Показникова функція, її графік і властивості

1. Функція зростаюча за , спадна за , тому вона є оборотною на всій області визначення. Враховуємо, що .

     2. Розв’яжемо  рівняння з двома невідомими  стосовно невідомої . Оскільки - показник степеня, то за означенням логарифма, .

3. Поміняємо позначення  незалежної та залежної змінних. , де .

Означення 5. Функцію, обернену до показникової функції              , називають логарифмічною і позначають .

Побудувавши графік логарифмічної функції як кривих, симетричної графіку функції відносно прямої (мал.6 ), учні спочатку «прочитують» властивості цієї функції за графіком, а потім доводять їх аналітично, використовуючи теорему про властивості взаємно обернених функцій.

У зв’язку з вивченням  логарифмічної функції достатню увагу потрібно приділити засвоєнню  логарифмічних тотожностей та застосуванню їх до обчислення значень виразів, тотожних перетворень логарифмічних виразів, нерівностей та їх систем. 

 

 

 

 

 

4. Логарифмічна та показникові функції в природі, науці, техніці

4.1 Від складних відсотків до показової функції 
   Ще в стародавньому світі було широко поширене лихварство – віддача грошей у борг під відсотки. Селянин, якого спіткав неврожай, ремісник майно якого знищила пожежа, дрібний торговець, який розорився були змушені йти до лихваря) обіцяючи повернути на наступний рік суму, що значно більшу, ніж взята в борг. Наприклад, в Давньому Вавилоні лихварі брали по 20% лишку на рік. При цьому, якщо боржник не міг повернути борг на наступний рік йому треба було платити відсотки не лише з позиченого капіталу, але і з відсотків, що виросли за рік. Тому через два роки доводилося сплачувати не 40%, а 44% лихви, так як 1,2² = 1,44. За п'ять років сума боргу збільшувалась в 1,25 разів, тобто майже в 2,5 рази, а за 10 років – більш ніж у 6 разів. Зрозуміло, що більшість боржників стають неспроможними і, давно виплативши основну суму боргу, були змушені все життя працювати на те, щоб платити всі зростаючі відсотки. У решті-решт неспроможні боржники ставали рабами позикодавця. У XIV-XV століттях у Західній Європі з’являються банки  - установи, які давали гроші в розстрочку князям і купцям, фінансували за великі відсотки далекі подорожі та  завойовницькі походи. Щоб полегшити розрахунки складних відсотків, що стягуються, склали таблиці, за яким відразу можна було дізнатися, яку суму треба сплатити через  років якщо була взята в борг сума  по  річних. Легко підрахувати, що сплачується сума в цьому випадку виражається формулою:

.

Якщо  стале, то є функцією від , при чому стоїть в показнику. Іншими словами, такі таблиці давали значення показникової функції при різних значеннях основи (різних значеннях ) і натуральних значеннях .

Останнє обмеження було не досить зручним, інколи гроші бралися  в борг не на цілу кількість років, а наприклад, на 2 роки і 6 місяців. Щоб  не ускладнювати справу, можна використовувати  лінійну інтерполяцію, тобто брати середнє арифметичне сум боргу за 2 і 3 роки. Але це дає лише наближений розв’язок задачі. Щоб розв’язати її точніше, треба виходити з наступних міркувань: якщо через 2,5 роки сума перетвориться в , то через наступні 2,5 роки вона збільшиться ще в раз і буде дорівнювати . Але через 5 років сума повинна перетворитися в . Тому і, отже, . Так як суму боргу через 2,5 роки природно позначити , отже прийдемо до рівності . Аналогічні міркування показують, що в загальному випадку потрібно покласти .

Так виникла ідея степеня  з дробовим показником.  Слід зазначити, що Архімед в одній зі своїх  робіт  вважав відношення об'ємів двох куль полуторним по відношенню до їх поверхонь. Це означало не те, що одне

відношення у півтора  рази більше іншого, а те, що одне з них виходить з іншого піднесенням до степеня :

.

Але ідея Архімеда не була зрозуміла його сучасниками.  Лише через півтора тисячоліття Оресм став розглядати зведення чисел в степені з дробовими  показниками і розповсюдив на такі степені правила, які раніше були відомі лише для натуральних показників. А французький  математик Шюке, що жив через сто років після нього, вирішував таку задачу, в посудині є отвір, через який за добу витікає  його  вмісту. За скільки часу витече половина води?

Ця задача зводиться до рівняння , розв’язком якої є ірраціональне число. Так як в часи Шюке ірраціональних чисел не знали, то Шюке обмежився знаходженням приблизного розв’язку значення показника .

Розглядаючи таблиці степенів, Оресм і Шюке, а також німецький  математик, що жив в XVI столітті, Міхаіл Штифель(1486-1567) помітили, що при множенні  чисел показники додаються. Подальший  розвиток цього спостереження привів до створення таблиць логарифмів і антилогарифмів, тобто до розгляду  показовій функції для досить густої сітки значень аргументу. Залишався лише один крок, щоб ввести  степені з будь-яким дійсним показником. Цей крок зробив у кінці XVII століття Ісаак Ньютон. Після цього Йоганн Бернуллі розглянув степені зі змінним дійсним показником, тобто ввів показникові функцію.

