Моделирование экономических процессов с помощью дифференциальных уравнений

Итак, Если то   или

Следовательно, отношение  стремится к константе как к своей равновесной величине. Это равновесное значение прямо пропорционально доле сбережений в доходе и обратно пропорционально темпу роста рабочей силы .

Глава 4. Модели, в основе которых, лежат  неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами.

§1. Теоретические сведения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение  второго порядка с постоянными  коэффициентами и правой частью

 (18)

Штрихи определяют производные от по . Структура общего решения этого уравнения имеет вид:

где — любое частное решение неоднородного уравнения (18) и — общее решение соответствующего однородного уравнения, а именно

.                              (19)

Ищется следующим образом.

Составим  характеристическое уравнение (по правилу: ):

 (20)

Возможны три  случая:

1. Корни характеристического уравнения действительные

       различные, т.е. . Имеет место .

2. Корни характеристического уравнения действительные равные, т.е . Имеет место .
3. Корни характеристического уравнения комплексносопряженные . Имеет место .

Во  всех приведенных трех случаях  , — произвольные постоянные. Частное решение уравнения (18) можно подобрать по виду правой части, если она некоторого специального вида, а именно

                                      (21)

§2. Модель рынка с прогнозируемыми  ценами.

Исследовать динамику цены на товар, если прогноз спроса и предложения описывается следующими соотношениями:

Решение. Равновесное состояние рынка характеризуется равенством: . Если учесть это равенство, то после

упрощений получаем: . Общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет структуру , где — общее решение однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение , которое имеет комплексные корни: . Следовательно, , где и — произвольные постоянные.

Поскольку правая часть  , то из сравнения ее со специальной правой частью (21) следует, что , т.е. не является корнем характеристического уравнения ( ).  Поэтому частное решение будем искать в виде многочлена нулевой степени . После подстановки в исходное уравнение получим . Итак, искомое решение, выражающее характер изменения цены, имеет вид .

Следует отметить, что полученное решение обладает устойчивостью, поскольку при . Это значит, что цена стремится к равновесному значению цены с колебаниями относительно стационарного значения. Причем амплитуда этих колебаний уменьшается со временем и стремится к нулю при .

§3. Модель Эйзнера-Штротца.

В рассматриваемой модели фирма  решает вопрос об использовании акционерного капитала для расширения завода. Прибыль фирмы зависит от масштаба завода и имеет вид . Затраты , связанные с расширением производства, пропорциональны скорости расширения . Таким образом, мы имеем возрастающую функцию . Если функция затрат адекватно отражает трудности приведения в соответствие масштаба расширения завода и затрат, то, определив траекторию , мы можем рассматривать ее производную , как оптимальную траекторию чистого инвестирования без использования механизма акселерации. Задача фирмы сводится к следующему:

найти траекторию , которая максимизирует ее общую

прибыль

                                                (22)

при начальном условии ( — процент дисконтирования).

Решение. Необходимое условие экстремума функции (22) выражается уравнением Эйлера

, (23)

где и нижние индексы , определяют соответствующие частные производные (см. ниже).

Предположим, что обе функции и являются квадратическими:

  Тогда

.  Находим частные производные: , где , . После упрощений уравнение (23) примет вид:

.

В результате получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решая которое мы найдем оптимальную траекторию

, где .

Глава 5. Экономические модели, построенные  на основе систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфициентами.

§1. Теоретические сведения.

Рассмотрим линейную систему  дифференциальных уравнений вида:

,    (24)

где — непрерывные функции в некотором интервале, а все коэффициенты постоянные. Проще всего та кая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Запишем эту систему в матричной форме:  

     ,                                                       (25)

где  . Общее решение системы (25) имеет структуру:

,                                                (26)

где - общее решение однородной системы

                                                       (27)

Рассмотрим метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Согласно этому методу будем  искать решение системы (27) в виде:

,    (28)

Где — некоторый неизвестный вектор-столбец, — неизвестное число. Подставляя (28) в уравнение (27), получаем матричное равенство:

. (29)

Из  линейной алгебры известно, что число , удовлетворяющее уравнению (29), называется собственным числом или собственным значением матрицы , а вектор — собственным вектором, соответствующим собственному значению . Последнее находится из так называемого характеристического уравнения

, (30)

где — единичная матрица размера . Для заданного собственного числа компоненты соответствующего собственного вектора находятся из системы линейных однородных уравнений:

                                  (31)

При решении этой системы возможны следующие  случаи:

1. Все корни характеристического уравнения (30) действительны и различны.

В этом случае функции вида линейно независимы (здесь — собственный вектор, соответствующий собственному значению ). Общее решение системы (27) имеет вид в матричной форме:

.

