Математические функции

 

Введение:

«Когда математика стала  изучать переменные величины и функции, лишь только она научилась описывать  процессы, движение, так она стала необходима всем», так говорил Фридрих Энгельс.

 

На сегодняшний день без  функций невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных  реакторов, и бег океанской волны  или закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологичных процессов, прогнозировать течение химических реакций или  изменение численности различных  взаимосвязанных в природе видов  животных и растений, потому что  все это – динамические процессы, которые описывает функция. Они  отражают взаимосвязи, существующие между  различными жизненными категориями (объектами), т.е. фактически являются отражениями функциональных зависимостей и доказывают, что функция - это сама жизнь.

 

 

 

 

1. Понятие функции

 

Понятие функции – одно из основных в математике. На уроках вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

        Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения  функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая  функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

 

 

 

 

 

 

2. Свойства функции

Монотонная  функция. Если для любых двух значений аргумента  x₁  и  x₂ из условия  x₂ > x₁ следует  f ( x₂ ) > f ( x₁ ), то функция  f ( x ) называется возрастающей; если для     любых  x₁  и  x₂  из условия  x₂ > x₁ следует  f ( x₂ ) < f ( x₁ ), то функция  f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной. 

 

Ограниченная  и неограниченная функции. 

Функция называется  ограниченной, если существует такое положительное число M, что |  f ( x ) |   M для всех значений  x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.  

 

П р и м е р ы .

 

 

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная.  

 

Непрерывная и разрывная функции. 

Функция  y = f ( x ) называется непрерывной в точке  x = a, если : 

 

 

 1)  функция определена при  x = a,  т.e.  f ( a ) существует;  

 

 

 2)  существует конечный предел  lim  f ( x ) ;                                                         

x→a 

3)   f ( a ) = lim  f ( x ) .                   

      x→a  

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке  x = a. 

 

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

 

Чётная  и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место:  f ( x ) =  f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( x ) =  f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симметричен относительно оси Y  ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

 

 

Периодическая функция. Функция  f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого  x  из области определения функции имеет место:   f ( x + T ) =  f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. 

 

П р и м е р   1 .   Доказать, что  sin x  имеет период 2   

 

Р е ш е н и е .     Мы знаем, что  sin ( x+ 2 n ) = sin x,  где  n = 0,  1,  2, …                           

 Следовательно, добавление  2 n  к аргументу синуса не                            

меняет его значение. Существует ли другое число с таким                            

же свойством ?                           

 Предположим, что  P – такое число, т.e. равенство: 

 

 

                                                           sin ( x+ P ) = sin x,                              

 

 

                            справедливо для любого значения  x. Но тогда оно имеет                           

 место и при  x =   / 2 , т.e. 

 

 

                                                    sin (   / 2 + P ) = sin   / 2 = 1. 

 

 

                             Но по формуле приведения  sin (   / 2 + P ) = cos P.  Тогда                             

из двух последних равенств следует, что  cos P = 1, но мы                               

 знаем, что это верно лишь при P = 2 n. Так как наименьшим                             

 отличным от нуля числом из  2 n  является  2 , то это число                            

 и есть период  sin x. Аналогично доказывается, что  2                               

является периодом и для  cos x .  

 

Нули  функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем ) функции. Функция может иметь несколько нулей. Например, функция  y = x ( x + 1 ) ( x - 3 ) имеет три нуля: x = 0, x = -1, x = 3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями:  x = a,  x = b  и  x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.

 

3. Способы задания функции.

 
Задать функцию - это значит задать правило или закон, согласно которому по данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у. 
 
Рассмотрим способы задания функции: 

1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул.

Например: y = x² + 2x

2. Графический способ - это задание функции в виде графика.

Например:

 

 

3. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы.

Например:

 

4. Словесный способ.

Например:

 Так называемая функция  Дирихле задается следующим образом: 

 функция у равна 0 для всех рациональных и 1 для всех иррациональных значений аргумента х.

Такая функция не может  быть задана таблицей, так как она  определяется на всей числовой оси  и множество значений ее аргумента  бесконечно.

Графически данная функция  также не может быть задана.

 

 

 

 

 

4.Графики функции

	Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0
	Гипербола - график функции  . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0).
	Экспонента (показательная функция по основанию е) у = еx. (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс.
	Логарифмическая функция y = logax (a > 0)
	у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π
	Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на  )
	Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х =  (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Элементарные функции

 

 

6.Сложные функции

Рассмотрим функцию:

y = sin ² ( 2x ) . 

 

Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований:  

 

u = 2x  --> v = sin u  --> y = v ² , 

 

что может быть записано в общем виде с помощью символов функциональных зависимостей: 

 

u = f ₁ ( x )  --> v = f ₂ ( u )  --> y = f ₃ ( v ) , 

 

или короче:

y = f { v [ u ( x ) ] }. 

 

Мы имеем здесь не одно правило соответствия для преобразования x в y, а три последовательных правила соответствия (т.е. функции ), используя которые мы получаем  y  как функцию от  x. В этом случае мы говорим, что  y – сложная функция от  x.                                                                                                   

                     

 

 

                                           

 

 

7. Числовая функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить  график функции, обратной к функции  y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Обратная функция

 
Если поменять ролями аргумент и  функцию, то  x  станет функцией от  y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию: 

 

v = u ² , 

 

где  u - аргумент, a  v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим  u  как функцию  v :

Если обозначить аргумент в обеих функциях через  x , а функцию – через   y,  то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

 

П р и м е р ы .  Эти функции являются обратными друг к другу:                        

 

1)  sin x  и  Arcsin x,  так как, если  y = sin x,  то   x = Arcsin y;

2)  cos x  и  Arccos x,  так как, если  y = cos x,  то  x = Arccos y;

3)  tan x  и  Arctan x,  так как, если  y = tan x,  то   x = Arctan y;

4)  e^x  и  ln x,  так как, если  y = e^x ,  то  x = ln y.

 

 

 

9. Заключение

При изучении данной темы я  углубленно разобрала основные виды функций, а так же подробно изучила  их графики.

В ходе своей работы я  прошла путь от знакомства с истоками и началами понятия функций к  исходящим от данного понятия  темам. А так же на примерах смогла самостоятельно разобраться в данной теме.

В итоге благодаря этому  реферату я не только узнала много  нового, но и смогу детально объяснить его смысл окружающим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: "Дрофа", 2000 года.
2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.
3. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: "НГТУ", 2002 года.
5. Вириченко Н. А. Графики функций. Справочник, 1979 года.
6. Гроссман С. Математика для биологов, М: Высшая школа, 1983 года.