Несобственные интегралы виды, способы решения

Министерство  образования и  науки РК

Колледж при Академии экономики  и права

 

 

 

 

На тему:

Несобственные интегралы  виды, способы решения.

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 2 курса

Группы КФ-201

Андрюшечкин М.

Проверила: Класс  Р.Г.

 

 

 

 

 

Алматы 2012

Несобственные интегралы

 

     При определении интеграла

     (1)

предполагалось, что: 1) отрезок интегрирования [a, b] конечен и 2) подынтегральная функция f(x) на этом отрезке непрерывна. Такой определенный интеграл называется интегралом в "собственном смысле", или собственным интегралом. В том же случае, когда отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, то (1) называется интегралом в "несобственном смысле" или несобственным интегралом.

Несобственный интеграл с  бесконечным пределом интегрирования.

     Пусть функция f(x) непрерывна при a ≤ x < +∞. Тогда по определению полагают

     (2)

Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным  пределом интегрирования, стоящий в  левой части равенства (2), называется сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.

    Интеграл  определяется аналогично:

     (3)

а интеграл

     (4)

при этом

     (5)

где a - любое число.

 

 

     Геометрически для неотрицательной  на [a,  ∞] функции f(x) несобственный интеграл (2) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией y = f(x), осью Ox и вертикалью x = a.

Пусть F(x) - первообразная функция для подынтегральной функции f(x). На основании (2) имеем

Если ввести условное обозначение

то получим для сходящегося  несобственного интеграла с бесконечным  верхним пределом интегрирования обобщенную формулу Ньютона-Лейбница:

где F'(x) = f(x).

Признаки сравнения     

1. Если две функции f(x) и φ(x) для всех значений x из полуотрезка [a, +∞] не принимают отрицательных значений и к тому же

f(x) ≤ φ(x)     (6)

то  сходится, если сходится интеграл , и расходится, если расходится .

  2. Если x → +∞

     (7)

причем c > 0, c ≠ ∞ и f(x) ≠ 0 для всех достаточно больших x, то интегралы и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

     3. Если сходится  , то сходится и ,где k - величина постоянная.     

Эти признаки распространяются и на интегралы вида , но относятся только к указанным выше функциям.     

4. Для решения вопроса о сходимости  интеграла  в том случае, когда функция f(x) является знакопеременной в промежутке [a, +∞], можно применить такую теорему:      

Если несобственный интеграл от абсолютной величины функции f(x) сходится, то сходится и интеграл .

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция y = f (x) непрерывна, но не ограниченая на полуинтервале [a, b). 
   Определение. Если существует и конечен предел

,

где δ > 0, то он называется несобственным интегралом (несобственным интегралом второго рода) от функции y = f (x) на [а, b) и обозначается , т.е.

                        (9.5)

В этом случае данный несобственный  интеграл (9.5) называется сходящимся, в  противном случае — расходящимся. 
   Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y = f(x) непрерывной, но неограниченной на (а, b]:

                        (9.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры решения.

Пример 1. 
   
Подынтегральная функция непрерывна на . 
 
Пример 2. 
 
Подынтегральная функция непрерывна на . 
 
Несобственный интеграл расходится.

 

Пример 3. 
 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке  
 
Несобственный интеграл расходится.

Пример 4. 
 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке  

 

 

 

Пример 5.

Вычислить интеграл .

Решение. По определению (9.6) имеем

.

Найдём интеграл под знаком предела 

,

тогда по определению окончательно получим 

                                              

 

т.е. бесконечная фигура, ограниченная осями координат, кривой  и прямой х = 1, имеет конечную площадь, равную 2 ед.²

Пример 6. 
 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке  

Пример 7. 
 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке  
 
Несобственный интеграл расходится