Понятие случайного события и его вероятности

В первом ящике r₁ шаров из n можно выбрать способами, во втором ящике r₂ шаров, из оставшихся (n - r₁) можно выбрать способами и так далее, в (k – 1) ящик r_k-1 шаров выбираем способами; в ящик k – оставшиеся шаров попадают автоматически, одним способом.

Таким образом, всего  размещений будет

._▼

• Пример. По n ящикам случайно распределяются n шаров. Считая, что ящики и шары различимы, найти вероятности следующих событий:

а) {все ящики не пустые} = А₀;

б) {один ящик пуст} = А₁;

в) {два ящика пустых} = А₂;

г) {три ящика пустых } = А₃;

д) {(n-1) – ящик пуст} = А₄.

Решить задачу для  случая n = 5.

Решение. Из условия следует, что распределение шаров по ящикам есть простой случайный выбор, следовательно, всех вариантов nⁿ.

Прежде, чем считать  благоприятные варианты, опишем общий подход к их нахождению. Расположим (в порядке возрастания номеров) ящики, в которых находятся неразличимые шары, например,

333221…1.

Эта последовательность означает, что в первом, втором и  третьем ящиках по три шара, в  четвертом и пятом по два шара, в остальных (n – 5) ящиках по одному шару. Всего таких размещений шаров по ящикам будет . Так как шары на самом деле различимы, то на каждую такую комбинацию будем иметь размещений шаров. Таким образом, всего вариантов будет .

Переходим к решению  по пунктам примера:

а) так как в каждом ящике находится по одному шару, то имеем последовательность 111…11, для которой число размещений равно n!/ n! = 1. Если шары различимы, то имеем n!/ 1! размещений, следовательно, всего вариантов m = 1×n!= n!, отсюда

.

б) если один ящик пуст, то какой-то ящик содержит два шара, тогда  имеем последовательность 211…10, для которой число размещений равно n! × (n-2)!. Так как шары различимы, то для каждой такой комбинации имеем n!/ 2! размещений. Всего вариантов

,

тогда

.

в) если два ящика пусты, то имеем две последовательности: 311…100 и  221…100. Для первой число размещений равно n!/ (2! × (n – 3)!). На каждую такую комбинацию имеем n!/ 3! размещений шаров. Итак, для первой последовательности, число вариантов равно

.

Для второй последовательности всего вариантов будет

.

Окончательно имеем

.

Отсюда

.

 

г) для трех пустых ящиков будет три последовательности: 411…1000, либо 3211…1000, либо 22211…1000.

Для первой последовательности имеем

.

Для второй последовательности

.

Для третьей последовательности получаем

.

Всего вариантов m = k₁ + k₂ + k₃ ,

или

.

Искомая вероятность  равна

.

д) если (n -1) ящик пуст, то все шары должны находиться в одном из ящиков. Очевидно, что число комбинаций равно

.

Соответствующая этому  событию вероятность равна

.

При n = 5, имеем

,

,

,

,

.

Заметим, что при n = 5 события А_i должны образовывать полную группу, что соответствует действительности. В самом деле

 

3.2 Геометрический  метод вычисления вероятностей

 

Недостаток классического метода вычисления вероятностей в том, что он рассматривает конечное число равновозможных событий.

И если можно еще этот метод расширить на счетное число  событий, то на большее его возможностей недостаточно. Однако идеи классического  метода можно использовать на геометрических образах и, тем самым, рассматривать несчетные множества событий.

Пусть дана область Dⁿ из пространства Rⁿ, n = 1, 2, 3, с определенной на ней мере – mes Dⁿ (мера прямой – длина, мера плоскости – площадь, мера пространства – объем).

В области Dⁿ выделяется часть Аⁿ (вообще говоря, неодносвязная) с мерой mes Аⁿ.

В область Dⁿ наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в область Аⁿ? Считая, как и при классическом подходе, попадание точки в область, пропорциональной только ее мере, будем иметь

 

,

где область Dⁿ соответствует пространству элементарных событий W, с той разницей, что Dⁿ не нормирована.

Пример 1. Вычислить вероятность того, что для наудачу взятого значения       х Î[ 0, 2p ), значение   существует.

Решение. Обозначим через А искомое событие, а его геометрический образ через . Значение у существует, если , то есть , для х Î [ 0, 2p ).

В силу симметрии, в качестве области D достаточно взять промежуток [0,p], тогда mes D = p - 0 = p.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

Из рис. 1 видно, что  область  , тогда . Окончательно, .

Пример 2 (Парадокс Бертрана). Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность того, что ее длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника (событие А)?

Решение 1. Из соображений симметрии, не нарушая общности, зададим направление хорды (рис. 2а).

 

               

 

                          а)                                         б)    

Рис. 2

Проведем диаметр длиной d, перпендикулярный этому направлению. Очевидно, что эти и только эти хорды, пересекающие диаметр в промежутке , будут превосходить стороны правильного треугольника. В самом деле, сторона правильного треугольника а = , длина хорды находится из пропорции: . Таким образом .

Решение 2. Из соображений симметрии, закрепим один конец хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и две стороны правильного треугольника образуют углы по 60⁰ каждый. Задаче удовлетворяют только хорды, попадающие в средний угол, а это третья часть окружности. Отсюда .

Решения задачи дают разные ответы, хотя логических противоречий нет. Суть в том, что в задаче не определено понятие проведения хорды наудачу. Так какой ответ верный?

