Параметрически заданные функции и их графики

     2) то, что здесь удаётся выражать  многозначные функции посредством  однозначных. 

     Вопросы параметрического представления изучены особенно хорошо для аналитических функций. Параметрическое представление аналитических функций посредством однозначных аналитических функций составляет предмет теории униформизации.

     Рассмотрим  параметрическое представление функции.

     Предположим, что функциональная зависимость  y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину – t. Тогда формулы

     

задают  параметрическое представление  функции одной переменной.

     Если  предположить, что обе эти функции  φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как[1]:

     

и производная  функции может быть вычислена  как

     Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать  неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры, затруднительно.

     Пусть зависимость между аргументом х  и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

     

                     (2.1)

     где t – вспомогательная переменная, называемая параметром.

     Найдем  производную  , считая, что функции (2.1) имеют производные и что функция имеет обратную . По правилу дифференцирования обратной функции

     

                        (2.2)

     Функцию , определяемую параметрическими уравнениями (2.1), можно рассматривать как сложную функцию , где . По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

     

.

     C учетом равенства (2.2) получаем

     

     Полученная  формула позволяет находить производную    от функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

     Рассмотрим  пример.

     Пусть 

     

     Найти .

     Решение: Имеем  ,

     Следовательно, ,   т. е.

     

       В этом можно убедиться, найдя  непосредственно зависимость у  от х.

     Действительно,  . Тогда .  Отсюда , т. е.  
 
 
 

     2.2. Исследование графика параметрически заданной функции 

     Исследуем и построим кривую γ, заданную следующей системой уравнений:

     

     1.   Область существования, ее границы.

     

     Граничные значения параметра: .

     2.   Точки пересечения с осями координат. Очевидно, кривая пересекает оси координат в начале координат и других общих с осями координат точек не имеет.

     3.Интервалы постоянства знака координат точек кривой.

     При  – кривая расположена слева от оси Оу.

     При   – кривая расположена справа от оси Оу.

     При – кривая расположена ниже оси Ох.

     При – кривая расположена выше оси Ох.

     4. Поведение кривой на границе  области существования.

     1) Вертикальная асимптота. При Уравнение вертикальной асимптоты: . При , т.е. кривая направлена вверх. Так как при этом

     

     

то кривая приближается к асимптоте слева. При  , т.е. кривая направлена вниз. При этом

     

     

поэтому кривая приближается к асимптоте  справа. Уравнение

     

выражает  условие пересечения кривой и  вертикальной асимптоты. Очевидно, кроме  , оно удовлетворяется при ; таким образом, кривая пересекает асимптоту в точке .

     2)  Горизонтальная асимптота. При   . Уравнение горизонтальной асимптоты: . При , т.е. кривая направлена вправо. Так как при этом

     

     

то кривая приближается к асимптоте сверху. При  , т.е. кривая направлена влево. Поскольку при этом

то кривая приближается к асимптоте снизу. Условие выражается уравнением

которое, кроме  , удовлетворяется при и . Этим обоим значениям параметра соответствует одна (двойная) точка пересечения кривой и горизонтальной асимптоты с координатами .

     3)  Прямолинейных наклонных асимптот  нет, так как при  функции суть бесконечно большие разных порядков относительно t.

     4)  Криволинейная асимптота.  Поскольку  при , то возможна параболическая асимптота .    Определим последовательно коэффициенты b, с. Имеем:

     

     Далее,

     

     Таким образом, при  кривая имеет параболическую асимптоту: . Уточним расположение кривой относительно этой асимптоты. Прежде всего отметим, что при , а при . Знак разности

     

показывает, что при  кривая приближается к асимптоте снизу, а при – сверху.

     Условие пересечения кривой и асимптоты, выражаемое уравнением

     

,

показывает, что имеются две точки пересечения  кривой с параболической асимптотой, соответствующие значениям параметра

     

     Для дальнейшего исследования необходимо знать первые и вторые производные:

     

     

     5.Вертикальные  и горизонтальные касательные.

     1)  Соотношения

     

приводящие  к вертикальной касательной, выполняются  при  . Таким образом, вертикальная касательная имеется в точке  , ее уравнение: . Так как при этом , то при t = 2 функция x(t) имеет максимум, и кривая расположена слева от касательной. Поскольку , то функция убывает, и большим значениям t отвечают точки кривой с меньшими значениями ординат. Других общих точек с этой касательной кривая не имеет.

     2) Аналогично, к горизонтальной касательной  приводят условия:

     

которые реализуются при  .    Горизонтальная касательная имеется в точке ; ее уравнение: . Поскольку в этой точке , то функция у(t) при имеет максимум, и кривая располагается под касательной. В силу того, что , большим значениям параметра t отвечают точки с большими абсциссами. Других общих точек с этой касательной кривая не имеет.

     6. Особая точка.

     Необходимые условия особой точки

     

выполняются при t = 0, т.е. в начале координат. Исследуем поведение кривой в окрестности этой точки. Угловой коэффициент касательной

показывает, что касательная горизонтальна, т.е. совпадает с осью Ох. Поскольку , то функция x(t) имеет при t = 0 минимум, и кривая расположена справа от оси Оу. Начало координат служит для кривой точкой возврата первого рода. При кривая расположена под касательной, а при – над касательной.

     7. Точка самопересечения.

     1) Перепишем исходную систему уравнений  в виде:

     

     Применяя  к каждому из этих уравнений теорему  Виета, находим:

                 

     Здесь – корни квадратного уравнения, а – корни кубического уравнения; при этом – суть значения параметра, отвечающие гипотетической точке самопересечения кривой. Последовательно определяем:

                ,            ,            .

(случай  х = у = 0 приводит к уже рассмотренной особой точке).  Точке  (1, –1)  отвечают значения параметра  .

     2) Вычислим производные х'(t), у'(t) при найденных значениях t:

     

     

     Определяемые, далее, по формуле  угловые коэффициенты касательных соответственно равны: Таким образом, уравнения касательных в точке самопересечения будут следующие:

     

и

     

     Обратим внимание, что касательные в двойной  точке взаимно перпендикулярны .

     3) Найдем расположение кривой относительно  касательных в точке самопересечения. Для первой касательной имеем: