Основные свойства логарифмов

Основные  свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называютсяосновными свойствами.

Эти правила обязательно  надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log_a x + log_a y = log_a (x · y);
2. log_a x − log_a y = log_a (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь —одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут  вычислить логарифмическое выражение  даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача

Найдите значение выражения: log₆ 4 + log₆ 9.

Решение

Поскольку основания  у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: 
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Ответ

2

Задача

Найдите значение выражения: log₂ 48 − log₂ 3.

Решение

Основания одинаковые, используем формулу разности: 
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Ответ

4

Задача

Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Решение

Снова основания  одинаковые, поэтому имеем: 
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Ответ

3

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного  усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log_a xⁿ = n · log_a x;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все  эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача

Найдите значение выражения: log₇ 49⁶.

Решение

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: 
log₇ 49⁶ = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Ответ

12

Задача

Найдите значение выражения:

Решение

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2⁴; 49 = 7². Имеем:

Ответ

2

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим  на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Теорема

Пусть дан логарифм log_a x. Тогда для любого числа c такого,что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы  следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко  встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача

Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Решение

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2⁴ = 4log₅ 2;log₂ 25 = log₂ 5² = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Ответ

8

Задача

Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Решение

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся  от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Ответ

1

Основное логарифмическое  тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = log_a aⁿ

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача

Найдите значение выражения:

Решение

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Ответ

200

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ :)

Логарифмическая единица  и логарифмический ноль

В заключение приведу  два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. log_a a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. log_a 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a⁰ = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Примеры решения задач

Задание. Вычислить  , если 

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ. 

 

 

Задание. Вычислить 

Решение. Преобразуем данное выражение, используя свойство суммы логарифмов и определение натурального логарифма:

Ответ. 

 

 

Задание. Вычислить 

Решение. Преобразуем данное выражение, используя свойство логарифма степени, а также тот факт, что  :

Ответ. 

 

Задание. Решить уравнение 

Решение. ОДЗ: 

Замена:  , получаем уравнение  . По определению логарифма:

Делая обратную замену, получаем:

Оба значения принадлежат  ОДЗ.

Ответ. 

Задание. Решить неравенство 

Решение. ОДЗ: 

Перейдем в неравенства  от логарифмов к выражениям, стоящим  под знаком логарифма, при этом, так  как основание логарифма меньше единицы ( 0,5 < 1 ), знак неравенства поменяем на противоположный:

   или   

В пересечении с  ОДЗ получаем, что 

Ответ. 

Задание.	Решить уравнение
Решение.	Используем метод - решение логарифмических уравнений непосредственно по определению. Найдем область  допустимых значений (ОДЗ) заданного  уравнения. Для этого решим неравенство: Раскладываем левую  часть на множители, для этого  находим корни квадратного уравнения: Тогда неравенство  перепишется в виде: Отметим полученные корни на числовой прямой и определим  знаки в полученных интервалах. Учитывая знак неравенства определим ОДЗ: ОДЗ нашли, теперь приступим  к поиску корней исходного логарифмического уравнения: Перепишем уравнение, используя определение логарифма: Решим полученное квадратное уравнение. Можете проверить  решение на нашем онлайн калькуляторе - решение квадратных уравнений. Убеждаемся, что  полученные корни принадлежат ОДЗ.
Ответ.

 

 

Задание.	Решить уравнение
Решение.	Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ: Таким образом,  Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов и логарифма степени. Получим следующее уравнение: Приравняем подлогарифмические выражения: или после упрощения: Найдем корни  полученного квадратного уравнения: Учитывая ОДЗ, корнем исходного логарифмического уравнения  будет только
Ответ.

 

 

Задание.	Решить уравнение
Решение.	Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ: Перепишем уравнение, используя свойство разности логарифмов для левой части равенства, и внесем коэффициент в правой части как степень в подлогарифмическую функцию:    или    Приравняем подлогарифмические выражения: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а  знаменатель не равен 0. Так как  согласно ОДЗ выражение  в нуль не обращается, то найдем значения, при которых числитель равен 0: Полученное значение принадлежит ОДЗ. Подробную теорию читайте  в статье: логарифмические уравнения.
Ответ.

 

 

Задание.	Решить уравнение
Решение.	Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой. ОДЗ:  Воспользуемся свойством логарифма степени:   и вынесем степень, как коэффициент перед логарифмом: Введем замену  , тогда уравнение примет вид: Найдем корни  полученного квадратного уравнения: Вернемся к исходной переменной  : Применим свойство сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями (В полном списке свойств логарифмов это свойства №4 и №5), а затем приравняем подлогарифмические выражения: Оба значения принадлежат  ОДЗ.
Ответ.