История
создания
теорем
о синусах и косинусах
Выполнил студент гр. Тв-24
Волков Василий
Содержание
- 1) Введение
- 2) История тригонометрии
- 3) Теоремы и доказательства
- 4) Заключение
- 5) Список литературы
Введение
Геометрия – одна из самых древних и интересных
наук, занимающаяся изучением геометрических
фигур. Эта наука имеет огромный запас
различных теорем, которые постоянно применяются
как при решении математических задач,
так и в жизни.
Цель данной работы – изучить
историю теорем о косинусах и синусах.
История
тригонометрии
- Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад. Индийские математики были первопроходцами в применении алгебры и тригонометрии к астрономическим вычислениям. Лагадха — единственный из самых древних известный сегодня математик, использовавший геометрию и тригонометрию в своей книге «Джьётиша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшая часть работ которого была уничтожена иностранными захватчиками.
Греческий математик Клавдий Птолемей также внес большой вклад в развитие тригонометрии.
Термин "тригонометрия" ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.
Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге.
.
История
тригонометрии
- Термины "синус" и "косинус" пришли от индийцев. Полухорду индийцы называли "ардхаджива" (в переводе с санскрита — "половина тетивы лука"), а потом сократили это слово до "джива". Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как "джиба", а затем оно превратилось в "джайб", что на арабском языке означает "выпуклость", "пазуха". Наконец, в 7 в. "джайб" буквально перевели на латынь словом "sinus", которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское "котиджива" — синус остатка (до 90°), а на латинском — sinus complementi, т. е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова "косинус". Наименования "тангенс" и "секанс" (в переводе с латинского означающие "касательная" и "секущая") введены в 1583 немецким ученым Финком.
История
тригонометрии
- Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.
Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.
Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.
Синус и косинус
- Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернулли в письме к Леонарду Эйлеру.
Определение
синуса и косинуса
- Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Теорема
синусов
- Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов
Доказательство
теоремы синусов
- Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем что:
-
- a/Sin(a) = b/Sin(B) = c/Sin(C)
-
- По теореме о площади треугольника:
-
- S = 1/2*ab*Sin(C), S = 1/2*bc*Sin(A), S = 1/2*ca*Sin(B)
-
- из первых двух равенств получаем
-
- 1/2*ab*Sin(C) = 1/2*bc*Sin(A), откуда
-
- a/Sin(A) = c/ Sin(C). Точно также из второго и третьего равенств получаем: a/Sin(A) = b/ Sin(B). Итак:
-
- a/Sin(a) = b/Sin(B) = c/Sin(C)
-
- Теорема доказана.
Теорема
косинусов
- Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство
теоремы косинусов
- Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.
- Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С.С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
Так как
(основное тригонометрическое тождество), то
Теорема доказана.
Заключение
- В данной презентации были выполнены все поставленные задачи: узнали более подробную информацию об истории развитии тригонометрии, привели доказательства теорем синусов и косинусов, также узнали историю происхождения синусов и косинусов.
- Данная работа непременно укрепит знания по геометрии, расширит математические и жизненные навыки.
Список
литературы
- 1. Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф Геометрия 7-9 класс – 12-е изд.-М.: Просвещение, 2002г.
- 2. Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение,1971г.
- 3. Берманд А.Ф. Тригонометрия, 1967г.
- 4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс Просвещение, 2006г.
- 5. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. МЦНМО, 2004г.
1