Матрицы и определители

Матрицы и определители

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Определители 2-го порядка

1. Определения. В ряде вопросов математики используются некоторые специальные выражения, называемые определителями (или детерминантами). Простейшие из них – это так называемые «определители 2-го порядка». Покажем, как эти определители возникают при решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему

а₁x + b₁y = c₁,

а₂x + b₂y = c₂.

Чтобы исключить неизвестное у, умножим второе уравнение на b₁ и вычтем то, что получится, из первого уравнения, умноженного на b₂. В результате окажется

(а₁ b₂ – а₂ b₁) х = c₁ b₂ – c₂ b_1.

Коэффициент при х записывается в виде и называется определителем 2-го порядка. Таким образом, определитель 2-го порядка есть некоторое число, определяемое как числами а₁, а₂, b₁, b₂, так и их взаимным расположением. Это расположение задается квадратной таблицей .

Чтобы подчеркнуть,  что эта таблица рассматривается как нечто целое,   ее   окаймляют    круглыми   скобками   или    двумя   парами вертикальных чёрточек: или .

Такие таблицы называют матрицами 2-го порядка. Про определитель говорят, что он порождён матрицей. Необходимо чётко понимать разницу между определителем и матрицей . Первый есть число, а вторая – просто таблица, составленная из четырёх чисел.

Итак, определителем матрицы называется число, находимое по формуле:

Det

= а₁ b₂ – а₂ b₁.

Числа а₁, а₂, b₁, b₂ называют элементами определителя и порождающей его матрицы. Различают также первый столбец и второй столбец , первую строку       и вторую строку . Строки и столбцы определителя называют рядами. Пара чисел а₁, b₂ образуют главную диагональ (+) определителя, пара чисел а₂, b₁ – вторую диагональ (–).

Примеры.

= 35 – 12 = 23; = 24 + 2 = 26; = 0; = 1.

 

2. Основные свойства определителей 2-го порядка.

I. Определитель не изменится, если его строки превратить в столбцы, а столбцы в строки (равноправность строк и столбцов):

= .

II. При перестановке строк (столбцов) определитель меняет знак:

= –  .

III. Если строки (столбцы) определителя одинаковы, то определитель равен нулю: =0.

IV. Если все элементы одной из строк определителя умножить на некоторое число, то весь определитель умножится на это число, т.е. общий множитель элементов одной строки можно вынести за знак определителя:

=q .

V. Если элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю:

=0.

VI. Если к одной из строк прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится:

= .

§ 2. Определители 3-го порядка

1. Определение. Определителем третьего порядка называется число:

= a₁ b₂ c₃ + a₂ b₃ c₁ + a₃ b₁ c₂ – a₃ b₂ c₁ – a₂ b₁ c₃ – a₁ b₃ c₂ .

Примеры.

= 72 + 280 +18 – 168 – 135 – 16 = 51.

= -9 + 28 – 20 – 10 – 24 – 21 = – 56.

2. Основные свойства определителей 3-го порядка.

Те же свойства, что и у определителей 2-го порядка.

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Если в матрице 3-го порядка вычеркнуть строку и столбец, то определитель, порождённый оставшейся матрицей 2-го порядка, называется минором того элемента, на котором пересекаются вычеркнутые ряды.

Алгебраическим  дополнением элемента называется минор этого элемента, умноженный на (-1)^p , где р – сумма номеров рядов, пересекающихся , пересекающихся на нашем элементе.

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов парных произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

= a₁ A₁ + a₂ A₂ + a₃ A₃.

§ 3. Операции над матрицами.

Матрицы подобно векторам можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции:

1°. Суммой двух матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица С = (c_ij), элементы которой определяются равенством a_ij + b_ij = c_ij, (i = 1, 2, … , m;  j =1, 2, ... , n).

Обозначение: A + В = С. 

Пример 1.

+ = = .

Аналогично определяется разность двух матриц. a_ij – b_ij = c_ij,

Обозначение: A – В = С.

Свойства операции сложения матриц:

1. коммутативность: А + В = В + А.
2. ассоциативность: (А + В) + С = А + (В + С).
3. Дистрибутивность: k×(А + В) = k×А + k×В, (k + t)×А =k×А + t×А

2°. Произведением матрицы А = (a_ij) на число k, называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:           k×А = k×(a_ij) = (k×a_ij), (i = 1, 2, … , m;  j =1, 2, ... , n).

Пример 2.

3×

= = .

3°. Произведением матрицы А = (a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = ((b_ij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С = (c_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т. е.

c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + … +  a_ik b_kj (i = 1, 2, … , m;  j =1, 2, ... , n).

При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено. Произведение обозначается так: А×В = С.

Пример 3.

× = = .

Пример 4. Пусть А = , В = , тогда А×В = × = , а

В×А = × = .

Отсюда получаем, что А×В ¹ В×А, т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.

