Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Декабря 2013 в 17:29, реферат
Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.
Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.
Формулировка
Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.
Наиболее популярной является задача с дополнительным условием— участнику игры заранее известны следующие правила:
Итак, представьте, что вы участвуете в телешоу. Перед вами три одинаковых двери. За одной из них (неизвестно, за какой) скрывается автомобиль. Если угадаете нужную дверь, он ваш. За двумя другими дверями спрятано по козлу. Если не угадаете автомобиль, придется забирать козла, а у вас квартира маленькая и вообще. Правила игры простые. Вы тыкаете пальцем в одну из дверей (ну, например, в первую).
Затем ведущий телешоу Монти Холл (это такой буржуйский Якубович), которому точно известно, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей – причем заведомо ту, за которой скрывается козел (пусть этой дверью оказалась дверь номер два). И после этого ведущий предлагает вам изменить свое решение и выбрать другую дверь (в нашем случае дверь номер три).
Внимание, вопрос: повысятся ли шансы выиграть автомобиль, если вы согласитесь открыть не первую дверь, а третью?
Подумайте хотя бы полминуты. Если у вас был курс теории вероятности, вспомните его.
Правильный ответ: если вы измените свое решение и откроете третью дверь, ваши шансы выиграть возрастут ровно вдвое.
Не верите? Никто не верит. Поэтому эта задачка и называется парадоксом.
Ладно, давайте разберемся сами.
Вы выбрали одну из дверей (пусть дверь номер один). Разобьем двери на два множества: множество А, куда входит выбранная вами дверь, и множество В, в которое входят оставшиеся двери. Вероятность того, что автомобиль попал во множество А, равна 1/3. Вероятность того, что он попал во множество В, равна 2/3.
Если бы вам предложили вместо множества А выбрать всё множество В (открыть сразу обе двери №2 и №3), вы бы, конечно, согласились: ведь во множестве В вероятность найти авто вдвое выше.
Рассмотрим множество В пристальнее. Вы абсолютно точно знаете, что во множестве В скрывается, как минимум, один козел. Вы знаете, что во множестве В, возможно, скрывается автомобиль. Если Монти Холл откроет одну из дверей множества В и продемонстрирует вам козла, никакой новой информации о множестве В вы не получите: вы по-прежнему будете знать, что во множестве В есть, как минимум, один козел и, возможно, один автомобиль.
Таким образом, после открытия козлиной двери ничего не изменилось, и множество В по-прежнему привлекательнее с точки зрения выигрыша (см. предыдущий абзац). Выбрав неоткрытую дверь множества В, вы получаете вероятность выигрыша 2/3 против вероятности 1/3 для множества А.
По-прежнему непонятно? Ничего страшного, я одной девушке это полчаса объяснял, вспотел весь. Как потом оказалось, она считала, что за каждой дверью можно найти автомобиль с вероятностью 1/2 (50%, что найду, и 50%, что не найду). Как в том анекдоте про вероятность встретить мамонта на улице.
Ладно, если подходить к решению добросовестно, нужно расписать несколько формул.
Итак, у нас два множества: А (с выбранной на первом шаге дверью №1) и В (с двумя оставшимися дверями).
Вероятности выигрыша для дверей №2 и №3 описываются следующими формулами:
P(2)= 1/2 * 2/3 = 1/3
P(3)= 1/2 * 2/3 = 1/3
Где 1/2 - условная вероятность выигрыша для данной двери при условии, что игрок изначально выбрал дверь без автомобиля.
Ведущий, открывая проигрышную дверь (пусть дверь №2), меняет условные вероятности с 1/2 и 1/2 на 0 и 1.
P(2)= 0 * 2/3 = 0
P(3)= 1 * 2/3 = 2/3
Как мы видим, вероятность найти автомобиль за дверью №3 равна 2/3. Таким образом, после открытия двери с козлом игроку всегда выгодно менять первоначальный выбор.
Такая вот занимательная математика.