Модель Леоньтьева

Модель Леоньтьева  многоотраслевой экономики

                     (балансовый анализ)

 

Цель балансового  расчета- выяснить  каким должен быть объем производства каждой из N отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли .

При этом каждая отрасль вступает, с одной стороны, как производитель  некоторой продукции, я с другой- как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая  их анализировать, разработана в 1936г.  американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается  N отраслей промышленности, каждая из которых производят свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени.

Введем следующие обозначения:

Xi-общий (валовый) объем продукции i-й отрасли, потребляемой,      j-ой отрасли (i=1,2…,N)

Xij-объем продукции i-отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i, j=1,2…,N).

Yi-объем коночного продукта  i-ой отрасли для непроизводственного  потребления.

 

Так как валовый объем продукции  любой i-й трасли  равен суммарному объему продукции, потребляемой  N-отраслями, и конечного продукта, то:

Xi= + Yi  (i=1,2…,N)                    (I)

Уравнения называются соотношениями  баланса. Будем рассматривать  стоимостный  межотраслевой баланс, когда все причины входящие в этом  выражении имеют стоимостное выражение.

Выведем коэффициенты прямых затрат:

               aij=                   (I, j =1,2…,N)                 (II)

показывающие затраты  продукции  i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли.

Можно полагать, что в некотором  промежутке времени коэфиценты  аij будут постоянными и зависящими  от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат  от валового выпуска, т.е.

 Xij= aij X            (I,l=1,2….,N)                       (III)

 Вследствие чего построенная на этом основании  модель межотраслевого  баланса получила название линейной.

Теперь соотношение баланса  примут вид:

Xij=  Xj+Yi                   (i=1,2…,N)                  (IV)

 

 

 

Обозначим:

           X₁                                                                                 y₁

X=       X₂                                                                    Y=   y₂

           …                                                      …

           Xn                                                     Y_n

            a₁₁         a₁₂         …         a_1n

            a₂₁          a₂₂        …          a_2n

A=        …           …          …          …

            a_n1         a_n2         …          a_nn

Где X –вектор валового  выпуска, Y- вектор конечного продукта, А –матрица прямых затрат.

Тогда систему можно записать в  матричном виде:

                                  X=AX+Y                      (V)

Основная задача межотраслевого баланса  состоит в отыскании  такого вектора  валового выпуска Х, который  при известной матрице прямых затрат  А обеспечивает  заданный вектор конечного продукта Y,

 Перепишем уравнение в виде:

                                    (Е-А)Х=Y                                           (VI)

Если матрица  (Е-А) невыражденная, т. Е. (Е-А)≠0, то по формуле: (IV)

                                Х=(Е-А)^-1Y = SY                                            (VII)

Матрица  S=(E-A)^-1    называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элемента матрицы S=(sij), будем задаваться еденичными векторами конечного продукта Y1=(1,0…,0),  Y2=(0,1…,0), Yn=(0,0…,1)

Тогда по формуле (VII) соответствующие векторы валового выпуска будут:

X1= (S₁₁,S₂₁,…,S_n1)

X2=(S₁₂,S₂₂,…,S_n2)

…

Xn=(S_1n,S_2n,…,S_nn)

Следовательно, каждый элемент Sij  матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого  для конечного продукта  j-й отрасли.

Yj=1  (j=1,2,...,N)

В соответствии с экономическим  смыслом  значения Xi должны быть неотрицательны  при неотрицательных значениях Yj≥0 и aij≥0, где i,j=1,2…,N

Матрица  А≥0 называется продуктивной,  для любого вектора  Y≥0 существует решение X≥0 уравнения (VI). В этом случае и модель  Леонтьева называется продуктивной.

 Существует несколько критериев продуктивности  матрицы А.  Один из них говорит  о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов  ее столбцов сумма элементов меньше единицы, т.е. матирца А продуктивна, если м aij≥0 для любых I,l=1,2,…,N и  max ≤1, и существует номер j такой, что

 <1.

 

              Пример:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовый выпуск
		1	2
Производство	1	100	160	240	500
	2	275	40	400	400

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться  в 2 раза, а второй отрасли – на 20%.

Х₁ =500                                                                 Y₁=240

Х₂ =400                                                                 Y₂=85

 

Х₁₁=100                                Х₂₁=275

Х₁₂=160                                Х₂₂=40

 А=     0,2         0,55

           0,4         0,1         max      {0,6;0,65}    =0,65<1

 

E-A=     1       0      -            0,8        -0,55

             0        1                  -0,4         0,9

Х₁₁=(-1)² *0,9=0,9

Х₁₂=(-1)³*(-0,4)=0,4

Х₂₁=(-1)³*(-0,55)=0,55

Х₂₂=(-1)⁴*0,8=0,8

 

0,9             0,55     *            1         *        480       =          976,2

0,4             0,8                     0,5                 102                   547,2