Производные и дифференциал

9.Определение производной  и дифференциала порядков выше 1. Формула Лейбница.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие  дифференциального исчисления, характеризующее  скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения  приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Пусть производная  некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции   в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким  образом,

dnf(x) = d(dn-1f(x)),   d0f(x) = f(x),   n ϵ  N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d2x = d3x = ... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула

dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Формула Лейбница

Формулой  Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования  под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница.

 Пусть  функция y = f(x) непрерывна на отрезке  [a; b] и F(x) - одна из первообразных  функции на этом отрезке, тогда  справедливо равенство .

 Эту  формулу называют основной формулой  интегрального исчисления.