Конус

Шадринцева Екатерина

Конус

1. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение. 
Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса. 

Ответ: 2.

2. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите  .

Решение. 
Объем конуса равен 

,

где   – площадь основания, а   – высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в  ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора: 

.

Тогда объем

.

Ответ: 1.

3.  
   Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

Решение. 
Объем конуса равен  

,

где    – площадь основания, а    – высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

Ответ: 3.

 
Во сколько раз увеличится объем  конуса, если его радиус основания  увеличить в 1,5 раза?

Решение. 
Объем конуса равен 

,

где    – площадь основания,    – высота конуса, а    – радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Ответ: 2,25.

5. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

Решение. 
Объем конуса равен 

,

где    — площадь основания, а    — высота конуса. Объем цилиндра равен    и, как видно, в 3 раза больше объема конуса. Поэтому объем конуса равен 50.

Ответ: 50.

6.  
   Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на  .

Решение. 
По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен  . Тогда объем конуса, деленный на  : 

Ответ: 128.

7. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на  .

 

Решение. 
В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой hи образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса, деленный на   вычисляется следующим образом:  

Ответ: 9.

8. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника   вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на  .

Решение. 
Треугольник   – так же равнобедренный, т.к. углы при основании . Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на  : 

Ответ: 72.

9. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на  .

Решение. 
Радиус основания конуса   равен половине диагонали квадрата  :   . Тогда объем конуса, деленный на  :  

Ответ: 16.

 

10. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение. 
Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного – диагонали квадрата, длина которой равна    длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного.  

Ответ: 2.