Пространственные механизмы

    Приведенные в таблице 2.1 геометрические условия замкнутости звеньев в i-той кинематической паре можно использовать как условия замкнутости группы в целом. Число скалярных уравнений будет при этом равно классу пары. Для уменьшения числа уравнений естественно выбрать в группе пару наивысшего класса (с наибольшим числом степеней свободы).

    Для задания относительного положения  звеньев в парах обычно используют следующие 2 параметра:

• перенос вдоль оси s_i=(r_i,B-r_i,A)×u_i;
• ориентированный угол j _i  = sign(u_i×[e_i-1,i´e_i,i+1])×arccos(e_i-1,i×e_i,i+1).

2.1.2 Геометрическая модель группы

    Рассмотрим  структурную группу из n кинематических пар (3£n£6), присоединенную двумя внешними парами к звеньям известного положения L_0,1={B₀, u_0,B; A₁, u_1,A}, L_n,n+1={B_n, u_n,B; A_n+1, u_n+1,A}. Определим геометрическую модель группы как совокупность последовательности точек Seq_P и последовательности направлений (ортов осей) пар Seq_D, являющихся первичными элементами модели звеньев, образующих группу. Запишем указанные последовательности в виде:

    Seq_P ={A₁,B₁, A₂,B₂,..., A_n,B_n}, Seq_D ={u₁^A, u₂, u₃,..., u_n-1, u_n^B},

    где первый и последний элементы каждой из последовательностей заданы и  принадлежат соответствующим звеньям  L_0,1, L_n,n+1 и одновременно условному звену-стойке L_n,1={B_n,u_n,B;A₁,u_1,A}.

    Одновременно  с каждой последовательностью (Seq_P, Seq_D) будем рассматривать векторный контур, элементами которого являются разности соседних элементов последовательности. Крайние (присоединительные) элементы последовательности отобразим в замыкающий вектор контура:

    Seq_PÞCo_P={r_n,1:t₁,r₁₂,t₂,...,r_n-1,n,t_n}, Seq_DÞCo_D={u_n,1:u₁₂,u₂₃,...,u_ii,...,u_n-1,n},

    где t_i=r_i,B-r_i,A; u_i,i=u_i,B-u_i,A; u_i,i+1=u_i+1,A-u_i,B Î L_i,i+1 .

    При образовании последовательностей  могут появиться тождественные  соседние элементы, отображающиеся в  нулевые элементы векторного контура. Существуют как структурные, так  и параметрические причины такого совпадения. К структурным причинам (см. таблицу 2.1) относятся:

1. A_i=B_i Þ ½t_i½ =0 - при объединении звеньев в парах В, Сп, С;
2. u_i,A=u_i,B=u_i Þ ½ u_i,i½ =0 - при объединении звеньев во всех парах, кроме Сп.

    К параметрическим причинам относятся:

1. B_i=A_i+1 (или r_i,i+1×e_i,i+1=0) - наличие "нулевых" звеньев (пересекающихся осей);
2. u_i=u_i+1 - наличие плоских звеньев.

    Руководствуясь  таблицей 2.1, будем включать в последовательность только один из двух совпадающих элементов.

2.1.3 Формула Чейза определения направления оси по 2-м углам

    Рассмотрим  задачу о нахождении вектора u, удовлетворяющего системе нелинейных уравнений:

     ,    (2.1)

    где e₁ и e₂ – два заданных не коллинеарных вектора,  
а c₁ и c₂ – заданные величины скалярных произведений этих векторов с неизвестным вектором u. 3-е уравнение – это требование нормировки вектора u.

    Известно, что решение системы (2.1) находится по следующей формуле:

- формула Чейза,  (2.2)

    где

    Система (2.1) имеет простой геометрический смысл, который объясняется на рис. 2.2. Если считать что вектора e₁ и e₂ нормированные, то скалярные произведения c₁ и c₂ задают не что иное, как углы с неизвестным вектором u:

     .    (2.3)

    Из  данной геометрической постановки, очевидно, что задача будет иметь 2 решения:  
и , при d = +1 и d = -1, отличающиеся знаком проекции вектора u на ось векторного произведения [e₁ ´ e₂].

    Правильность  формулы (2.2) легко проверить в  частном случае, когда e₁ и e₂ ортогональны – тогда скалярные произведения c₁ и c₂ превращаются в направляющие косинусы – т.е. проекции нормированного вектора u на вектора e₁ и e₂ Þ - задают координаты вектора u в декартовой системе координат с осями (e₁, e₂, [e₁ ´ e₂]).

2.2 Решение прямой задачи о положениях механизма

2.2.1 Механизм как набор первичных механизмов и наслоение структурных групп

    Закон Асура, играет фундаментальную роль при решении задачи о положении  для пространственных механизмов. Закон  Асура утверждает, что всякий механизм может быть представлен как совокупность первичных механизмов и наслоение  структурных групп (т.е. групп нулевой подвижности). Иллюстрация этого закона приведена на рис. 2.3.

    Прямая  задача о положении для механизмов ставится следующим образом:

• Дано: движение всех входных звеньев, удовлетворяющее связям, которые накладывают кинематические пары, соответствующих первичных механизмов;
• Найти: движение всех остальных звеньев механизма, либо сообщить о невозможности реализации положения звеньев, в тот или иной момент времени.

