Методы решения СЛУ и векторная алгебра

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Кафедра математического моделирования в экономике 

Контрольная работа

Методы решения СЛУ и векторная алгебра

 Выполнила  студентка  I курса

Вечерне-заочного факультета

(специальность «Менеджмент 3,1 (СПО)»)

Наталья Александровна Васильева 

 

 Научный руководитель – 

преподаватель

Е.М Сошникова

 

 

 

 

Киров 2014

 

 

 

1. Решить систему линейных уравнений  по формулам Крамера:

 

x1 - x2 + x3 = 6

x1 - 2x2 + x3 = 9

x1 - 4x2 - 2x3 = 3

Решение:

Находим определитель:

∆ =	1   -1     1   1   -2   1   1   -4   -2	=	3

Теперь подставляем в каждый столбец свободные члены уравнения:

∆1 =	6   -1     1   9   -2   1   3   -4   -2	=	-3

 

 

∆2 =	1   6     1   1   9   1   1   3   -2	=	-9

 

 

∆3 =	1   -1   6   1   -2   9   1   -4   3	=	12

 

Х1=	∆1	=	-3	=	-1
	∆		3

 

 

 

 

	∆2	=	-9	=	-3
	∆		3

 

 

Х2=

 

∆3	=	12	=	4
∆		3

 

Х3= Ответ: Х1=-1, Х2=-3, Х3=4.

2. Решить систему линейных уравнений  матричным методом:

2x1 - x2 - x3 = 4

3x1 + 4x2 - 2x3 = 1

3x1 - 2x2 + 4x3 = 1

Решение:

A=	2   -1   -1   3   4   -2   3   -2   4

B=

4 1 1

X=

x1 x2 x3

A · X = B 
значит 
X = A-1 · B

Находим определитель матрицы А:

│А│=2·4·4+-1·-2·3+-1·3·-2--1·4·3--1·3·4-2·-2·-2=60

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А:

M1,1 = (-1)1+1

4     -2   -2   4

=

12

M1,2 = (-1)1+2

3     -2   3   4

=

-18

 

 

M1,3 = (-1)1+3

3     4   3   -2

=

-18

M2,1 = (-1)2+1

-1     -1   -2   4

=

6

 

M2,3 = (-1)2+3

2     -1   3   -2

=

1

 

M2,2 = (-1)2+2

2     -1   3   4

=

11

 

 

M3,1 = (-1)3+1

-1     -1   4   -2

=

6

M3,2 = (-1)3+2

2     -1   3   -2

=

1

 

C* =	12   -18   -18   6   11   1   6   1   11

M3,3 = (-1)3+3

2   -1   3   4

=

11

 

Транспонируем полученную матрицу:

C*T =

12   6   6   -18   11   1   -18   1   11

 

 

 

Найдем обратную матрицу

A-1 =  C*T =  │А│

1/5   1/10   1/10   -3/10   11/60   1/60   -3/10   1/60   11/60

Найдем решение

X = A-1 · B =

1/5   1/10   1/10   -3/10   11/60   1/60   -3/10   1/60   11/60

·

4 1 1

=

1 -1 -1

Ответ:	x1 =	1	,	x2 =	-1	,	x3 =	-1	.

 

 

 

 

3. Решить систему линейных уравнений  методом Гаусса:

x1 + 2x2 - 3x3 - 4x4 = 4

2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4 = 4

x1 + x2 - 2x3 - 2x4 = 2

4x1 + 3x2 - 4x3 - 6x4 = 3

Решение:

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

	1	2	-3	-4	4
	2	3	-4	-5	4
	1	1	-2	-2	2
	4	3	-4	-6	3

 

 
от 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; 1; 4

	1	2	-3	-4	4
	0	-1	2	3	-4
	0	-1	1	2	-2
	0	-5	8	10	-13