Очевидно тот, который  учитывает все возможные ситуации, то есть имеющий наибольшую вероятность. Ясно, что если будет построен геометрический аналог, с  вероятностью превосходящей 0,5, то и ответ будет другой. Ответ .

Второе решение, с точки  зрения теории вероятностей, дает результат  для более частной задачи.

 

3.3 Статистическое определение вероятности

 

Классический и геометрический методы вычисления вероятностей событий  представляют собой теоретическую  схему, которая основывается на аксиомах теории вероятностей, и, тем самым, не зависит от реального объекта  исследования.

Для применения этих методов необходимо владеть всей информацией о возможных исходах эксперимента (пространство W). На практике мы далеко не всегда можем описать пространство W, даже в случае равновозможности элементарных событий.

Например, вычислить вероятность  всхожести семян практически невозможно, если использовать классический подход, поскольку трудно пересчитать количество зерен для посадки, да и размеры зерен влияют на их всхожесть. Можно говорить лишь о приближенных значениях вероятности всхода семян, определяя приближенно их среднее количество на единичном участке поля.

Рассмотрим вновь пример с подбрасыванием монеты. Пусть у  нас есть основание считать монету несимметричной. Тогда, никакие соображения  относительно вероятности выпадения  герба не будут иметь решающего значения, кроме как проведение испытаний. Естественно возникает вопрос: чему равна вероятность выпадения герба для этой монеты? Пусть при n = 1000 подбрасываний, герб выпал 450 раз, тогда доля выпадений герба составила 0,45. Отклонение от 0,5 всего 5%. Много это или мало? Можно ли считать монету симметричной?

Ответ на эти вопросы  может дать статистический метод  вычисления вероятностей событий.

Пусть проведено n испытаний, в которых событие А появилось m раз.

Определение. Доля числа случаев, в которых событие А появилось, называется частотой появления события А и вычисляется по формуле

                                                       .                                                        (5)

Говоря о частоте, прежде всего, считают, что результат любого испытания заранее не предсказуем; учитываются только те результаты, которые мы ожидали получить. Если появился новый результат, то мы должны предполагать, что он возник из равноценных начальных условий и одних и тех же начальных знаний.

Испытания должны быть независимыми, в том смысле, что, во-первых, каждое повторное испытание проводится при одном и том же комплексе начальных условий (строго говоря, испытания не могут быть повторены в точности, поэтому мы должны так ставить эксперименты, чтобы они казались нам одинаковыми), во-вторых, результатом эксперимента являются два исхода: событие А появилось и событие А не появилось.

Частота должна быть устойчива, то есть, при достаточно большом числе испытаний, значения частоты подвержены малым колебаниям, которые тем меньше, чем больше число испытаний.

Определение. Число р, к которому сходится частота, при неограниченном увеличении числа испытаний, называется статистической вероятностью, то есть

,

где р = Р{А} – вероятность события А.

Данное определение  требует комментариев. Обычно, еще  до проведения испытаний, в зависимости  от глубины наших знаний об объекте, мы ожидаем получить конкретный результат. Поскольку число испытаний всегда конечно, то за вероятность события А мы принимаем либо значение частоты, либо число близкое к нему (в частности, то которое мы ожидали получить). Таким образом, значение вероятности события А, полученное статистическим методом, зависит от двух факторов: частоты и субъективных знаний об объекте исследования.

Например, при достаточно большом числе испытаний с  подбрасыванием монеты, незначительными  отклонениями значений частоты от 0,5 можно пренебречь, если нет оснований, считать монету несимметричной, либо это отклонение не может существенно повлиять на конечный результат.

Недостаток статистического  определения вероятности в том, что алгоритм ее вычисления не дает ответа на основной вопрос: «Является  ли принимаемое нами значение вероятности  события А ее истинным значением?». Поэтому возникает ощущение того, что вероятность не является объективной характеристикой случайного события.

Тем не менее, статистический метод является наиболее общим и  универсальным подходом к вычислению вероятностей случайных событий. Например, для подтверждения симметричности монеты, Д' Бюффон подбросил ее 4040 раз (2048 раз выпал герб), Пирсон провел 24000 испытаний (12012 раз выпал герб).

 

3.4 Условная  вероятность

 

Пусть имеем вероятностное  пространство – (W,ℱ,Р) и события А, В Ì W,

произвольны, причем Р {В}> 0.

Определение. Условной вероятностью называется число, определяемое формулой:

                                      , .                               (6)

Следует читать: ~

• Формула (6) считается определением, ниоткуда не выводится и является отражением здравого смысла. Поясним это на примере геометрического изображения событий (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

Пусть пространство W состоит из n (³ m+k) точек, равноправных между собой. Событие А насчитывает m точек, событие В - k точек и событие А Ç В – r точек. По определению, событие происходит, если в результате эксперимента реализовалась какая - либо из точек, составляющих это событие. Для условной вероятности (6), фраза: «Событие А произойдет при условии, что В произошло»,- означает, что должна реализоваться одна из точек события А Ç В, где событие В играет роль вероятностного пространства. Следовательно, – есть оценка доли участия события А в реализации события В, то есть

.

С другой стороны, если рассматривать все пространство W, то

, .

• По формуле (6) получаем

.

• Теорема  умножения. Пусть А, В Ì W, тогда

 

                             Р {А Ç В} = P {B}× Р {А / В} = P {А}× Р {В / А}.                      (7)

• Доказательство. Если Р {B} ¹ 0, то (7) сразу следует из (6). Если же Р{B}=0, то Р {А Ç В} = 0 и, следовательно, (7) тривиально._▼