой профессиональной
деятельности являются умения:
- строить и использовать
математические модели для описания,
прогнозирования и исследования
различных явлений;
- осуществить системный,
качественный и количественный
анализ;
- владеть компьютерными
методами сбора, хранения и обработки
информации;
- владеть методами решения
оптимизационных задач.
Широкое применение находят
математические методы в естествознании
и сугубо гуманитарных науках: психологии,
педагогике.
Можно сказать, что в недалеком
будущем любая часть человеческой деятельности
будет еще более широко использовать в
своих исследованиях математические методы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаптев Б.Л.. Н.И.Лобачевский
и его геометрия. М.: Просвещение, 1976.
2. Рыбников К.А.. История математики.
М.: Наука, 1994.
3. Самарский А.А.. Математическое
моделирование. М.: Наука, 1986.
4. Столл Р.Р.. Множество, Логика,
Аксиоматическая теория. М.: Просвещение,
1968.
5. Стройк Д.Я.. Краткий очерк
истории математики. М.: Наука, Физматлит,
1990.
6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П..
Рассказы о прикладной математике. М.:
Вита-Пресс, 1996.
7. Юшкевич А.П.. Математика в
ее истории. М.: Наука, 1996.