Древние
греки решали уравнения с неизвестными
посредством геометрических построений.
Были разработаны специальные
построения для выполнения сложения,
вычитания, умножения и деления
отрезков, извлечения квадратных корней
из длин отрезков; ныне этот метод называется
геометрической алгеброй.
Приведение
задач к геометрическому виду
имело ряд важных последствий.
В частности, числа стали рассматриваться
отдельно от геометрии, поскольку
работать с несоизмеримыми отношениями
можно было только с помощью
геометрических методов. Геометрия
стала основой почти всей строгой
математики, по крайней мере, до1600.
И даже в 18 в., когда уже были
достаточно развиты алгебра и
математический анализ, строгая
математика трактовалась как
геометрия, и слово "геометр"
было равнозначно слову "математик".
Именно
пифагорейцам мы во многом
обязаны той математикой, которая
затем была систематизированно изложена
и доказана в "Началах" Евклида. Есть
основания полагать, что именно они открыли
то, что ныне известно как теоремы о треугольниках,
параллельных прямых, многоугольниках,
окружностях, сферах и правильных многогранниках.
Одним
из самых выдающихся пифагорейцев
был Платон (ок. 427 – 347 до н. э.). Платон
был убежден, что физический мир постижим
лишь посредством математики. Считается,
что именно ему принадлежит заслуга изобретения
аналитического метода доказательства.
Аналитический метод начинается с утверждения,
которое требуется доказать, и затем из
него последовательно выводятся следствия
до тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь
известный факт; доказательство получается
с помощью обратной процедуры. Принято
считать, что последователи Платона изобрели
метод доказательства, получивший название
"доказательство от противного".
Заметное место в истории математики занимает
Аристотель, ученик Платона. Аристотель
заложил основы науки логики и высказал
ряд идей относительно определений, аксиом,
бесконечности и возможности геометрических
построений.
Величайшим
из греческих математиков классического
периода, уступавшим по значимости
полученных результатов только
Архимеду, был Евдокс (ок. 408 – 355 до н.
э.). Именно он ввел понятие величины для
таких объектов, как отрезки прямых и углы.
Располагая понятием величины, Евдокс
логически строго обосновал пифагорейский
метод обращения с иррациональными числами.
Работы
Евдокса позволили установить дедуктивную
структуру математики на основе явно формулируемых
аксиом. Ему же принадлежит и первый шаг
в создании математического анализа, поскольку
именно он изобрел метод вычисления площадей
и объемов, получивший название "метода
исчерпывания". Этот метод состоит в
построении вписанных и описанных плоских
фигур или пространственных тел, которые
заполняют ("исчерпывают") площадь
или объем той фигуры или того тела, которое
является предметом исследования. Евдоксу
же принадлежит и первая астрономическая
теория, объясняющая наблюдаемое движение
планет. Предложенная Евдоксом теория
была чисто математической; она показывала,
каким образом комбинации вращающихся
сфер с различными радиусами и осями вращения
могут объяснить кажущиеся нерегулярными
движения Солнца, Луны и планет.
Около
300 до н. э. результаты многих
греческих математиков были сведены
в единое целое Евклидом, написавшим
математический шедевр "Начала".
Из немногих проницательно отобранных
аксиом Евклид вывел около
500 теорем, охвативших все наиболее
важные результаты классического
периода. Свое сочинение Евклид
начал с определения таких
терминов, как прямая, угол и окружность.
Затем он сформулировал десять
самоочевидных истин, таких, как
"целое больше любой из частей".
И из этих десяти аксиом
Евклид смог вывести все теоремы.
Для математиков текст "Начал"
Евклида долгое время служил
образцом строгости, пока в
19 в. не обнаружилось, что в
нем имеются серьезные недостатки,
такие как неосознанное использование
не сформулированных в явном
виде допущений.
Аполлоний
(ок. 262 – 200 до н. э.) жил в александрийский
период, но его основной труд выдержан
в духе классических традиций. Предложенный
им анализ конических сечений — окружности,
эллипса, параболы и гиперболы — явился
кульминацией развития греческой геометрии.
Аполлоний также стал основателем количественной
математической астрономии.
Александрийский период
В этот период, который начался
около 300 до н. э., характер греческой
математики изменился. Александрийская
математика возникла в результате
слияния классической греческой
математики с математикой Вавилонии
и Египта. В целом математики александрийского
периода были больше склонны к решению
чисто технических задач, чем к философии.
Великие александрийские математики —
Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей,
Диофант и Папп — продемонстрировали
силу греческого гения в теоретическом
абстрагировании, но столь же охотно применяли
свой талант к решению практических проблем
и чисто количественных задач.
Эратосфен
(ок. 275 – 194 до н. э.) нашел простой метод
точного вычисления длины окружности
Земли, ему же принадлежит календарь, в
котором каждый четвертый год имеет на
один день больше, чем другие. Астроном
Аристарх (ок. 310 – 230 до н. э.) написал сочинение
"О размерах и расстояниях Солнца и
Луны", содержавшее одну из первых попыток
определения этих размеров и расстояний;
по своему характеру работа Аристарха
была геометрической.