     Таким образом, положение всех входных звеньев  определено в любой момент времени  из постановки задачи. Если остальные пары механизма (не считая пар, входящих в первичные механизмы) разбиты на структурные группы, то положение их звеньев можно определить по положениям входных звеньев. Структурная группа, по определению является статически определённой системой (т.к. её подвижность равна нулю), что означает возможность нахождения положений всех внутренних звеньев группы, когда заданы положения её поводков (тех звеньев, которыми группа крепится к остальному механизму)

    Убедимся, что положение поводков каждой из групп определено. Рассмотрим возможные способы присоединения группы к остальной части механизма с помощью её поводков:

1. Поводок группы является входным звеном одного из первичных механизмов, положение которого определено в любой момент времени;
2. Поводок группы является неподвижным звеном-стойкой и пара группы крепится в неподвижной точке этой стойки – т.е. её положение определено  и не меняется с течением времени;
3. Поводок группы является внутренним звеном другой структурной группы (т.е. звеном, которое включено более чем в 2 пары другой группы и, следовательно, не является её поводком), положение которой определено;

    Все 3 ситуации соединения структурных  групп отражены на рис. 2.3. В последнем 3-м случае, положение всех групп, в которые входят поводки данной группы, можно считать определённым, поскольку всегда можно выделить последовательность структурных групп, такую, что первые из групп в этой последовательности будут соединяться соответственно случаям 1 и 2, а остальные группы в последовательности рассчитываются через них.

    Таким образом, прямая задача о положениях механизма свелась к решению  ряда отдельных более простых  задач расчета положений структурных  групп механизма. Задачу расчета положения структурной группы можно определить следующим образом:

• Дано: для всех поводков группы заданы положения точек, к которым присоединены элементы пар группы и направления осей этих пар;
• Найти: неизвестные положения точек, к которым присоединены элементы других пар группы и направления осей этих пар.

    Существуют  два основных подхода к расчету положения структурной группы:

1. Аналитический подход – выводятся аналитические формулы, зависимости выходных параметров группы от входных. Обычно это можно сделать из геометрических соображений, но только в некоторых достаточно простых или частных случаях;
2. Численный подход – выводится уравнение или система уравнений относительно некоторых неизвестных параметров (обобщённых координат) структурной группы, которая затем решается численно, путём минимизации невязки этой системы. Когда искомые параметры найдены с требуемой точностью, положение структурной группы определяется через них. Численный подход расчета применяется в тех случаях, когда не удаётся применить аналитический подход.

В следующем  разделе приводятся примеры решения задач о положении структурных групп различных типов аналитическим методом.

2.2.2 Определения величин, используемых при расчете положения группы

    Определим следующие величины, используемые при  решении задачи о положении для  структурных групп механизма:

• - радиус вектор центра i-й кинематической пары (i=1,..,n);
• – вектор i-го звена (i=1,..n), соединяющий центры i-й и (i+1)-й пар. Сумма векторов L_i даёт замыкающий вектор r:
• - замыкающий вектор;
• - нормированный замыкающий вектор;
• - нормированный вектор, направления i-го звена L_i (i=1,..n);
• - нормированный вектор направления оси i-й пары ( );
• - орт оси пары и вектора направления звена (i=1,..,n);
• - ориентированный угол наклона i-го звена (i=1,..,n);
• - ориентированный угол поворота i-го звена относительно (i-1)-го (i=1,..,n, при i=1 e₀ заменяется на e_r, а при i=n e_n+1 заменяется на -e_r,);

     Для некоторых  величин используются несколько  эквивалентных вариантов обозначений, которые удобнее применять в  зависимости от ситуации. Рис. 2.4 иллюстрирует перечисленные выше величины:

    В 1951 г. в работе В.А. Зиновьева был предложен метод замкнутого векторного контура (суть которого отражена на рис. 2.4), использующий следующее основное уравнение метода (s_i – это величина переноса в i-й паре, в случае, например геликоидной пары):

          (2.4)

    Метод замкнутого векторного контура используется как основной метод получения  невязки в численных методах  решения задачи о положениях групп.

2.3 Аналитический подход к расчету положения структурной группы

  2.3.1 Двухзвенная пространственная группа В-Сп-С

     Рассмотрим  пространственную структурную группу В-Сп-С, состоящую из последовательности кинематических пар: вращательная пара, сферическая с пальцем, сферическая (рис. 2.4). Группа является пространственной, т.к. в неё входят пространственные пары С и Сп. Легко убедиться в том, что подвижность группы равна нулю, по формуле Малышева (1.2):

    W = 6×n – (5×p₁+4×p₂+3×p₃) = 6×2 - (5+4+3) = 0

    Задача  для группы В-Сп-С ставится следующим образом:

• Дано: положения точек A и B, направление оси u₁ вращательной кинематической пары и постоянный угол b наклона звена L₁ относительно оси u₁. Длины звеньев L₁, L₂;
• Найти: положение точки C.

    Для решения этой задачи необходимо найти  вектор e₁, тогда положение точки C в группе  
В-Сп-С будет находиться из формулы:

     ,      (2.5)

    А этот вектор e₁, может быть найден по формуле Чейза (2.2) через два угла a (пока не известен) и b (задан в постановке задачи) между известными векторами u₁ (задан в постановке задачи), e_r (вычисляется по известным точкам A, B) искомым вектором e₁ – см. рис. 2.4. Т.е. e₁ находится по формуле: