Понятие математической модели

Понятие математической модели.

В моделировании  есть два различных пути. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием  ряда деталей. Например, это игрушечный кораблик, самолетик, домик из кубиков  и множество других известных  вам натурных моделей. Модель может  отображать реальность в абстрактной  форме. В таком случае почти всегда привлекаются средства математики, и  мы имеем  дело с математической моделью:

математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, в историческом аспекте, сама математика обязана своим существованием тому, что пыталась отражать, т. е. моделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Под математической моделью понимают систему математических соотношений – формул, уравнений, неравенств и т. д., отражающих существенные свойства объекта или процесса.

Математическое  моделирование в наше время гораздо  более всеобъемлюще, нежели моделирование натурное. Математический аппарат для моделирования объектов и процессов реального мира ученые использовали очень давно, но огромный толчок математическому моделированию дало появление ЭВМ, которые сегодня помогают в этой деятельности. Использование математического моделирования является самым общим методом научных исследований.

Вывод.

При математическом моделировании исследование объекта  осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке  математики, с использованием тех  или иных методов.

Простой пример: представьте себе, что нужно определить площадь поверхности письменного  стола. Как обычно поступают в  таком случае? Измеряют длину и  ширину стола, а затем перемножают  полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект – поверхность  стола – заменяется абстрактной  математической моделью прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и  считается искомой.

Как видите, из всех свойств стола мы выделили три: форма поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Для нас не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как он используется. Если бы мы решали другую задачу о столе (скажем, сколько стоит изготовление стола), то возможно, для нас важна была бы как раз эта информация.

Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, мы легко указываем исходные данные и результат. Они связаны соотношением S=a×b. Сделанное предположение позволило “перевести” нашу задачу на язык чисел: и исходные  данные, и результат – числа, а соотношение между ними  задается  математической формулой.

Анализировать математические модели проще и быстрее, чем экспериментально определять поведение  реального объекта. Кроме того, анализ математической модели позволяет выделить наиболее существенные свойства данного  объекта (процесса), на которые надо обратить особое внимание при принятии решения.

Этапы решения задач на компьютере:

1.    Постановка задачи – точная  формулировка условий и целей  решения, описания наиболее существенных  свойств объекта.

2.    Построение математической модели  – описания наиболее существенных  свойств объекта с помощью  математических формул.

3.    Разработка алгоритма.

4.    Запись алгоритма на языке  программирования.

5.    Отладка и тестирование программы  на компьютере.

6.    Анализ полученных результатов.

Решение задачи с помощью ЭВМ начинается с  точной формулировки условий и целей  решения, описания наиболее существенных свойств объекта с помощью  математических формул. Для того, чтобы ЭВМ произвела необходимые вычисления и получила ответ, нужно составить для нее четкую инструкцию, строго указать необходимую последовательность действий, т. е. составить алгоритм решения задачи. Далее необходимо провести вычислительный эксперимент:

составить программу,  проведя вычисления на ЭВМ;

получить  и проанализировать результаты.

Ведь сколько  бы свойств мы не учитывали, модель всегда основана на некотором упрощении, и трудно быть абсолютно уверенным, что модель соответствует реальной задаче. Такую уверенность можно  обрести, лишь сопоставив результаты расчетов с экспериментальными фактами, теоретическими воззрениями и другой информацией  об изучаемом объекте.

При этом может  возникнуть необходимость уточнить математическую модель, исправляют алгоритм, проводят расчеты на ЭВМ и анализируют  результаты. Так будет продолжаться до тех пор, пока анализ результатов  не покажет их приемлемое соответствие знаниям об объекте.