Магистральная модель накопления

Магистральная модель накопления

 

Если динамическую модель межотраслевых связей преобразовать в систему неравенств и ввести в нее целевую функцию, то оптимальное решение модели можно найти путем решения задачи линейного программирования. Связь между оптимальным решением и моделью фон Неймана (магистральной моделью) отчетливо демонстрируют теория магистралей и теорема магистрали.

Что такое магистраль? Это скоростная платная автострада. Так, например, для того чтобы добраться из Токио в окрестности Осака, наиболее целесообразно сначала проехать до Осака по скоростной автомагистрали, а затем уже съехать на ответвляющуюся от нее обычную дорогу. Основная идея теории магистрали заключается в том, что для обеспечения наиболее эффективного экономического роста желательно поступать аналогичным способом — сначала вывести экономику на магистральный путь (траекторию фон Неймана), а по истечении определенного, при чем длительного времени вывести ее к задуманной цели. Имеется два основных типа магистральных моделей — магистральная модель накопления (магистральная модель конечного состояния) и магистральная модель потребления.

Магистральную модель накопления, выраженную в виде закрытой системы стоимостных значений, целью которой является максимизация накопленной суммы капитала в конце планового периода, можно  сформулировать как многоразмерную задачу линейного программирования:

P'ВХ (Т)

max   при ограничениях:

X(t) ÃX(t) + B(X(t + 1) - X(t)), t=0,1,…,T

X(t) 0, t=0,1,…,T    (T1)

где X(t) — вектор выпуска продукции за период времени t=0,1,...,Т размера (n 1); Ã и В — соответственно неотрицательная матрица коэффициентов увеличения затрат и матрица коэффициентов капитала, обе размера (n n); Р'— заданный вектор размера (1 n) оценки запасов в конечный (последний) период.

При этом вектор Х(0) является заданным, причем

(I - Ã + В)Х(0) > 0, Р'В 0.

Матрицы А и В определяются следующим образом:

à = А + hv; А = А(1) + А(2); В = В(1) + В(2).

Здесь А, А(1) и А(2) есть неотрицательные матрицы размера (n n) коэффициентов потока ресурсов, а именно затрат всех видов ресурсов (А), текущих затрат (А(1)), амортизации основного капитала (А(2)). Матрицы В, В(1) и В(2) — это неотрицательные матрицы размера (n n) коэффициентов состояния активов, а именно — всех видов активов в целом (В), активов в виде основных фондов (В(1)) и в виде товарных запасов (В(2)). Вектор h — вектор-столбец коэффициентов потребления-потока размера (n 1),v — положительный вектор нормы добавленной стоимости.

Уравнение магистрали объема выпуска, являющейся одной из возможных траекторий в рамках задачи (Т1), может быть записано в форме

X = (Ã + gB)X;   eX = 1,   (5.48)

где е — единичный вектор, т. е. е = (1, ..., 1); X — вектор равновесного объема выпуска; g — положительное значение темпа роста равновесного выпуска. Вышеприведенное уравнение можно переписать в виде g-1X = (I-Ã)-1ВХ. Сделаем также следующее допущение (I-Ã)-1>0, а B в каждой строке имеет хотя бы один положительный элемент. При этом допущении, поскольку (I-Ã)-1В > 0, согласно теореме Перрона-Фробениуса для положительных матриц максимальный по своему абсолютному значению характеристический корень λ* матрицы (I-Ã)-1В и принадлежащий ей положительный правый характеристический вектор X* однозначно определены, и не существует никаких других неотрицательных характеристических векторов. Соответственно имеющая ясный экономический смысл магистральная модель представляет собой полупрямую {αХ* : α 0}, а темп прироста g* для равновесного роста определяется как величина, обратная λ*.

Если к сделанному выше допущению добавить второе det(В)   0, а также ряд дополнительных ограничений, то применительно к достаточно длительному периоду времени Т между магистральной траекторией, задаваемой решением задачи (Т1) независимо от первоначального значения Х(0) и вектора оценок Р', оказываются справедливыми отношения, описываемые «сильной» и/или «слабой» теоремами о магистрали. «Слабая» теорема утверждает, что, за исключением определенного периода Т0, не зависящего от продолжительности планового периода, все оптимальные траектории сосредоточиваются в относительной близости от магистральной. «Сильная» же состоит в утверждении, что те промежутки времени Т0, на которых оптимальные траектории удалены от магистральной, ограничены началом и концом планового периода, а в середине этого периода оптимальные траектории располагаются в относительной близости к магистральной. Подобные же теоремы можно составить и для задачи, двойственной по отношению к названной, а именно для магистральной  модели  цен.  Однако здесь мы затронем лишь уравнение, двойственное по отношению к уравнению (5.48), т. е. магистральное уравнение (индекса) цен. Обозначив вектор индекса равновесных цен через Р(1 n), а равновесную норму прибыли через r , это уравнение можно записать в виде:

Р = Р(Ã + rВ); Ре' = Р(0)е',  (5.49)

где Р(0) =(1,…,1) — вектор индекса цен в начальном периоде.

Если сохраняется первое допущение (см. выше), то равновесное значение нормы прибыли r* получается аналогичным образом как величина, обратная положительному характеристическому вектору неотрицательной матрицы В (I-Ã)-1 с наибольшим абсолютным значением, а соответствующий ему левый характеристический вектор определяет индекс равновесных цен Р* (в рассматриваемой ниже задаче Р'= (1,...,1). Из уравнений (5.48) и (5.49) вытекает, что

g* = r* = P*(I-Ã)X*/P*BX*   (5.50)

 

 

ЦЕЛЬ

Составим программу (Т1) для вычисления оптимальной траектории роста путем построения магистральной модели накопления, приняв в качестве планового периода пятилетний срок. Аналогичную программу составим для десятилетнего планового периода.

В качестве исходных используем данные за 1965 г. по отраслям японской экономики.

Коэффициенты потока ресурсов:

	1	2	3
1	0.1269	0.0695	0.0014
2	0.2312	0.4884	0.1958
3	0.0547	0.1065	0.1374

 

Коэф. потребления, h	- 0.0142	0.3589	0.3962
Доля добавлен. стоим -ти, v	0.6591	0.3351	0.7523
Объемы выпуска i-й отрасли, Х	4746	42365	21875
Вектор индекса цен, Р	1	1	1

 

Коэффициенты капитала:

	1	2	3
1	0.2170	0.0033	0.0081
2	1.7287	0.6067	1.0710
3	0.0702	0.0424	0.0987

 

Решим задачу, введя следующие обозначения:

= (x1(1), …, xn(1); x1(2),…,xn(2); x1(T),…,xn(T))T

m = n·T

C1 = C2 = … = Cm-n = 0, Cm-n+1 = u1,…,Cm=un

H[n, n] = I- Ã+B

[m, 1] = ( ·HT,0,…,0)T

 

[m, m] =

 

Покажем, что данная задача решается в виде стандартной задачи линейного программирования:

 

 

Представим полученные данные в виде таблицы:

 

Объем выпуска Х
Год	Х1	Х2	Х3	Х
0
1
2
3
4
5