Непосредственной проверкой  можно убедиться, что для суммы  и произведения матриц справедливы  следующие соотношения:

(А + В)×С = А×С + В×С;   С×(А + В) = С×А + С×В;      (А×В)×С = А×(В×С);

4°. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элементов а₁₁, а₂₂, … , а_nn   rвадратной матрицы А = (a_ij) называется главной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.

Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Е =

Единичная матрица обладает замечательным свойством, а именно: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

А×Е = Е×А = А

§ 4. Ранг матрицы.

Рангом матрицы А  называют наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А.

Пример.

A = меняем местами 1 и 2 столбцы: A ~ , затем умножаем первую строку на ½: А ~ , прибавляем к 3 столбцу удвоенный первый столбец: А ~ . Умножим 1 строку на 4 и сложим со 2-й строкой, затем на (-1) и сложим с 3-й, и наконец, на (–5) и сложим с 4-й. В результате этих элементарных преобразований получится матрица, эквивалентная исходной:

 А ~ . Далее последовательно будем преобразовывать строки и столбцы матрицы, не меняя 1-й строки и 1-го столбца:

1) умножим 2-ю строку  на (–1);

2)  умножим 2-ю строку на (–3) и сложим с 3-й строкой;

3) умножим второй столбец  на (–3) и сложим с 3-м столбцом. В результате этих элементарных преобразований последовательно получаются матрицы:

 ~ ~ .

Не все миноры 2-го порядка  равны 0, а значит rang (А) = 2.

§ 5. Решение систем линейных уравнений.

1. Формулы Крамера.

Теорема Крамера. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причём каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой служит определитель системы, а числителем, определитель, получаемый из знаменателя заменой столбца коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом свободных членов.

2x+3y-z=5,

x+y+2z=7,

2x-y+z=1.

D=18. D_x=8, D_y=38, D_z= 40.

Замечание: 1. Если D<>0, то система имеет единственное решение;

2. Если D=0, то при D_x=D_y=D_z=0, то система имеет бесконечное множество решений (неопределённая), а при D_x<>0 или D_y<>0 или D<>0, то система не имеет решений (несовместна);

 

2. Метод Гаусса исключения  неизвестных.

«Исключение неизвестных» означает построение равносильной системы линейных уравнений, имеющей ступенчатый вид, т.е. x₁ может содержаться не более, чем в одном уравнении, х₂ – не более чем в двух и т.д.

Пример 1.

  x₁ + 2х₂ + 3х₃ – 2х₄ = 6,

2x₁ – х₂   – 2х₃ – 3х₄ = 8,

3x₁ + 2х₂ – х₃ + 2х₄ = 4,

2x₁ – 3х₂ + 2х₃ + х₄ = – 8.                    Ответ: (1, 2, –1, 2).

Пример 2.

  x₁ + 2х₂ + 3х₃ – 2х₄ = 6,

2x₁  – х₂   – 2х₃ – 3х₄ = 8,

3x₁ + 2х₂  – х₃ + 2х₄ = 4,

5x₁  +  х₂  – 3х₃  – х₄ = 14.

Ответ: (23 – 10,8х₄, –4 – 3,4х₄, 2х₄+ 3, х₄).

3. Матричная запись системы линейных уравнений.

Рассмотрим снова систему  уравнений, имеющую основную матрицу А.

Используя правило умножения  матриц, систему можно записать в  эквивалентном матричном виде:

(*)         А×Х = Н 

Пусть определитель D матрицы А отличен от нуля. Тогда, система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

Дадим теперь другую форму  записи решения матричного уравнения (*). Для этого введем понятие обратной матрицы.

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначение А^-1), которая удовлетворяет условиям

А^-1×А=А×А^-1= Е,

где Е — единичная матрица.

Если определитель D ¹ 0, то обратной для матрицы А является следующая матрица:

А^-1 =

,

где, как и ранее, А_i, В_i, С_i – алгебраические дополнения соответственно элементов a_i, b_i, c_i ( i = 1, 2, 3).

Матрицы А и А^-1 называются взаимнообратными.

Замечание. Если определитель матрицы А равен нулю (D = 0), то обратная матрица не существует.

Воспользуемся обратной матрицей для решения уравнения (*). Умножая уравнение слева на матрицу А^-1, получаем

А^-1×А×Х = А^-1×Н

Так как А^-1×А = Е, а Е×Х = X, то X = А^-1×Н.

Пример. Решить систему уравнений

    x + 2y + z = 1,

2x + y + z = – 1,

  x + 3y + z = 2,

Имеем

A =

, H = .

Определитель матрицы А D = 1 ¹ 0. Следовательно, матрица А имеет обратную. Находим А^-1 = . Используя матрицу А^-1 и равенство X = А^-1×Н. получаем: = × = , откуда х = – 1, у = 1, z = 0.

Теоретический материал Высшая математика Базяк Г. В.