 

 

4.2 Радіоактивний розпад

Показова функція  зустрічається в найрізноманітніших галузях науки  - у фізиці, хімії, біології, економіці. Розглянемо одне з найважливіших фізичних явищ, опис якого пов'язано з цією функцією, радіоактивний розпад.  Після відкриття радіоактивності в дослідах Беккереля і  подружжя Кюрі виникло питання, за яким законом  відбувається розпад атомів. Виявилось, що кількість  речовини, що розпадається за одиницю часу, завжди  пропорційно наявній кількості речовини. Іншими  словами, за цей проміжок часу завжди розпадається одна і та ж кількість атомів.

Фізики назвали проміжок часу, протягом  якого розпадається половина усіх наявних атомів, періодом піврозпаду цієї речовини. Цей період різний для різних речовин: для Урану-238 він рівний 4,5 млрд. років, для Радію 1620 років, а для Полонію-84 період напіврозпаду дорівнює всього 1,5·10^-4 с.

Якщо період піврозпаду даної речовини дорівнює , то через проміжок часу залишається - на частина цієї речовини. Іншими словами, якщо через проміжок часу його залишиться тобто . Формула                                                                                    (1)

справедлива не тільки для  значень , кратних , але і для будь яких значень - дробових і ірраціональних, додатних і від’ємних (від’ємні значення означає, що ми шукаємо кількість речовини за деякий час до спостереження).

З формули(1) витікає, що за 1 620 000 років, тобто за тисячу періодів напіврозпаду радію, його кількість  зменшується в 2¹⁰⁰⁰ разів, тобто більш ніж в 10³⁰⁰ разів (корисно пам'ятати, що 2¹⁰= 1024 1000= 10³). Якби навіть уся наша Галактика складалася з атомів радію, то їх число все одно було б незмірно менше, ніж 10³⁰⁰, і тому за 1 620 000 років увесь радій розпався б. Не слід робити із сказаного висновок, що Галактика існує менше півтора мільйонів років час її існування обчислюється мільярдами років. Справа в тому, що радій увесь час з'являється в ході розпаду Урану-238, а за весь час існування Землі  кількість урану зменшилася всього в два рази.

4.3 Одна людина утримує корабель

У романі Жуля Верна "Матіас Шандор" силач Матіфу вчинив багато подвигів, серед яких є такий. Готувався  спуск на воду трабоколо. Коли вже  почали вибивати з-під кіля клини, що утримували  трабоколо на спусковій  доріжці, в гавань влетіла нарядна яхта. Судно, що спускалося, неминуче повинне було  врізатися у борт верфі яхти, що пливе.

«Раптом з натовпу глядачів вискакує якийсь  чоловік. Він хапає  трос, що висить на носі трабоколо. Але  марно старається він, упираючись в  землю ногами, утримати трос в руках... Поблизу закопана  в землю швартова гармата. Вмить невідомий накидає  на неї трос, який починає повільно розмотуватися, а  сміливець, ризикуючи  потрапити під нього і бути роздавленим, стримує його з нелюдською силою. Це триває секунд десять. Нарешті, трос лопнув. Але цих десяти секунд виявилося досить. Трабоколо... пройшло  за кормою яхти на відстані не більше фута…  яхта була врятована».

Читач, звичайно, здогадався, що невідомим,  що врятував яхту, був  силач Матіфу. Але чи потрібна була його нелюдська сила, щоб утримати корабель?

Подивимося, як відбувається швартовка корабля : з  пароплава  на пристань кидають канат, на кінці  якого зроблена широка петля. Людина, що стоїть на пристані, надіває петлю  на причальну тумбу, а матрос на  кораблі укладає канат між  кнехтами - невеликими тумбами, укріпленими  на борту судна. Сила тертя між  канатом і кнехтами і зупиняє судно.  Зазвичай матрос, обернувши канат кілька разів навколо кнехтів, просто притримує вільний кінець ногою, притискуючи його до палуби.

Припустимо, що після одного обороту каната  навколо стовпа сила, прикладена до одного кінця каната, урівноважує в раз більшу силу, прикладену до іншого кінця. Легко бачити, що тоді після ще  одного обороту каната утримувана сила зростає ще у разів і стане в разів більше, ніж.

Взагалі, якщо канат прилягає до стовпа уздовж дуги в  радіан, то з його допомогою можна утримати силу, більшу, чим , в разів. Для прядивного каната і дерев’яного стовпа . Тому, обертаючи канат навкруги стовпа три рази, отримуємо збільшення сили в раз. Саме цей ефект збільшення сили і дозволяє одній людині утримати корабель.

Описане вище явище ми використовуємо щодня, зав'язуючи шнурки на черевиках, вузли на вірьовках і т. д. Оскільки вузол - це мотузок, обвитий навколо  іншої  вірьовки, він тим міцніше, чим більше раз одна частина мотузка  сплітається з іншою.

