Нелинейные системы. Метод исследования устойчивости В.М. Попова

 

 

Министерство образования РФ

Ивановский государственный энергетический университет

Факультет информатики и вычислительной техники

Кафедра систем управления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

по дисциплине ТАУ

на тему:

 

«Нелинейные системы. Метод исследования устойчивости

В.М. Попова».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                            Выполнила: студентка группы 3-43Х

                                                                                                          Лашманова С.А.

 

                                                                                    

                                                                                        Проверил:  Таламанов С.А.

 

                                                                                                 

Иваново, 2004г.

 

 

 

 

Содержание.

 

Введение…………………………………………………………………………………………….3

1. Нелинейные системы………………………………………………………………………..4
1. Общие  понятия……………………………………………………………………………… 4
2. Уравнения систем с нелинейностью релейного типа………………………………………8
3. Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазора………………………10
4. Уравнения систем с нелинейностями других видов………………………………………..13

 

2. Частотный метод В.М. Попова……………………………………………………………..16

Заключение………………………………………………………………………………………….19

Использованная литература………………………………………………………………………..20

 

 

 

                                                                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Реальные объекты и системы автоматического управления, как правило, не являются линейными.Иногда они могут считаться линейными в известных пределах, когда характеристики нелинейных элементов близки к линейным. В остальных случаях их поведение не может быть даже приближенно описано линейными дифференциальными уравнениями, т. е. системы не могут быть представлены как линеаризованные, так как при замене нелинейной характеристики линейной не только существенно искажается количественная оценка явлений, но пропадают и качественные черты, характерные для нелинейных систем.

Изучению особенностей описания, поведения и анализа нелинейных систем и посвящен данный реферат.

 Первая часть содержит сведения о нелинейных системах автоматического управления. В реферате последовательно излагается теория нелинейных систем, которая начинается с  рассмотрения  общих понятий о нелинейных системах. Далее рассматривается методика составления нелинейных уравнений разных типов, представление их на фазовой плоскости.

Наличие нелинейных элементов в системе значительно усложняет анализ ее поведения, так как до сих пор не выработано общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому пользуются методами линеаризации уравнений (что не всегда допустимо) или применяют некоторые частные способы анализа нелинейных систем. Вторая часть посвящена методу исследования абсолютной устойчивости, разработанному известным румынским ученым В.М. Поповым.

Введенный В.М. Поповым термин «гиперустойчивостъ» определяет свойство системы, выделение которого оказывается весьма полезным при решении различных задач автоматического управления и особенно задач об устойчивости нелинейных систем. Центральным результатом теории является доказательство эквивалентности различных по форме свойств системы, в частности установление необходимого и достаточного эффективно проверяемого частотного критерия гиперустойчивости.

Результаты развитой теории применяются к задаче об абсолютной устойчивости нелинейной системы, к задаче о построении функции Ляпунова для нелинейной системы, к задаче об устойчивости в конечной области пространства состояний, к задаче об оптимизации управляемых систем с интегральным критерием качества.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Нелинейные системы.

1. Общие понятия

Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается линейность статической характеристики или же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики звена (произведение переменных или их производных, корень, квадрат или более высокая степень переменной, любая другая  нелинейная связь переменных и их производных). Перечислим виды нелинейных звеньев:

1. звено релейного типа ;
2. звено с кусочно-линейной характеристикой ;
3. звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

4)  звено, уравнение  которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

5) нелинейный импульсный  элемент;

6) логическое звено;

7) звенья, описываемые  кусочно-линейными дифференциальными  уравнениями ,в том числе переменной структуры.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые описываются нелинейными алгебраическими уравнениями, а вторые представляются в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейных систем состоит в следующем. Сначала производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейных звеньев (чаще всего одного-двух). Затем составляются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.   

                                                                                                                                      Рис.1.                                                                                                                                                                                                       

В результате получается система линейных уравнений, к которым добавляется  одно- два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщенную структурную схему любой нелинейной системы в случае одного нелинейного звена можно представить в виде рис.1, а, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п., как, например, на рис. 1, б или в). В случае двух нелинейных звеньев  могут быть различные комбинации , в зависимости  от того, в какие цепи системы они входят ( например рис. 2.).