2. Корни характеристического уравнения (30) действительны, но среди них есть кратные. В этом случае для корня , кратности решение системы (27) ищем в виде: , где — некоторые векторы-столбцы, которые определяются из некоторой системы линейных алгебраических уравнений, возникающих после подстановки в систему.
3. Характеристическое уравнение (30) имеет комплексные различные корни.

Если матрица действительна, то корни характеристического уравнения (30) распадаются на пары сопряженных комплексных чисел. Пусть и одна из таких пар. Тогда в систему линейно независимых решений попадает два комплексных решения: , где и — комплексно-сопряженные собственные векторы, соответствующие комплексно-сопряженным собственным значениям . В результате вид получается из заменой компонент на комплексно-сопряженные. Согласно теории, для того, чтобы сделать решение действительным, достаточно взять действительную и мнимую части одного из решений: .

Построенная таким образом система решений, так называемая фундаментальная система решений, будет состоять из действительных функций.

Среди корней характеристического  уравнения имеются кратные комплексные  корни. В этом случае решение следует  искать по аналогии со случаем 2. Отделив  затем действительные и мнимые части, получим так называемую фундаментальную систему (линейно-независимых) решений из действительных функций.

Заметим, что  рассмотренные четыре случая, конечно, не охватывают всех возможных сочетаний  корней характеристического уравнения, однако представляют наиболее типичные случаи.

          Обратимся, наконец, к поиску частного решения системы (25). Говорят, что система (25) имеет правую часть специального вида, если вектор имеет вид: , где , — векторные многочлены вида   (необязательно одного порядка) с векторными коэффициентами . Для линейных систем с правой частью специального вида частное решение можно искать в той же форме, что и правая часть, но с неопределенными коэффициентами. Эти коэффициенты определяются после подстановки искомого решения в уравнение и приравнивания подобных членов в левой и правой частях матричного уравнения. Изложенный метод известен как метод неопределенных коэффициентов.

§2. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.

Эта задача уже рассматривалась  в главе 1, где была выведена следующая система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами: .

Решение. Решим эту систему методом исключения неизвестных. Для этой цели продифференцируем второе уравнение: .

          С учетом первого уравнения системы получаем дифференциальное уравнение второго порядка .

           Обозначим и составим характеристическое уравнение . Следовательно, . Напомним, что . Таким образом: , .

 

§3. Задача о разведчике.

Задача  о разведчике (Задача В.И. Малыхина).

В одном засекреченном городке  ровно 100 000 рабочих и служащих работало на трех крупных заводах А, В и С (других заводов в городе не было). Разведчику удалось достать данные о текучести кадров. Оказалось, что за год из каждой тысячи работающих с завода А — 20 человек переходит на завод В и 15 человек — на завод С, в то же время с завода В — 7 человек переходит на завод А и 10 человек на завод С, наконец, с завода С 10 человек переходит на завод В и 8 человек на завод А. Городок тем не менее жил стабильной спокойной жизнью уже много лет. В этих условиях разведчику удалось установить численность работающих на каждом из заводов. Попробуем повторить его рассуждения и расчеты, опираясь на теорию дифференциальных уравнений.

Пусть — численность работающих на заводе А, В и С, соответственно. Тогда текучесть кадров на упомянутых заводах соответствует скорости изменения численности работающих и, следовательно, равна первым производным функций по .

Используя вышеприведенные  данные о текучести кадров составим следующую систему дифференциальных уравнений

Последнее равенство, добавленное  к системе трех линейных дифференциальных уравнений, описывающих текучесть кадров, представляет собой так называемое нормировочное уравнение. С другой стороны, это соотношение определяет начальные условия для решения задачи Коши приведенной системы.

Вводя обозначения  .

(Т — знак транспонирования) и записывая матрицу системы

будем иметь систему дифференциальных уравнений в матричном виде .

Для получения общего решения  системы дифференциальных уравнений  запишем характеристическую матрицу 

характеристический  определитель

И, приравняв последний к нулю, найдем собственные числа матрицы , а затем собственные векторы , соответствующие найденным собственным числам

В результате общее решение системы  дифференциальных уравнений имеет  вид

где — произвольные постоянные.

Из полученного общего решения  системы дифференциальных уравнений нетрудно видеть, что приведенная система дифференциальных уравнений обладает предельными стационарными решениями при . Действительно, в этом случае первое и второе слагаемое в приведенном выражении исчезают и остается лишь среднее постоянное слагаемое.

Собственно стационарные решения  удобнее найти из условия равенства нулю правых частей системы дифференциальных уравнений, а именно