 

 

4.4 Число

Числа 2 і  здаються цілком природними основами для показових функцій, що виражають ті або інші фізичні закони, але в теоретичних дослідженнях зручніше брати іншу основу - особливе число, що введене Эйлером і означає буквою . Це число визначається таким чином.

 Накреслимо графік функції  при різних  значеннях основи . Чим більше ця основа, тим крутіше піднімається вгору графік (мал. 7). Всі накреслені графіки перетинають вісь ординат в точці (0; 1). При цьому кут між віссю ординат і графіком функції

 приблизно дорівнює 55°, а для кривої цей кут приблизно дорівнює 42°. Тому якщо безперервно збільшувати основу а від 2 до 3, то кут між віссю ординат і графіком  показникової функції буде зменшуватися від 55⁰ до 42°і тому при деякому значенні основи а виявиться рівним 45°. Це значення і називається числом . Із сказаного вище слідує, що число «ув'язнене» між числами 2 і 3. Більше точні підрахунки  показують, що дорівнює 2,71828...  Число е ірраціональне. Більше того, воно трансцендентне, тобто не задовольняє ніяке алгебраїчне   рівняння з цілими коефіцієнтами.

Логарифми по основі називаються натуральними і позначаються . Таким чином, запис означає, що .

4.5 Показникова функція і біологія

Процеси  вирівнювання часто  зустрічаються і у біології. Наприклад, при переляку в кров несподівано  виділяється адреналін, який потім  руйнується, при чому швидкість руйнування  приблизно пропорційна кількості цієї речовини, що залишається в крові. При діагностиці ниркових  хвороб часто визначають здатність бруньок виводити з крові радіоактивні ізотопи, причому їх кількість в крові падає за показниковим законом. Прикладом  зворотного процесу може служити відновлення  концентрації гемоглобіну в крові у донора або у пораненого, що втратив багато крові. В цьому випадку за  показовим законом убуває різниця між нормальною і наявною кількістю цієї речовини. Як і при радіоактивному розпаді, швидкість розпаду або відновлення вимірюється часом, протягом якого розпадається (відповідно відновлюється) половина речовини. Для адреналіну цей  період вимірюється частками секунди, для речовин,  що виводяться бруньками, - хвилинами, а для гемоглобіну - днями.

Зрозуміло, показниковий закон  зміни  виконується у біологічних  процесах лише приблизно, оскільки ми маємо тут справу з дуже складними  системами. Крім того, зазвичай процес руйнування або  відновлення складається  з декількох стадій, кожна з  їх має свій період. Нарешті, потрібно враховувати, що розпад однієї і тієї ж речовини може здійснюватися по різних каналах.

4.6 Музика і логарифми.

Розкопуючи одне з поселень кам'яного століття на території  України, археологи знайшли декілька кісток мамонта, призначення яких вони не розуміли. Лише уважний аналіз показав, що на цих кістках залишилися сліди  ударів - це були залишки шумового оркестру, під звуки якого в старовині  здійснювалися магічні танці. Пізніше  помітили, що приємніші звуки можна  отримати, зробивши  барабан або  просвердливши тростинку, щоб вийшла  сопілка. А звучання тятиви лука навело на думку о  створенні струнних інструментів.

Піфагор був не лише великим  математиком, але і хорошим музикантом. Він встановив, що приємні  поєднання  звуків відповідають певним співвідношенням  між довжинами струн, що коливаються, або відстанями між дірочками  сопілки, і створив першу  математичну  теорію музики. І хоча музиканти  не люблять  повіряти «алгеброю гармонію», вони увесь час мають справу з  математикою, оскільки сучасна гамма  ґрунтована на логарифмах. Приведемо  уривок із статті відомого російського  фізика А. А. Эйхенвальда, присвячений  цьому питанню.

«Товариш мій по гімназії любив грати на роялі, але не любив  математики. Він навіть говорив зі  зневагою, що музика і математика один з одним не мають нічого спільного. «Правда, Піфагор знайшов якісь  співвідношення між звуковими коливаннями, - але ж якраз Піфагорова гамма  для нашої музики і виявилася  непридатною».

Уявіть же собі, як неприємно  був вражений мій товариш, коли я довів йому, що граючи по клавішах сучасного рояля, він грає, власне кажучи, на логарифмах... І дійсно, так звані  «східці» темперованої хроматичної гамми не  розставлені на рівних відстанях ні по відношенню до чисел коливань, ні по відношенню до довжин хвиль відповідних звуків, а є логарифмами цих величин. Тільки основа цих логарифмів дорівнює 2, а н 10, як прийнято в інших випадках.

Допустимо, що нота найнижчої октави - будемо її називати нульовою октавою - визначена   коливаннями в секунду. Тоді першої октави робитиме в секунду коливань, а -] октави коливань і так далі. Позначимо усі ноти хроматичної гамми рояля номерами , приймаючи основний тон кожної октави за нульовий; тоді, наприклад, тон буде 7-й, буде 9-м і так далі; 12-й тон буде знову , тільки октавою вище. Оскільки в темперованій хроматичній гаммі кожен подальший тон має в більше число коливань, ніж попередній, то число коливань будь-якого тону можна виразити формулою