Часто при исследовании нелинейных систем удается выделить  нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно   зависимостью между выходной и входной величинами

 

х2 = F(x1),                                                 (1)

 

которая может иметь любую форму ( релейного, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда, не удается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости вида

 

                                                              x2 = F(x1,px1),   x2=F1(x1) + F2(px2);                                                                 (2)

 

                                            F(px2,x2) = c1x1,   F1(p2x2 , px2) + F2(x2) = c1x1   и т.п.                                                     (3)

 

Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной  функции раздельно:

 

                                          F2(px2,x2) = F1(x1),  F3(px2) +F2(x2) = F1(x1),                                                                 (4)

 

или же вместе

 

 

 

                                       F2(px2, x2 , x1) = 0,  F2(x2) + F1(x2 ,x1) = 0                                                                        (5)

 

 

                  

                                                                   Рис. 2.

Разделим все нелинейные системы на два больших класса.

1. К первому  классу отнесем такие, в которых уравнение нелинейного звена приводится к любому из видов (1)-(3), т.е. когда под знаком нелинейной функции стоит только входная величина (и ее производные) либо только выходная величина (и ее производные). При этом имеется в виду, что схема системы в целом может быть приведена к виду на рис.1. с одним нелинейным звеном. К этому классу сводится также случай с двумя нелинейными звеньями, указанный на рис.2, в, так  как там они могут быть объединены в одно нелинейное звено. Сюда же относится и  случай, показанный на рис. 2, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (1) или (2)).

2. Второй класс нелинейных систем включает системы с любым числом нелинейных звеньев, когда под знаком нелинейных функций входят различные переменные, связанные между собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с одним нелинейным звеном вида (4) или (5), а также в системе с. нелинейными звеньями (рис.2, а или г), если в первом из них под знак нелинейности входит входная величина, а во втором — выходная. Система же рис.2, б  относится ко второму классу, если под знаки нелинейностей входят в обоих звеньях либо только входные, либо только выходные величины нелинейных звеньев.

Ко  второму  классу нелинейных систем относятся также системы с двумя и более нелинейностями, в уравнениях которых под знаки нелинейных функций входят разные переменные, связанные между собой нелинейными дифференциальными уравнениями (т. е. связанные через линейные части и нелинейные звенья). К таким системам относятся, например, система на рис. 2, а, если в ее уравнениях под знаками нелинейных функций находятся входные (или выходные) величины обоих нелинейных звеньев, и многие другие системы.

Системы с логическими устройствами относятся обычно к нелинейным системам второго класса.

                                                                                                                                         Рис.3.

Процессы в нелинейных системах автоматического управления имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах.

Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости системы становится здесь более сложным. Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса в отличие от линейных систем имеют значение также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса — автоколебания, т. е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий. Когда в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению управляемой величины, становится невозможным.

Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) область

 

 

устойчивости равновесного состояния с постоянным значением управляемой величины; 2) область автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным случаям.

Если процессы в системе имеют вид, указанный на рис.3, а, то равновесное состояние (х = 0) неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рис. 3, а, колебания в переходных процессах стремятся к колебаниям с одной и той же амплитудой и с одной и той же частотой, система будет обладать автоколебаниями с амплитудой а..

На рис.3, б и в показаны случаи, когда равновесное состояние (х= 0) системы устойчиво «в малом», т. е. при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», т. е. при начальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величины а.. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от него в обе стороны).

На рис. 3, г показан случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесное состояние (х= 0); 2) колебания с постоянной амплитудой а1; 3) колебания с постоянной амплитудой а2. При этом колебания с амплитудой а1 неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию х = 0, а «в большом» система будет обладать автоколебаниями с амплитудой а2.

Фазовое пространство. Для наглядного представления о сложных нелинейных процессах управления часто прибегают к понятию фазового пространства, которое заключается в следующем. Дифференциальное уравнение замкнутой системы n-ого порядка можно преобразовать к системе n дифференциальных уравнений первого порядка в виде