Величайшим
математиком древности был Архимед
(ок. 287 – 212 до н. э.). Ему принадлежат формулировки
многих теорем о площадях и объемах сложных
фигур и тел, вполне строго доказанные
им методом исчерпывания. Архимед всегда
стремился получить точные решения и находил
верхние и нижние оценки для иррациональных
чисел. Например, работая с правильным
96-угольником, он безукоризненно доказал,
что точное значение числа p находится
между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также
несколько теорем, содержавших новые результаты
геометрической алгебры. Ему принадлежит
формулировка задачи о рассечении шара
плоскостью так, чтобы объемы сегментов
находились между собой в заданном отношении.
Архимед решил эту задачу, отыскав пересечение
параболы и равнобочной гиперболы.
Архимед был величайшим математическим
физиком древности. Для доказательства
теорем механики он использовал
геометрические соображения. Его
сочинение "О плавающих телах"
заложило основы гидростатики. Согласно
легенде, Архимед открыл носящий
его имя закон, согласно которому
на тело, погруженное в воду, действует
выталкивающая сила, равная весу
вытесненной им жидкости, во время
купания, находясь в ванной, и
не в силах совладать с охватившей
его радостью открытия, выбежал
обнаженный на улицу с криком:
"Эврика!" ("Открыл!").
Во времена Архимеда уже не
ограничивались геометрическими
построениями, осуществимыми только
с помощью циркуля и линейки.
Архимед использовал в своих
построениях спираль, а Диоклес
(конец 2 в. до н. э.) решил проблему удвоения
куба с помощью введенной им кривой, получившей
название циссоиды.
В александрийский период арифметика
и алгебра рассматривались независимо
от геометрии. Греки классического
периода имели логически обоснованную
теорию целых чисел, однако
александрийские греки, восприняв
вавилонскую и египетскую арифметику
и алгебру, во многом утратили
уже наработанные представления о математической
строгости. Живший между 100 г. до н. э. и
100 г. н. э. Герон Александрийский трансформировал
значительную часть геометрической алгебры
греков в откровенно нестрогие вычислительные
процедуры. Однако, доказывая новые теоремы
евклидовой геометрии, он по-прежнему
руководствовался стандартами логической
строгости классического периода.
Первой достаточно объемистой
книгой, в которой арифметика
излагалась независимо от геометрии,
было "Введение в арифметику"
Никомаха (ок. 100 н. э.). В истории арифметики
ее роль сравнима с ролью "Начал"
Евклида в истории геометрии. На протяжении
более 1000 лет она служила стандартным
учебником, поскольку в ней ясно, четко
и всеобъемлюще излагалось учение о целых
числах (простых, составных, взаимно простых,
а также о пропорциях). Повторяя многие
пифагорейские утверждения, Введение
Никомаха вместе с тем шло дальше, так
как Никомах видел и более общие отношения,
хотя и приводил их без доказательства.
Знаменательной вехой в алгебре
александрийских греков стали
работы Диофанта (ок. 250). Одно из главных
его достижений связано с введением в
алгебру начал символики. В своих работах
Диофант не предлагал общих методов, он
имел дело с конкретными положительными
рациональными числами, а не с их буквенными
обозначениями. Он заложил основы т. н.
диофантова анализа — исследования неопределенных
уравнений.
Высшим достижением александрийских
математиков стало создание количественной
астрономии. Гиппарху (ок. 161 – 126 до н. э.)
мы обязаны изобретением тригонометрии.
Его метод был основан на теореме, утверждающей,
что в подобных треугольниках отношение
длин любых двух сторон одного из них равно
отношению длин двух соответственных
сторон другого. В частности, отношение
длины катета, лежащего против острого
угла А в прямоугольном треугольнике,
к длине гипотенузы должно быть одним
и тем же для всех прямоугольных треугольников,
имеющих один и тот же острый угол А. Это
отношение известно как синус угла А. Отношения
длин других сторон прямоугольного треугольника
получили название косинуса и тангенса
угла А. Гиппарх изобрел метод вычисления
таких отношений и составил их таблицы.
Располагая этими таблицами и легко измеримыми
расстояниями на поверхности Земли, он
смог вычислить длину ее большой окружности
и расстояние до Луны. По его расчетам,
радиус Луны составил одну треть земного
радиуса; по современным данным отношение
радиусов Луны и Земли составляет 27/1000.
Гиппарх определил продолжительность
солнечного года с ошибкой всего лишь
в 61/2 минуты; считается, что именно он ввел
широты и долготы.
Греческая тригонометрия и ее
приложения в астрономии достигли
пика своего развития в "Альмагесте"
египтянина Клавдия Птолемея (умер
в 168 н. э.). В "Альмагесте"
была представлена теория движения
небесных тел, господствовавшая
вплоть до 16 в., когда ее сменила
теория Коперника. Птолемей стремился
построить самую простую математическую
модель, сознавая, что его теория
— всего лишь удобное математическое
описание астрономических явлений,
согласованное с наблюдениями. Теория
Коперника одержала верх именно
потому, что как модель она
оказалась проще.