Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

1. Проверка критерия  оптимальности.

Среди значений индексной строки нет  отрицательных. Поэтому эта таблица  определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	60	0	0	1	-3/5	-12/5
x2	30	0	1	0	1/5	-1/5
x1	30	1	0	0	1/5	4/5
F(X3)	150	0	0	0	1	1

Оптимальный план можно записать так:

x₂ = 30

x₁ = 30

F(X) = 3•30 + 2•30 = 150

 

3)

 

Составим двойственную задачу к  прямой задаче.

2y₁ + y₂ + y₃≥2

y₁ + 4y₂ - y₃≥3

150y₁ + 150y₂ → min

y₁ ≥ 0

y₂ ≥ 0

y₃ ≥ 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную  систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

 

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:

 

Как видно из последнего плана симплексной  таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A^-1 = 

 

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 0

y₂ = 1

y₃ = 1

Z(Y) = 150*0+150*1+0*1 = 150

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности. 

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

2*30 + 1*30  = 90 < 150

1*30 + 4*30  = 150 = 150

1*30 + -1*30  = 0 = 0

1-ое ограничение выполняется  как строгое неравенство, т.е.  жидкость вида А израсходована  не полностью. Значит, этот она не является дефицитной и его оценка в оптимальном плане y₁ = 0.

Неиспользованный экономический  резерв жидкости А составляет 60 (150-90).

2-ое ограничение прямой  задачи выполняется как равенство.  Это означает, что жидкость Б  полностью используется в оптимальном плане, является дефицитной и ее оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₂>0).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью  используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана.

При подстановке оптимальных  двойственных оценок в систему ограничений  двойственной задачи получим:

2*0 + 1*1 + 1*1  = 2 = 2

1*0 + 4*1 + -1*1  = 3 = 3

1-ое ограничение двойственной  задачи выполняется как равенство. Это означает, что смесь первого вида экономически выгодно использовать, а ее использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₁>0).

2-ое ограничение двойственной  задачи выполняется как равенство. Это означает, что смесь второго вида экономически выгодно использовать, а ее использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₂>0).