Матрицы и определители

Министерство образования  и науки

ФГБОУ ВПО 

Уральский государственный  экономический университет

 

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: Линейная алгебра

по теме: Вариант №4

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: студентка

Специальность: Экономика

Группа:

 

 

 

 

 

 

 

 

Новоуральск

2011

 

Матрицы и определители

 

 

Задание: вычислить определитель

 

 

Решение:

Запишем разложение определителя по первой строке:

 

 

 

 

 

 

Задание: найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

 

 

Решение:

 

 

Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

Таким образом, получаем матрицу:

Полученную матрицу транспонируем:

 

 

Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и  получаем обратную матрицу:

 

Осуществляем проверку полученного результата. Для этого находим произведение полученной матрицы на исходную:

Таким образом, получили в результате единичную матрицу. Следовательно, обратная матрица была найдена верно.

 

Система линейных уравнений

 

 

Задание: решить систему линейных уравнений двумя способами: методом обратной матрицы, методом Гауса

 

 

Решение методом обратной матрицы:

Упорядочим  переменные, при этом система примет вид

 

Запишем матрицу  преобразованной системы

и матрицу-столбец свободных членов

Найдём  определитель матрицы

Найдём  матрицу, обратную к матрице А. Для  этого

 

 

 

Полученную  матрицу делим на определитель исходной матрицы и записываем обратную матрицу:

В матричной  форме система имеет вид: . Пусть существует обратная матрица к матрице системы . Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец , который находится по правилу:

 

Таким образом:

 

Проверяем полученное решение

 

 

 

Решение методом Гаусса:

 

Упорядочим  переменные, при этом система примет вид

Составляем расширенную матрицу  системы, в которую входят коэффициенты при переменных и свободные члены:

Чтобы исключить переменную из 3-го уравнения, к первой строке прибавляем 3-ю строку, умноженную на

Чтобы исключить переменную из 3-го уравнения, ко второй строке прибавляем 3-ю строку, умноженную на

Преобразуем в систему

Отсюда последовательно находим:

 

 

 

Таким образом:

 

Проверяем полученное решение

 

 

Уравнение Плоскости

 

Задание:

Даны две точки  и .

1. Составить общее уравнение  плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору .

2. Определить длины отрезков, отсекаемые плоскостью от осей координат.

Сделать чертеж.

 

Решение:

 

Найдём координаты вектора нормали

Получаем координаты вектора нормали

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , находится по формуле:

 

,

где:

 

тогда:

 

 

Общее уравнение плоскости в  пространстве примет вид:

 

Найдём длину отрезка АВ по формуле:

где координаты отрезка в пространстве:

 

Найдём длину отрезка CD по формуле:

где:

координаты точки вектора в  пространстве:

координаты точки на плоскости:

Так как плоскость параллельно  оси ОХ, то координаты точки на плоскости, перпендикулярна вектору  будет:

 

 

 

 

Ответ:

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору примет вид:

Длины отрезков, отсекаемые плоскостью от осей координат: